经济数学线性代数第二章演示文稿
线性代数第二章
定义2： 两个矩阵的行数相等、列数也相等时， 就称它们是同型矩阵，如果 A (aij ) 与 B (bij )是同型矩阵，并且它们的对应 元素相等，即
aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称矩阵 A 与矩阵 B相等，记作 A B。 称元素都是零的矩阵为零矩阵，记作 O 。
A
a21
am1
a22
am2
a2n
amn
，以
aij
为
第 i 行 j 列元素的矩阵可简记作 (aij ) 或
(aij )mn ，m n矩阵 A 也记为 Amn 。
元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵 成为复矩阵。我们主要是讨论实矩阵。
注意：矩阵与行列式的区别。
（2） A A
第三节 逆矩阵
一、定义
定义1： 对于 n 阶矩阵 A ，如果存在一个 n 阶
矩阵 B ，使得
AB BA E
则称矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为
A的逆矩阵，记作 A1 。
注意： （1） 如果矩阵 A 是可逆的，那么 A 的
逆矩阵一定是唯一的。
（2） 如果 A 是 B 的逆矩阵，则 B是 A的逆矩阵。
第二节 矩阵的运算
一、矩阵的加、减法 1、定义
定义1： 设有两个 m n矩阵 A (aij ) 和 B (bij ) ，
规定 A 和 B 的和为
a11 b11 a12 b12 a1n b1n
a21 b21 a22 b22 a2n b2n
例1：
已知
A
0 1
1 1
经济数学基础线性代数之第2章 矩阵
第一单元矩阵的概念一、学习目标通过本课程的学习理解矩阵的概念，知道矩阵与我们的日常工作的联系.二、内容讲解2.1 矩阵的概念整存整取定期储蓄北京市居民抄表记录卡上面这些长方形表，抽象出来就是我们要讲的矩阵. 这里对矩阵作一些说明：004323105174-- ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--004323105174⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--004323105174矩阵一般用大写英文字母C B A ,,表示：如C B A ,,等⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=004323105174A横向称行，竖向称列.A ——43⨯矩阵每一个位置上的数都是A 的元素， 如1是A 的第2行第2列的元素，记为：122=a5是A 的第1行第4列的元素，记为： 514=a 补充内容：特别地，当1=m 时，矩阵只有一行，即[]n a a a 11211称为行矩阵；当1=n 时，矩阵只有一列，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡12111m aa a 称为列矩阵；当n m =时，矩阵的行列数相同，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a aa a a a a a 212222111211称为n 阶矩阵（或n 阶方阵）在n 阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线， 从右上角到左下角的对角线称为次对角线. 行列数相同的矩阵称为同型矩阵.x两个矩阵的行数相等、列数也相等时， 在矩阵[]nm ija A ⨯=中各个元素的前面都添加一个负号得到的矩阵称为A 的负矩阵，记作A -，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=241502A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-241502A这里A -是A 的负矩阵.问题：行矩阵和列矩阵是否为同型矩阵？答案 否.同型矩阵是指两矩阵的行、列数分别相同， 行矩阵是n ⨯1矩阵，列矩阵是1⨯m 矩阵的，当1,≠n m 时，不是同型矩阵，只有当1==n m 时为同型矩阵.三、例题讲解例1 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=127002154B这是4行2列矩阵.四、课堂练习练习1 设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=900411361122341321501A ，则.________,3413==a a 13a 是矩阵A 中第1行第3列的元素，34a 是矩阵A 中第3行第4列的元素.练习2 某中学初三年级（2）班45名学生第二学期期中考试五门主科成绩，按学号排序可列成下表（为简单起见，这里只列出一部分）：此表称之为该班学生的学习成绩表，如果仅将学生各科成绩排列出来，其矩阵为 . 这是一个545⨯矩阵，第i 行表示第i 个同学各科的考试成绩，第j 列表示第 j 门课程每个同学的考试成绩，其中.5,,2,1;45,,2,1 ==j i此表中每一个数字代表着某学科的考试成绩，列成矩阵的形式其中每一行表示某一个学生各科的成绩，每一列表示某一科目每个学生的成绩.将学生各科成绩排列出来，写成一个矩阵的形式，此矩阵是一个545⨯矩阵，即为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7465908778949285989078909488958590999085五、课后作业1.讨论一般线性方程组问题，线性方程组的表达方式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111如果略去未知数记号和运算符号，如何用数表的形式表示线性方程组.2.举一些生活和工作中是常用的实例，如市场上的价目表，工厂中产量的统计表，银行中的存款利率表等等，将数表表示为矩阵.3.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=7139115125122110717A 是个43⨯矩阵，且有_____________,_____,143221===a a a . 4.写出34⨯的O 矩阵5.写出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4317021A 的负矩阵. 1. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m m m m n n b a a a b a a a b a a a 221222221111211 2.略 3.21,9,12143221===a a a4.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000005.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---4317021 第二单元 矩阵的运算一、学习目标通过本课程的学习要理解矩阵运算的定义，熟练掌握矩阵的加法、数乘、减法、乘法和转置运算.二、内容讲解1. 矩阵相等例如，一日产量的统计表⎥⎦⎤⎢⎣⎡232221131211a a aa a a 丙乙甲第一天的产量为32][⨯=ij a A , 第二天的产量为32][⨯=ij b B ,3,2,1;2,1===j i b a ijij由此可以得到矩阵相等的定义 若B A ,满足：(1) B A ,同形；(2)对应元素分别相等，即ijij b a =, 则称B A =.2.矩阵加法][ij ij b a B A +=+，用C 记为B A ,的和，即][ij ij b a B A C +=+=规定如下：(1)B A ,同形，于是C 同形；(2) 对应元素分别相加. 矩阵加法满足两条运算规律： 性质1(交换律)A B B A +=+性质2(结合律) )()(C B A C B A ++=++O 矩阵，记为[]n m O ⨯=0，且A A O O A =+=+ 3.矩阵的数量乘法A ----n m ⨯矩阵 λ-----数C A A ==λλ，则(1)C 和A 同形；(2)ijij a c λ=，即A 中每个素都乘以λ特别地：O A =0，A A =1注意：O A =0中定义为，等式左边是数0与矩阵A 的乘积，而右边是零矩阵. 矩阵减法定义为：)(B A B A -+=-即矩阵A 减矩阵B 等于A 加B 的负矩阵)(B -.一班其中98748510311=⨯+⨯+⨯=c 2314253312=⨯+⨯+⨯=c 92748310421=⨯+⨯+⨯=c 2214233422=⨯+⨯+⨯=c⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1728310434453AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22922398 {n m ij a A ⨯=][，11][n m ij b B ⨯=}1．仅当1m n =时，才能做乘法AB . 2．若C AB =，则C ——1n m ⨯ 3．