极限的四则运算法则(精)精品PPT课件
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《极限的运算》课件
重要的作用。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
24函数极限的四则运算-PPT课件
x l x 0 iC m C ,(C 是)x l常 ;x 0 ix k m x 0 k 数 ,(k N * )
谢谢！
xiexie!
xx0
li[m C(xf) ]Clim f(x)（C为常数）
x x0
x x0
li[m f(x)n] [lim f(x)n(]n N *)
x x0
x x0
x l im x 0x n (x l im x 0x )n x 0 n ,即 x l im x 0x n x 0 n
1
处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解析式中， 就得到极限值。
这组题目可以把x=x0代入函数的解析式中， 就可以了.所以求某些函数在某一点x=x0处的极限 值时，只要把x=x0代入函数的解析式中，就得到 极限值.这种方法叫代入法。
【小结】 1 .设f ( 多 x ) a 0 x n 项 a 1 x n 1 式 a n ,则有
12 5 1 4 21 3
0
x l 1 x 2 2 x 5 x 3 4 i m
例4：求lx im 1x2x22x13.
(0型) 0
【方法】消去零因子法
解：x1时,分子 ,分母的极限.都 ( 00 是 型 ) 零
先约去不为因 零子 x 的 1后 无 再 穷 求 .小 极
xx0
当 Q ( x 0 ) 0 时 x l x 0 Q P ( ( x x ) ) i Q P ( ( x x 0 0 ) ) m
当 Q ( x 0 ) 0 且 P ( x 0 ) 0 时 x l x 0 Q P ( ( i x x ) ) m
当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0)
谢谢！
xiexie!
xx0
li[m C(xf) ]Clim f(x)（C为常数）
x x0
x x0
li[m f(x)n] [lim f(x)n(]n N *)
x x0
x x0
x l im x 0x n (x l im x 0x )n x 0 n ,即 x l im x 0x n x 0 n
1
处的极限值时，只要把x=x0 代入函数解析式中， 就得到极限值。
这组题目可以把x=x0代入函数的解析式中， 就可以了.所以求某些函数在某一点x=x0处的极限 值时，只要把x=x0代入函数的解析式中，就得到 极限值.这种方法叫代入法。
【小结】 1 .设f ( 多 x ) a 0 x n 项 a 1 x n 1 式 a n ,则有
12 5 1 4 21 3
0
x l 1 x 2 2 x 5 x 3 4 i m
例4：求lx im 1x2x22x13.
(0型) 0
【方法】消去零因子法
解：x1时,分子 ,分母的极限.都 ( 00 是 型 ) 零
先约去不为因 零子 x 的 1后 无 再 穷 求 .小 极
xx0
当 Q ( x 0 ) 0 时 x l x 0 Q P ( ( x x ) ) i Q P ( ( x x 0 0 ) ) m
当 Q ( x 0 ) 0 且 P ( x 0 ) 0 时 x l x 0 Q P ( ( i x x ) ) m
当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0)
第六节极限四则运算法则精品PPT课件
证
lim
x x0
Pn
(x)
a0
a1
lim
x x0
x
an
lim
x x0
xn
Pn (x0 )
例 lim x sin 1 ?
x0
x
注意：lim x sin 1 lim x limsin 1
x0
x x0 x0
x
求函数极限的方法
I. 求初等函数在定义域内某点的极限, 就是函数在该点的函
数值. 即
x2 1
=
( x 1)( x 2)
lim
x 1
(x
1)( x2
x
1)
1
2. 分子分母有理化
例4 lim 3 x x 1
x 1
x 1
解 将分子有理化, 得
lim 3 x x 1 lim (3 x) ( x 1)
x 1
x 1
x1 ( x 1)( 3 x x 1)
lim
注: 没写极限的过程指同一极限过程.
证明可用定义. 以极限过程为 x→x0 的证明(1)为例. 证 因为 lim f ( x) A, lim g( x) B, 则有
f ( x) A ( x), g( x) B ( x) 其中 (x)及 (x)为无穷小,于是
f ( x) g( x) [ A ( x)] [B ( x)] [ A B] [( x) ( x)]
2
x1 3 x x 1
1 2
x x x
x
1
1. lim
lim
x 0
x
x0 x( x x x ) 2 x
2.
