静定结构的内力计算

A
B
C D E FG
1m 1m 2m 2m 1m 1m
（1）先计算支座反力
解： （2）求控制截面弯矩值
RA 17 kN
RB 7kN
取AC部分为隔离体，可计算得： M C 17 1 17kN 取GB部分为隔离体，可计算得： MGr 7 1 7kN
A CMC 17 QC l
QC l 17 M C 17
Y2 B
MB +
MB
q M
+
Y1 B
=
（2）微分关系的几何意义：
❖ 若直杆段上无荷载作用，则剪力图是与轴线平行的一条 直线，在该段上，找一个控制点（一般取起点）即可绘制 该段的剪力图；弯矩图是一条斜直线，在该段上，找两个 控制点（一般取起点与终点）即可绘制该段的弯矩图； ❖ 若直杆段上作用均布荷载，则剪力图为一条斜直线，弯 矩图为抛物线，在该段上，需三个控制点（一般取起点、 中点、终点）来绘制该段的弯矩图；
P=8kN m=30kN.m
q=3 kN/m
C A
D B
2m
46
16
4m
6
16
+ -
8
2m
6 M图
6 4
Fs图
定点：在各段上分别定出确定内力图所需的控 制点；
连线：将各控制点处的内力值连线即得内力图。
分段叠加法作弯矩图的方法：
例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。
[分析] 该梁为简支梁，弯矩控制截 面为：C、D、F、G 叠加法求作弯矩图的关键是 计算控制截面位置的弯矩值
P=8kN q=4 kN/m m=16kN.m
(1)微分关系的推导
对于直杆，如图
q(x)
dx
q(x)
dx
q
FS
M+d M
M d x FS+d FS
（1）微分关系 FY 0
FS dFS FS qdx 0
dFS q
(a)
dx
M 0
M
dM M
dM dx
Fsdx
q
(dx)2 2
FS
(b)
0
由(a)、(b)两式得:
d 2M dx2
q
第三章 静定结构的内力计算
§3.1 基本概念
一、静定结构内力计算基本方法和步骤
1、基本方法：截面法。 将结构沿拟求内力的截面截开，取任一侧为隔 离体、建立隔离体的静力平衡方程，求解内力。
2、截面法的一般步骤：
1）. 计算结构的支座反力和约束
取结构整体或取结构的一部分为隔离体，建 立平衡方程。
2）. 计算控制截面的内力(指定截面 的内力)
❖ 若直杆段上作用三角形分布荷载，则剪力图为抛物线， 弯矩图为三次曲线；
❖ 无集中力偶作用的完全铰和自由端处，一定有M=0 ❖集中力作用处，FS图有突变，突变的绝对值等于该集中 力，M图有尖角；集中力偶作用处，M图有突变，突变的 绝对值等于该集中力偶。
4kN·m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用下
6kN·m
(c)
以上三式，为荷载与内力的微分关系。式(b) 忽略了二阶微量。
（2）增量关系
P
FS
M+ M
m
M d x FS+ FS
q(x)
MA
FS P M m
MB
（3）积分关系
由d FS = – q·d x
Fs B
FsA
Байду номын сангаас
xB q( x) dx
xA
由d M = Fs·d x
M B M A
xB Fs( x) dx
（2）集中力偶作用下
4kN·m 2kN·m
（3）叠加得弯矩图
4kN·m
4kN·m
8kN·m
2kN/m
3m
3m
2m
（1）悬臂段分布荷载作用下
2kN·m
4kN·m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN·m
4kN·m
（3）叠加得弯矩图
6kN·m
4kN·m
2kN·m
简易法作图步骤：
求支座反力；
分段：据梁上荷载分布情况分，凡外力不连续 处均应做为分段点；
xA
FSA
FSB
§3.2 静定梁的内力计算
一、单跨静定梁分类及其内力计算 ❖ 简支梁
❖ 伸臂梁 ❖ 悬臂梁
二、单跨梁典型弯矩图和剪力图
P
m
q
l /2
l /2
P
2
P
2
Pl 4
1、集中荷载作用点 M图有一夹角，荷载向 下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载 向下突变亦向下。
l /2
l /2
m l
m 2
FS
FS 方向转动趋势的为正，画剪力图
要注明正负号； 弯矩—截面上应力对截面形心
的力矩之和, 不规定正负号。弯
M
M 矩图画在杆件受拉一侧，不注
符号。
4）. 绘制结构的内力图
❖ 弯矩图 ❖ 剪力图 ❖ 轴力图
5）.内力图的简易绘制
➢利用梁内力与外力之间的微分关系 判断内力图形状，采用分段、定点、 连线以及区段叠加绘制内力图。
用假想的平面垂直于杆轴切开指定截面，取 截面的任意一侧为隔离体并在其暴露的横截 面上代以相应的内力（按正方向标出），建 立平衡方程并求解。
3）、截面上内力符号的规定：
FN
FN 轴力—截面上应力沿杆轴切线
方向的合力，使杆产生伸长变形
为正，画轴力图要注明正负号； 剪力—截面上应力沿杆轴法线
方向的合力, 使杆微段有顺时针
MGr
GB QG 7
QG 7 MGr 7
P=8kN q=4 kN/m m=16kN.m
A
B
C D E FG
1m 1m 2m 2m 1m 1m
A C D E FG B
13
17 26 8
7 15 23 30
M图（kN.m）
17
9
A+ CD
E FG B _
7
Q图（kN）
练习：作图示梁的M 、 FS图
m 2
2、集中力矩作用点 M图有一突变，力矩 为顺时针向下突变； Q 图没有变化。
l
ql 2
ql 2
ql 2 8
3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向 下曲线亦向下凸； Q 图为斜直线，荷载向 下直线由左向右下斜
三 分段叠加法作弯矩图
MA
q
MB
YA
MA
=
YB
Y1A
MB
Y2A
即：
MA
M
M
MA
M
M M M