全国优质课-对数函数及其性质

教材：人教A版高中数学必修一
§2.2.2对数函数及其性质（第一课时）
一、教学内容解析
1.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，面对纷繁复杂的变化现象，可以根据变化现象的不同特征进行分类研究.现实生活中的推算出土文物或遗址的年代、地震震级的变化规律、溶液PH值的变化规律等，可以用对数函数模型来研究.对数函数是最基本的、应用最广泛的基本初等函数之一，是进一步学习数学的基础.
2.本课内容是《普通高中课程标准试验教科书（人教A版）》必修1第二章《基本初等函数（Ⅰ）》第二节《对数函数》第二小节的第一课时.本节是一节概念课.既可以类比前面指数函数的研究过程，又为后面幂函数的学习提供研究思路.主要内容是：对数函数的概念与基本性质，并运用它们解决一些简单的实际问题.
3.本节内容是培养和提高学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、与数学建模核心素养的重要载体.在实际背景中抽象概括出对数函数的概念；利用具体对数函数的图象，通过归纳推理，发现对数函数的性质；数形结合解决比较两个数大小的问题.这些过程正是培养上述数学学科核心素养的重要过程.
二、教学目标设置
课标要求：
通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
教学目标：
1.通过问题情境，抽象出对数函数的概念，培养学生数学建模、数学抽象的核心素养.
2.类比指数函数及其性质的研究方法，分组做出图象，归纳出对数函数的性质，渗透数形结合、从特殊到一般的学习方法，培养学生自主探究的能力.
3.会求和对数函数有关的函数的定义域，会利用对数函数的单调性比较大小.
1.刚升入高中的学生在前面已经学习了“函数的概念及其性质”“指数函数”以及“对数的概念与运算性质”，学生的抽象概括能力、探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼，对如何研究一个具体函数方法有了初步的了解.授课学生属于本校第二层次的班级，基础知识比较扎实，具备一定的类比能力.
2.虽然有“指数函数”的学习作为参照，但是学生在自主探究的过程中分析问题的能力仍然不足，如何从对数函数的图象归纳出对数函数的性质对学生来说仍有一定的难度，尤其是底数a对函数值变化的影响，教学时，教师要适当引导.
四、教学策略分析
在本节课的教学中，主要以问题引导全程，启发学生反复思考，通过小组合作学习，展示学生的学习成果，让学生充分发表自己的观点，在此过程中学生不断将知识、方法内化成为自己的认知结构.这样做可使学生经历新概念产生的过程，认识新旧知识的联系，在过程中感受学习新概念、研究新函数的方法．
五、教学重、难点
重点：对数函数的概念、图象和性质.
难点：引导学生采用数形结合地方法从具体到一般地探索、概括对数函数的性质.
六、教学基本流程
（一)创设情境，引入新课
※问题1：你知道考古学家是如何推测出土文物或古遗址年代的吗？ 设计意图：创设问题情境，从实际生活中的例子入手，激发学生的求知欲，并体会变量P 与t 之间的函数关系.
生：利用科学计算器完成表格. 师：从函数的观点引导学生认识P t 2
1
5730
log =（将该函数板书于副板，为提
炼对数函数模型做准备）. （二)探索新知 1.对数函数的定义
※问题2：观察上述函数有什么特点？
设计意图：引导学生提炼对数函数模型)10(log ≠>=a a x y a 且.
师：引导学生观察函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量（用
x 表示函数的自变量，用y 表示函数值，并将底数抽象为字母a ，将解析式概括
为x y a log =的形式）.
※问题3：根据前面对对数的学习，你认为a 的取值范围是什么？自变量x 的取值范围呢？
设计意图：为对数函数定义的归纳作铺垫.渗透“归纳推理是发现和提出数学命题的重要途径”.
生：学生思考，归纳概括对数函数的定义，尝试用恰当的数学语言予以表达. 师：根据学生的表达，给出对数函数的定义（板书). ※问题4：你能根据对数函数的定义，解决课本-71P 例7吗？ 设计意图：使学生通过求函数的定义域加深对对数函数的理解. 生：独立思考，尝试解决例题，可以小组讨论，交流. 师：课堂巡视，个别辅导，针对学生的共同问题集中解决. 2.对数函数的图象
※问题5：前面我们学习指数函数时，都对其哪些性质进行了研究？你能类比指数函数及其性质的研究思路，提出研究对数函数性质的方法吗？
设计意图：给出研究对数函数性质的研究思路.发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好地揭示对数函数的本质属性.
师：引导学生回顾研究指数函数的哪些性质，强调数形结合，强调函数图象在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透归纳概括能力的培养（将学生举出的所要研究的性质板书于副板，为后面观察图象，探究性质作准备).
生：独立思考，提出研究对数函数性质的基本思路.
※问题6：如何画出对数函数x y 2log =和x y 2
1log =的图象？请用相同的方
法画出函数x y 3log =和x y 3
1log =的图象（学案).
设计意图：会用描点法画函数的图象，学生在学案上的同一坐标系中完成，为归纳对数函数的性质作准备.
生：小组合作画图，互相交流，共同完成.
师：课堂巡视，个别辅导，展示部分学生的图象.并利用《几何画板》演示.
3.对数函数的性质
※问题7：观察这些对数函数的图象，你能发现对数函数的哪些性质？请与同学相互交流，并将你的发现填写在学案的相应位置（如果学案所列不完整，请自行列在下面表格).
设计意图：学生在对函数图象感性认识的基础上，发现、概括、归纳对数函数的性质，鼓励学生积极主动参与获得性质的过程.
生：小组合作填表，互相交流，共同完成.
师：课堂巡视，针对学生遇到的具体问题给予适当辅助.
※问题8：通过对四个对数函数图象的观察归纳得出的性质不具有一般代表性，如何验证对任意一个对数函数()10log ≠>=a a x y a 且这些性质都成立呢？
设计意图：通过归纳推理得出的性质是或然成立的，借用《几何画板》让学生经历“从特殊到一般”的学习过程，验证所得性质的一般代表性.
x y 2log = x y 3log =
x y 2
1log =
x y 3
1log =
（1，0）
师：利用《几何画板》画出对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的图象. 生：学生通过观察不同的底数()10≠>a a a 且的函数图象，得出性质，相互交流，形成对对数函数性质的认识.
师：总结学生的观察结果，概括对数函数的性质.(若学生对底数
（三)典型例题
例7：求下列函数的定义域 （1）()10log 2≠>=a a x y a 且 ； （2）()()10-4log ≠>=a a x y a 且.
设计意图：使学生通过求函数的定义域加深对对数函数的理解，重点并非求函数的定义域，因此不在这里加大难度.
例8：比较下列各组数中两个值的大小： （1）4.3log 2，5.8log 2； （2）8.1log 3.0，7.2log 3.0；
（3）1.5log a ，)10(9.5log ≠>a a a 且.
设计意图：应用对数函数的单调性“比较两个数的大小”，熟悉对数函数的性质，强调应用函数单调性的目的是用函数的观点解决问题的思想方法.
（四)课堂小结
※问题9：通过本节课的学习，你有什么收获？教科书是怎样研究对数函数的？
通过本节课的学习，面对后面我们还要学习的新函数，你知道如何入手研究吗？
设计意图：了解学生通过本节课学习的收获，锻炼学生的数学表达能力. 生：思考、小组讨论，推举代表叙述，其它同学补充. 师：根据学生回答的情况进行评价和补充. 八、课后作业
1.教材-73P 练习2；
2.教材-73P 练习
3. 3.教材习题8.7-2.2-A 题.
※探究：从本节课我们研究的图象中你能发现下列函数图象有什么关系？你能尝试从代数的角度理解这种关系吗？
①x y 2log =和x y 2
1log =，②x y 3log =和x y 3
1log =
设计意图：培养学生养成自主思考的好习惯，为下节课的教学内容铺垫.
加深学生对“数形结合”思想的认识. 九、板书设计
十、反思总结
“对数函数图象及性质”评课
本节课的教学在体现新课改的教学理念，落实培育数学核心素养的培育上很有代表性，体现在对教学内容的分析中能深刻挖掘教材内容的育人价值，教学目标注意到学生数学核心素养目标培育的设置，教学过程注重数学核心素养的落实。

一.对数概念形成自然
李老师采用碳衰变的实际问题作为情境，这一问题情境是教材这一章一以贯之用的例子，相同情境不同问题，一脉相承又在其上自然延伸发展，采用列表让学生用计算器计算值，加深学生对函数对应关系的理解，使得对数函数概念的形成过程自然流畅，形成概念过程真正的让学生经历知识形成过程培育学生数学抽象的核心素养。

二.性质研究注重方法
数学核心素养的培育体现在四基的教学过程中，基础知识、基本技能、基本思想、基本的活动经验，对数函数的性质研究方法与指数函数性质的研究方法是一致的，因此，本节课的教学完全可以放手让学生类比指数函数性质的研究去完成，“活动”是这节课的主旋律。

“请同学们按照指数函数性质的研究方法研究对数函数的性质”，然后放手让学生去探索，耐心等待学生展示探索的结果，这一过程中有学生的独立思考，有学生的合作交流，有学生的成果展示，形成欣欣向荣的课堂学习情景。

无论是对数概念的形成，性质的探究，李老师展现的是教师是课堂教学的组织者和引导者，学生是课堂的主人，这种以学习者为中心的教学正是当下教育改革所追求的方式。

2.2.2对数函数及其性质（学案)
1. 对数函数概念的形成
利用对应关系P t 2
15730log =，使用科学计算器，完成下表
尝试用简明的语言描述对数函数的概念
对数函数的概念：一般地，我们把函 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 . 例7：求下列函数的定义域
（3）()10log 2≠>=a a x y a 且 ； （2）()()10-4log ≠>=a a x y a 且.
2. 探究：对数函数()10log ≠>=a a x y a 且的图象与性质 在同一坐标系中用描点法画出下列对数函数的图象
①x y 2log =；②x y 2
1log =；③x y 3log =；④x y 3
1log =.
②描点、连线（备注：2.5
32
3
≈，6.
15
32
5
≈）
3.对数函数的性质
一般地，对数函数()1
log≠
>
=a
a
x
y
a
且的图象和性质如下表所示：图象
定义域
值域
性质
单调性
奇偶性
定点
10 例8：比较下列各组数中两个值的大小：
（4）4.3log 2，5.8log 2；
（5）8.1log 3.0，7.2log 3.0；
（6）1.5log a ，)10(9.5log ≠>a a a 且.
4.课后探究
从本节课我们研究和图象中你能发现下列函数图象有什么关系？
①x y 2log =和x y 21log =，②x y 3log =和x
y 31log =
你能尝试从代数的角度理解这种关系吗？
5.课后作业
教材-73P 练习2、3；教材习题8.7-2.2-A 题.。