已知
lim
x2
3
x
2
极限运算法则课件
减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
函数极限的四则运算课件
解：lim (x2 3x) lim x2 lim 3x
x2
x2Leabharlann x2lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)
x x0
x x0
x x0
lim
x x0
xn
x0 n
lim [Cf (x)] C lim f (x)
x x0
x x0
(lxim2 x) 3lxim2 x 2
xx0
xx0
注意：使用极限运算法则的前提是 各部分极限存在！
由上面的运算法则可知：
lim
xx0
xn
( lim xx0
x)n
x0
n
,即
lim
xx0
xn
x0 n ;
(n N *)
利用函数极限的运算法则，我们可以根据
已知的几个简单函数的极限，求出较复杂的 函数的极限。
请同学们记清函数极限的运算法则
函数极限运算法则
注：使用极限四则运算法则的前提 是各部分极限必须存在。
问题1：函数，
f (x)
x
2 x2
x
1
2
,当x
1时，
你能否直接看出函数值的变化趋势？
问题2：如果不能看出函数值的变化趋势， 那么怎样才能把问题转化为已知能求的函 数极限？转化的数学方法与依据是什么？
为了解决这些问题，我们有必要给出函数极限的运算法则： 函数的极限与数列的极限有类似的四则运算法则，即
在 x x0处无定义②求这类函数在某一点
x=x0处的极限值时，必须通过代数变形转化 为第一种类型。
如：求 lim x2 16 . lim (x 4)(x 4)
x4 x 4 x4 (x 4)
极限的四则运算PPT优秀课件
2.4极限的四则运算(1)
求下列函数的极限：
1、lim 1 x x
2、lim x 1 x x
3、lim ( x 1) x1
4、lim a x x
5、lxim1 x23x2 2xx211 6、lx im x23x2 2xx211
7、lx im x23x3 2xx211 8、lx im x23x4 2xx211
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
求下列函数的极限：
1、lim 1 x x
2、lim x 1 x x
3、lim ( x 1) x1
4、lim a x x
5、lxim1 x23x2 2xx211 6、lx im x23x2 2xx211
7、lx im x23x3 2xx211 8、lx im x23x4 2xx211
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
极限四则运算法则和两个重要极限 PPT
设函数y f [g(x)]由函数y f (u), u g(x)复合而成，
0
y
f [g(x)]在U (x0, ) 有定义，且
lim
x x0
g
(x)
u0，又
lim f (u) A, 则有
u u0
lim f [g(x) ] lim f (u) A
x x0
u u0
注:变量代换,令u=g(x), 则 f [g(x)]=f (u),
lim x 1 lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1 x1
x 1
x1
2
二、两个重要极限
× (1) lim sin x 1 x xx0
注: 当 lim (x) 0时，lim sin(x) 1.
x x0
xx0 (x)
1
(2) lim(1 x) x e
(或 lim(1 1 )x e)
f
( x0
0)
A
右
右极限 : 如果当x x0,有 f (x) A,则称A为函数 f (x)
当x→x0 时得右极限, 记作
lim
x x0
f
(x)
A
或
f
( x0
0)
A
定理 、lim f (x) A
xx0
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
例3、 给定函
数
x 1, x 0
f
(x)
1
,
x0
1 x , x 0
y
1 O
y x 1
x
y 1 x
讨论 x 0 时 f (x) 得极限就是否存在 、
解: 利用前述定理 、因为
函数极限的四则运算.ppt
第五节 函数极限的四则运算
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
注 此定理证明的基本原则：
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 x m1 b1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分
子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
x 1 1
例5
求 lim x0
lim f ( x) A f ( x) A ( x)
定理(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数
推论1
如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
12
n
12 n
lim(
n
n
2
n2
n2
)
lim
n
n2
1
n(n 1)
lim 2
n
n2
1 lim (1 n 2
1) n
1. 2
由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求
极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时， 有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有 时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的 关系求极限。
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
注 此定理证明的基本原则：
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 x m1 b1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分
子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
x 1 1
例5
求 lim x0
lim f ( x) A f ( x) A ( x)
定理(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数
推论1
如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
12
n
12 n
lim(
n
n
2
n2
n2
)
lim
n
n2
1
n(n 1)
lim 2
n
n2
1 lim (1 n 2
1) n
1. 2
由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求
极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时， 有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有 时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的 关系求极限。
极限运算法则【高等数学PPT课件】
3
( x 2)( x 1)
lim
x1
(
x
1)(
x2
x
1)
x2
lim
x 1
x2
x
1
1
定理7 （复合函数的极限运算法则）
设 lim uu0
f (u)
A,函数u ( x)当x
x0时的极限存在
0
且等于u0，即
lim
x x0
(
x)
u0
,
但在U
(
x0
)内(
x)
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
(3)
lim
f
(x)
A ,
其中B 0.
g(x) B
推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
推论2 如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
例1
求
lim
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
lim sin x 0. x x
极限四则运算PPT教学课件
p n
n
n
3） 利用1),2)的结果， 说明圆面积公式S R2
例6：1） 已知首项为a , 公比 1
为q(0 | q | 1)的无穷递缩等
比数列的前n项和为S ， n
求 lim
S n
n
R O rn
2)如图， 在直角坐标平面内， 动点P由原点O出发，
沿x轴正方向前进a个单位， 到达P点， 接着沿y轴 1
lim l k l k n
a0nl a1nl1 al b0nk b1nk1 bk
a0 b0
不存在
练习：P88 1，2
P90 1，2
例3:求下列极限
1 23 n
lim n
n2
1/2
lim [ 4 7 3n 1 ]
n n(n 1) n(n 1)
n(n 1)
3/2
lim [ 1 1
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
例1： 求下列函数的极限。
பைடு நூலகம்
1、lim x1
2x2 x3
x 2x2
1 1
２、lim x1
x 11 x2
3、lim x
2x2 x2
3x 1
４、lim x
tan
2x
•
tan(
4
x)
4
5、lim x( x2 1 x2 1) 6、lim (1 1 )100
x
x
x
数列极限的四则运算：
如果
lim
a n
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x = 3 时分母为 0 !
2 1 63
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例5
.
求
lim
x1
2x 3 x2 5x
4
.
解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim x2 5x 4 12 5 1 4 0
x1 2x 3
21 3
பைடு நூலகம்
lim
x1
2x 3 x2 5x
4
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lim f (x) lim f (x) A g(x) lim g(x) B
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 有
f (x) A , g(x) B , 其中 , 为无穷小
设 f (x) A A A 1 (B A ) g(x) B B B B(B ) 无穷小
x x0 1 时 , 有
2
2 0,当 0
x x0 2 时 , 有
2
取 min1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
2
2
因此
lim ( ) 0.
x x0
这说明当 x x0 时, 为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
AB
(2)
lim
n
xn
yn
AB
(3)
当yn
0且B
0时,
lim
n
xn yn
A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
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例3. 设有分式函数 R(x) P(x) , 其中P(x), Q(x) 都是 Q(x)
多项式
,
若Q(x0 )
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
f (x) A , g(x) B (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) ( A ) (B )
(A B) ( )
由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
例2. 设 n 次多项式 Pn (x) a0 a1x an xn , 试证
lim
x x0
Pn
(x)
Pn (x0
).
证:
lim
x x0
Pn
(x)
a0
a1
lim
x x0
x
an
lim
x x0
xn
Pn (x0 )
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定理 5 . 若lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
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推论: 若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P46 定理 5 )
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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0,
试证:
lim
x x0
R(x)
R(x0 )
.
证:
lim R(x)
x x0
lim P(x)
x x0
lim Q(x)
P(x0 ) Q(x0 )
R(x0 )
x x0
说明: 若 Q(x0 ) 0, 不能直接用商的运算法则 .
例4.
lim
x3
x2
4x x2 9
3
lim (x 3)(x 1) lim x 1 x3 (x 3)(x 3) x3 x 3
例6
.
求
lim
x
4x2 5x2
3x 9 2x 1
.
解: x 时, 分子 , 分母 .
分子分母同除以 x2 , 则
原式
lim
x
4
3
1 x
9
1 x2
5
2
1 x
1 x2
4 5
“ 抓大头”
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一般有如下结果：
lim
)
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x U (x0 , ) 时 , 就有
u
u
M
M
故 lim u 0, 即 u 是 x x0 时的无穷小 . x x0 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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例1. 求 lim sin x . x x
例如，
lim
n
n
1 n2
π
n2
1
2
π
n2
1
n
π
1
( P57 题 4 (2) )
解答见课件第二节 例5
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定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设 x U (x0 , 1 ) , u M
又设 lim x x0
0,
即
0,
2
0,当
x U
(x0 , 2
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
lim[ f (x)g(x)] lim f (x) lim g(x) AB
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x) 推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n
解: sin x 1
lim 1 0 x x 利用定理 2 可知 lim sin x 0 .
x x
y
y sin x x
O
x
说明 : y = 0 是 y sin x 的渐近线 . x
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二、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有 lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) A B
有界
因此 为无穷小, f (x) A
g(x) 1 B
由极限与无穷小关系定B 理,
得
1 lgim( xf)
( x)
g(x)
2 B A
B
(详xllii见mmU书gf(P((xxx40)4)))
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定理6
.
若
lim
n
xn
A,
lim
n
yn
B
,
则有
(1)
lim (
n
xn
yn
)
第五节
第一章
极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
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一、 无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
证: 考虑两个无穷小的和 . 设 lim 0 , lim 0 ,
x x0
x x0
0, 1 0,当0