优选立体几何复习课
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角形求得θ的值. • ②利用向量求解 • ③体积法
• 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是 AB=2，BC= 2 的矩形，侧面PAB是正三角形， 且侧面PAB⊥底面ABCD．
• ①证明 BC⊥侧面 PAB； • ②证明侧面PAD⊥侧面PAB； • ③求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小；
符号表示：a m,a n,m ,n ,mn P a。
• 性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。
•
符号表示： a ,b a // b
。
• 平面与平面垂直
• 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两 个平面垂直。
•
符号表示：a , a
。
• 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交 线的直线与另一个平面垂直。
优选立体几何复习课
【知识要点】
1. 空间几何体三视图与直观图
① 由空间几何体画三视图 ② 由三视图还原实物图 ③ 斜二测画法及面积计算
2.空间几何体的表面积与体积
① 锥、柱、台、球体表面积、体积计算 ② 割补法、等体积法计算几何体的体积 ③ 画空间几何体的展开图及面积计算
常见几何体的三视图
• 1.长方体、正方体 • 2.圆柱、圆锥、圆台、球 • 3.棱柱、棱锥 • 4.组合体
• 公理3： 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
•
符号表示：P , P l, P。l
• 公理4： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
•
符号表示：
l1// l2 , l2 // l3 l1 // l3
• 例3. 如图2，已知空间四边形ABCD,E,F分别是 AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点，且 BG=2GC，DH=2HC求证：EG,FH,AC相交于同 一点．
二面角及二面角的平面角
• (1)半平面：直线把平面分成两个部分，每一部分都叫 做半平面.
• (2)二面角：条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做 二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.
• 若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二 面角.
• （2）直线与平面相交--有且只有一个公共点
• （3）直线与平面平行----没有公共点
平面与平面之间的位置关系
• （1）两个平面平行---没有公共点 • （2）两个平面相交---有一条公共直线
4.直线、平面平行的判定与性质
(1)直线与平面平行
•
（1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条
直线平行，则该直线与此平面平行。
分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫 做异面直线a和b所成的角. • (2)取值范围：0°＜θ≤90°. • (3)求解方法 • ①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； • ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
直线和平面所成的角
• (1)定义 直线和平面所成的角有三种： • (i)斜线与平面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射
Fra Baidu bibliotek
（2）直线之间的位置关系：
• （1）平行：在同一平面内，且没有交点。
• （2）相交：在同一平面内，有且只有一个交点。
• （3）异面：不同在任何一个平面内，没有公共 点
•
定理： 空间中如果有两个角的两条边分别对
应平行，那么这两个角相等或互补。
（3）直线与平面之间的位置关系
•
（1）直线在平面内----有无数个公共点
影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. • (ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成
的角是直角. • (iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的
角是0°的角. • (2)取值范围0°≤θ≤90° • (3)求解方法 • ①作斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. • ②解含θ的三角形，求出其大小.
直观图
斜二测画法
• 例1.如图1所求，四边形 是上底为2，下底为6，
• 底角为450的等腰梯形， 由斜二测画法，画出这个 梯形的直观图，在直观图 中梯形的高为（ ）
• A． 3 B．1 2
• C． 2 D． 1
2
2
• 例2. 一水平放置的平面图形，用斜二测 画法画出了它的直观图，此直观图恰好是 一个边长为2的正方形，如图3则原平面图 形的面积为（ ）
• 二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的 平面角θ的取值范围是
• 0°＜θ≤180°
• (3)二面角的平面角
以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于 棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
• (4)求二面角大小的常见方法 • ①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三
•
符号表示：a ,b ,a b P,a //,b // //
•
（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示： // , a, b a // b 。
5.直线、平面垂直的判定与性质
• 直线与平面垂直
• 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。
•
符号表示： a , a // b,b a // .
• 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行
• 符号表示： a //, a , l a // l .
(2)平面与平面平行
•
（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另
一个平面平行，则这两个平面平行。
• A．4 3 • B．4 2 • C．8 3 • D．8 2
体积与表面积
3.点、线、面之间的位置关系
（1）四个公理
• 公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内。
•
符号表示：Al, Bl, A, B l 。
• 公理2： 过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面。
• 符号表示： , l,a ,a l a 。
6.空间中的各种角
• 等角定理及其推论
• 定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且 方向相同，则这两个角相等.
