极限的四则运算法则(精)精品PPT课件
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推论: 若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P46 定理 5 )
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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例如，
lim
n
n
1 n2
π
n2
1
2
π
n2
1
n
π
1
( P57 题 4 (2) )
解答见课件第二节 例5
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定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设 x U (x0 , 1 ) , u M
又设 lim x x0
0,
即
0,
2
0,当
x U
(x0 , 2
第五节
第一章
极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
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一、 无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
证: 考虑两个无穷小的和 . 设 lim 0 , lim 0 ,
x x0
x x0
0, 1 0,当0
例6
.
求
lim
x
4x2 5x2
3x 9 2x 1
.
解: x 时, 分子 , 分母 .
分子分母同除以 x2 , 则
原式
lim
x
4
3
1 x
9
1 x2
5
2
1 x
1 x2
4 5
“ 抓大头”
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一般有如下结果：
lim
x = 3 时分母为 0 !
2 1 63
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例5
.
求
lim
x1
2x 3 x2 5x
4
.
解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim x2 5x 4 12 5 1 4 0
x1 2x 3
21 3
lim
x1
2x 3 x2 5x
4
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证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
f (x) A , g(x) B (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) ( A ) (B )
(A B) ( )
由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
有界
因此 为无穷小, f (x) A
g(x) 1 B
由极限与无穷小关系定B 理,
得
1 lgim( xf)
( x)
g(x)
2 B A
B
(详xllii见mmU书gf(P((xxx40)4)))
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定理6
.
若
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
Hale Waihona Puke Baidu
,
则有
(1)
lim (
n
xn
yn
)
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
lim[ f (x)g(x)] lim f (x) lim g(x) AB
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x) 推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n
0,
试证:
lim
x x0
R(x)
R(x0 )
.
证:
lim R(x)
x x0
lim P(x)
x x0
lim Q(x)
P(x0 ) Q(x0 )
R(x0 )
x x0
说明: 若 Q(x0 ) 0, 不能直接用商的运算法则 .
例4.
lim
x3
x2
4x x2 9
3
lim (x 3)(x 1) lim x 1 x3 (x 3)(x 3) x3 x 3
AB
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当yn
0且B
0时,
lim
n
xn yn
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
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例3. 设有分式函数 R(x) P(x) , 其中P(x), Q(x) 都是 Q(x)
多项式
,
若Q(x0 )
( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
例2. 设 n 次多项式 Pn (x) a0 a1x an xn , 试证
lim
x x0
Pn
(x)
Pn (x0
).
证:
lim
x x0
Pn
(x)
a0
a1
lim
x x0
x
an
lim
x x0
xn
Pn (x0 )
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定理 5 . 若lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
)
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x U (x0 , ) 时 , 就有
u
u
M
M
故 lim u 0, 即 u 是 x x0 时的无穷小 . x x0 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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例1. 求 lim sin x . x x
解: sin x 1
lim 1 0 x x 利用定理 2 可知 lim sin x 0 .
x x
y
y sin x x
O
x
说明 : y = 0 是 y sin x 的渐近线 . x
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二、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有 lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) A B
lim f (x) lim f (x) A g(x) lim g(x) B
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 有
f (x) A , g(x) B , 其中 , 为无穷小
设 f (x) A A A 1 (B A ) g(x) B B B B(B ) 无穷小
x x0 1 时 , 有
2
2 0,当 0
x x0 2 时 , 有
2
取 min1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2
2
因此
lim ( ) 0.
x x0
这说明当 x x0 时, 为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
推论: 若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P46 定理 5 )
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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例如，
lim
n
n
1 n2
π
n2
1
2
π
n2
1
n
π
1
( P57 题 4 (2) )
解答见课件第二节 例5
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定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设 x U (x0 , 1 ) , u M
又设 lim x x0
0,
即
0,
2
0,当
x U
(x0 , 2
第五节
第一章
极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
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一、 无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
证: 考虑两个无穷小的和 . 设 lim 0 , lim 0 ,
x x0
x x0
0, 1 0,当0
例6
.
求
lim
x
4x2 5x2
3x 9 2x 1
.
解: x 时, 分子 , 分母 .
分子分母同除以 x2 , 则
原式
lim
x
4
3
1 x
9
1 x2
5
2
1 x
1 x2
4 5
“ 抓大头”
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一般有如下结果：
lim
x = 3 时分母为 0 !
2 1 63
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例5
.
求
lim
x1
2x 3 x2 5x
4
.
解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim x2 5x 4 12 5 1 4 0
x1 2x 3
21 3
lim
x1
2x 3 x2 5x
4
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证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
f (x) A , g(x) B (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) ( A ) (B )
(A B) ( )
由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
有界
因此 为无穷小, f (x) A
g(x) 1 B
由极限与无穷小关系定B 理,
得
1 lgim( xf)
( x)
g(x)
2 B A
B
(详xllii见mmU书gf(P((xxx40)4)))
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定理6
.
若
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
Hale Waihona Puke Baidu
,
则有
(1)
lim (
n
xn
yn
)
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
lim[ f (x)g(x)] lim f (x) lim g(x) AB
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x) 推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n
0,
试证:
lim
x x0
R(x)
R(x0 )
.
证:
lim R(x)
x x0
lim P(x)
x x0
lim Q(x)
P(x0 ) Q(x0 )
R(x0 )
x x0
说明: 若 Q(x0 ) 0, 不能直接用商的运算法则 .
例4.
lim
x3
x2
4x x2 9
3
lim (x 3)(x 1) lim x 1 x3 (x 3)(x 3) x3 x 3
AB
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当yn
0且B
0时,
lim
n
xn yn
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
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例3. 设有分式函数 R(x) P(x) , 其中P(x), Q(x) 都是 Q(x)
多项式
,
若Q(x0 )
( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
例2. 设 n 次多项式 Pn (x) a0 a1x an xn , 试证
lim
x x0
Pn
(x)
Pn (x0
).
证:
lim
x x0
Pn
(x)
a0
a1
lim
x x0
x
an
lim
x x0
xn
Pn (x0 )
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定理 5 . 若lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
)
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x U (x0 , ) 时 , 就有
u
u
M
M
故 lim u 0, 即 u 是 x x0 时的无穷小 . x x0 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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例1. 求 lim sin x . x x
解: sin x 1
lim 1 0 x x 利用定理 2 可知 lim sin x 0 .
x x
y
y sin x x
O
x
说明 : y = 0 是 y sin x 的渐近线 . x
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二、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有 lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) A B
lim f (x) lim f (x) A g(x) lim g(x) B
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 有
f (x) A , g(x) B , 其中 , 为无穷小
设 f (x) A A A 1 (B A ) g(x) B B B B(B ) 无穷小
x x0 1 时 , 有
2
2 0,当 0
x x0 2 时 , 有
2
取 min1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2
2
因此
lim ( ) 0.
x x0
这说明当 x x0 时, 为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !