3.方法技巧专题：三角形中有关角度的计算

方法技巧专题：三角形中有关角度的计算
——全方位求角度，一网搜罗
◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想求角度
1．一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶5，则这个三角形一定是()
A．直角三角形B．等腰三角形
C．钝角三角形D．锐角三角形
2．在△ABC中，∠A＝2∠B＝75°，则∠C＝________.
3．在△ABC中，∠A＝3∠B，∠A－∠C＝30°，则∠A＝________°，∠C＝________°.
4．如图，已知在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
◆类型二综合内、外角的性质求角度
5．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为()
A．40°
B．60°
C．80°
D．100°
6．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠B＝40°，求∠BAC的度数．
7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA.
(1)求证：∠EAC＝∠B；
(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．
◆类型三在三角板或直尺中求角度
8．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为()
A．60°B．50°
C．40°D．30°
第8题图第9题图
9．(2016－2017·湘潭市期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是()
A．75°B．90°C．105°D．120°
10．(2016－2017·娄底市新化县期中)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为()
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
11．(1)如图①，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.在△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝________，∠XBC＋∠XCB＝________；
(2)如图②，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．
◆类型四与平行线结合求角度
12．如图，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于()
A．60°B．25°
C．35°D．45°
第12题图第13题图
13．(2016·丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为________．
◆类型五与截取或折叠结合求角度
14．如图，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠BDC 等于()
A．42°B．66°
C．69°D．77°
第14题图第15题图15．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，那么∠1＋∠2的度数为()
A．120°B．180°
C．240°D．300°
16．★如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部A′处，已知∠1＋∠2＝80°，则∠A的度数为________．
【变式题】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC 内部C′处，若∠1＝20°，求∠2的度数．
参考答案与解析
1．A 2.67.5° 3.90 60
4．解：设∠A ＝x ，则∠C ＝∠ABC ＝2x .根据三角形内角和为180°知∠C ＋∠ABC ＋∠A ＝180°，即2x ＋2x ＋x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠C ＝2x ＝72°.在△BDC 中，∠DBC ＝180°－90°－∠C ＝18°.
5．C
6．解：∵∠1＝∠2，∠B ＝40°，∴∠2＝∠1＝(180°－40°)÷2＝70°.又∵∠2是△ADC 的外角，∴∠2＝∠3＋∠4.∵∠3＝∠4，∴∠2＝2∠3，∴∠3＝1
2
∠2＝35°，∴∠BAC ＝∠1＋∠3＝105°.
7．(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵∠EAD ＝∠EDA ，∴∠EAC ＝∠EAD －∠CAD ＝∠EDA －∠BAD ＝∠B .
(2)解：设∠CAD ＝x °，则∠E ＝3x °.由(1)知∠EAC ＝∠B ＝50°，∴∠EAD ＝∠EDA ＝(x ＋50)°.在△EAD 中，∠E ＋∠EAD ＋∠EDA ＝180°，即3x °＋2(x ＋50)°＝180°，解得x ＝16.∴∠E ＝48°.
8．D 9.C 10.C 11．解：(1)150° 90° (2)不变化．因为∠A ＝30°，所以∠ABC ＋∠ACB ＝150°.因为∠X ＝90°，所以∠XBC ＋∠XCB ＝90°，所以∠ABX ＋∠ACX ＝(∠ABC －∠XBC )＋(∠ACB －∠XCB )＝(∠ABC ＋∠ACB )－(∠XBC ＋∠XCB )＝150°－90°＝60°.
12．C 13.70° 14.C
15．C 解析：因为∠1＝180°－∠AMN ，∠2＝180°－∠ANM ，所以∠1＋∠2＝360°－(∠ANM ＋∠AMN )．又因为∠ANM ＋∠AMN ＝180°－∠A ＝120°，所以∠1＋∠2＝240°.故选C.
16．40° 解析：由折叠的性质得∠AED ＝∠A ′ED ，∠ADE ＝∠A ′DE .因为∠1＋∠A ′EA ＝180°，∠2＋∠A ′DA ＝180°，所以∠1＋∠2＋2∠AED ＋2∠ADE ＝360°，所以∠AED ＋∠ADE ＝140°，所以∠A ＝40°.
【变式题】解：如图，因为∠A ＝65°，∠B ＝75°，所以∠CEF ＋∠CFE ＝∠A ＋∠B ＝140°，所以∠CEF ＋∠CFE ＋∠C ′EF ＋∠C ′FE ＝280°，所以∠2＝360°－(∠CEF ＋∠CFE ＋∠C ′EF ＋∠C ′FE )－∠1＝360°－280°－20°＝60°.。