五种方法求二面角及练习题

五种方法求二面角及练习题

一、 定义法：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求： （1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D --

~

2.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，

，点M 在侧棱上，=60，M 在侧棱的中点

（1）求二面角的余弦值。

：

S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =

2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --A

B

C D A

~

C

B

二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

1. 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知

60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．

（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；

（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．

三．补棱法

￥

本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面

的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决

1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600

的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。

（1）求证：AC 1⊥BC ；

（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。

111111

1111

E A

<

C

F

E 1

A 1

B 1

C 1

D 1

【

A

C

B

B 1

C 1

、

L

·

2：如图5，E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.

—

3如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

角的平面角（锐角）.

：A

B

【

E

D

P

A1

D1

B1

C1

E

》

B

C A

图5

-

分析 平面AB 1E 与底面A 1B 1C 1D 1交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，. 四、向量法

向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

1如图，在五面体ABCDEF 中，FA 平面ABCD, AD 111ABC A B C -ABC ⊥11A ABB （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；

（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角1A BC A --的大小

为ϕ，试判断θ与ϕ的大小关系，

￥

⊥⊥

1

2

⊥

、

~

）

3．如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：

—C1

（1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D --

,

}

4.过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD 平面，

设PA=AB=a ，(1)求二面角B PC D 的大小;

(2)求二面角C-PD-A

·

5. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3

.(1) 证明： BE ⊥平面PAB ； (2) 求二面角A －BE －P 的大小 （3）PB 与面PAC 的角

;

6 如图,在底面为直角梯形的四棱锥

,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC

ABCD PA 平面⊥,32,2,3===AB AD PA ,BC=6

(1) 求证:;PAC BD 平面⊥ (2) 求二面角A BD P --的大小.

（3）求二面角B-PC-A 的大小

7．如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的

E

P

A

B

c

D

点，且BF ⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离.

8.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，

2PA =，22PD =，60

PAB =∠．

（Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；

（Ⅱ）求异面直线PC 与

AD 所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角P BD A --的正切值．

A

B

C

D

P

F

E

D B

A