• 推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则 这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
• 异面直线所成的角 • (1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，
• 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是 AB=2，BC= 2 的矩形，侧面PAB是正三角形， 且侧面PAB⊥底面ABCD．
• ①证明 BC⊥侧面 PAB； • ②证明侧面PAD⊥侧面PAB； • ③求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小；
符号表示：a m,a n,m ,n ,mn P a。
• 性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。
•
符号表示： a ,b a // b
。
• 平面与平面垂直
• 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两 个平面垂直。
•
符号表示：a , a
。
• 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交 线的直线与另一个平面垂直。
优选立体几何复习课
【知识要点】
1. 空间几何体三视图与直观图
① 由空间几何体画三视图 ② 由三视图还原实物图 ③ 斜二测画法及面积计算
2.空间几何体的表面积与体积
① 锥、柱、台、球体表面积、体积计算 ② 割补法、等体积法计算几何体的体积 ③ 画空间几何体的展开图及面积计算
常见几何体的三视图
• 1.长方体、正方体 • 2.圆柱、圆锥、圆台、球 • 3.棱柱、棱锥 • 4.组合体
• 公理3： 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
•
符号表示：P , P l, P。l
• 公理4： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
•
符号表示：
l1// l2 , l2 // l3 l1 // l3
• 例3. 如图2，已知空间四边形ABCD,E,F分别是 AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点，且 BG=2GC，DH=2HC求证：EG,FH,AC相交于同 一点．
二面角及二面角的平面角
• (1)半平面：直线把平面分成两个部分，每一部分都叫 做半平面.
• (2)二面角：条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做 二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.
• 若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二 面角.
• （2）直线与平面相交--有且只有一个公共点
• （3）直线与平面平行----没有公共点
平面与平面之间的位置关系
• （1）两个平面平行---没有公共点 • （2）两个平面相交---有一条公共直线
4.直线、平面平行的判定与性质
(1)直线与平面平行
•
（1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条
直线平行，则该直线与此平面平行。
分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫 做异面直线a和b所成的角. • (2)取值范围：0°＜θ≤90°. • (3)求解方法 • ①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； • ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
直线和平面所成的角
• (1)定义 直线和平面所成的角有三种： • (i)斜线与平面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射
Fra Baidu bibliotek
（2）直线之间的位置关系：
• （1）平行：在同一平面内，且没有交点。
• （2）相交：在同一平面内，有且只有一个交点。
• （3）异面：不同在任何一个平面内，没有公共 点
•
定理： 空间中如果有两个角的两条边分别对
应平行，那么这两个角相等或互补。
（3）直线与平面之间的位置关系
•
（1）直线在平面内----有无数个公共点
影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. • (ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成
的角是直角. • (iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的
角是0°的角. • (2)取值范围0°≤θ≤90° • (3)求解方法 • ①作斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. • ②解含θ的三角形，求出其大小.
直观图
斜二测画法
• 例1.如图1所求，四边形 是上底为2，下底为6，
• 底角为450的等腰梯形， 由斜二测画法，画出这个 梯形的直观图，在直观图 中梯形的高为（ ）
• A． 3 B．1 2
• C． 2 D． 1
2
2
• 例2. 一水平放置的平面图形，用斜二测 画法画出了它的直观图，此直观图恰好是 一个边长为2的正方形，如图3则原平面图 形的面积为（ ）
• 二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的 平面角θ的取值范围是
• 0°＜θ≤180°
• (3)二面角的平面角
以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于 棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
• (4)求二面角大小的常见方法 • ①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三
•
符号表示：a ,b ,a b P,a //,b // //
•
（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示： // , a, b a // b 。
5.直线、平面垂直的判定与性质
• 直线与平面垂直
• 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。
•
符号表示： a , a // b,b a // .
• 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行
• 符号表示： a //, a , l a // l .
(2)平面与平面平行
•
（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另
一个平面平行，则这两个平面平行。
• A．4 3 • B．4 2 • C．8 3 • D．8 2
体积与表面积
3.点、线、面之间的位置关系
（1）四个公理
• 公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内。
•
符号表示：Al, Bl, A, B l 。
• 公理2： 过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面。
• 符号表示： , l,a ,a l a 。
6.空间中的各种角
• 等角定理及其推论
• 定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且 方向相同，则这两个角相等.
• 推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则 这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
• 异面直线所成的角 • (1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，