若][ij c C =，则njin j i ij b a b a c ++= 11 (行乘列法则)(矩阵乘法定义请阅读教材第2章定义2.5) 矩阵乘法的运算性质B A B A λλλ+=+)( (数对矩阵的分配律)AC AB C B A +=+)( (矩阵的左分配律) CA BA A C B +=+)( (矩阵的右分配律)4.矩阵的转置设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=f e d c b a A将A 第一行元素写在TA 第一列处，A 第二行元素写在TA 第二列处，这样就可得到A 的转置矩阵.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=f c e bd aA T转置矩阵的性质：∙A A =TT )( ∙ T )(B A B A T T +=+ ∙ T )(kA =T kA ∙T T T )(A B AB = 补充内容数乘矩阵所满足的算律 设A ，B 为任意n m ⨯ k , h 为任 意实数，可以验证数与矩阵的乘法满足： （1）k (A+B )=k A+ k B （2）(k+ h )= k A+ h A （3）(k h )A=k (h A ) （4）A A =1,A A -=-)1(问题思考1：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3112,1021B A ，则=-B A ？ 答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-4131B A . 因为)1(1021)1(-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+=-B A B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3112==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)3(11012)2(131121021⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4131 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-4131B A . 三、例题讲解例1 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2131A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2100B因为ijij b a ≠ )2,1,(=j i ，所以 B A ≠例2 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010321A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=100211B ，求B A +. 解:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+110532B A 例3[]010=A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321B ，求B A +. 解: 因为B A ,不同形，所以B A +不能进行.例4 设[]101=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321C ，求AB ，BA 和AC . 解：AB =[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210101=[2]， BA =[]101210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡202101000 AC 不能相乘⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3764A ，例6 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=3564B，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=371821C ，计算BC AC 33+.解： BC AC 33+=C B A )(3+=+B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3764+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---3564=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--33576644=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0200 C B A )(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0200⎥⎦⎤⎢⎣⎡--371821=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1642000 ∴C B A )(3+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡16420003 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡48126000例7 B A ,均为43⨯矩阵，问下列乘法能否进行，若能，其乘积矩阵为几行几列？T T ,,,AB B A BA AB解：B A BA AB T,,——4阶， T AB ——3阶 四、课堂练习练习1 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=071310,302141B A ，求B A +. []3,2,1;2,1==+=+j i b a B A ij ij ；两同型矩阵可以做加法，且和矩阵是由两矩阵的对应元素相加而成.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-+--+-+=+3714510370)1(2)3()1()1()4(01B A . 练习2 设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3121A ，且有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+2453B A T，求矩阵B 。
线性代数ppt
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且 1
1 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 A A .
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22
ann
0 0 ann
1
2.
2
12 n
1
n
3.
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MMM
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
线性代数第2章矩阵PPT课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
线性代数第二章课件2-2
5
若A是 n 阶矩阵，则 Ak
Ak AAA 并且 Am A
为A的
k Am
k k,
次幂，即 Am k Amk
.
k个
m ,k为正整数
18
例3 计算下列乘积：
1
22 1
2
3
解
1
2 2
1
2 1
2 2 1
2 2 2 2 2 2
4 4.
3
3 1 3 2 3 6
19
2
b1
k 1
s
s
s
(cij )
a2k bk1
a2k bk 2 a2k bkn
k 1
k 1
k 1
s
s
s
amk bk1 amk bk2 amk bkn m n
k 1
k 1
k 1
12
2. 矩阵乘法不满足下面两条性质
(1) 矩阵乘法不满足消去律。
例 A 1 1 B 1 1
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
29
AX B
30
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn
线性变换
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn
ym am1 x1 am2 x2 amn xn
可表示为：
并把此乘积记作 C AB .
8
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
理学线性代数第二章PPT学习教案
21
例：
1 0 0
0
A 2
0
0
，
B
2
0 3
0
1 ，
0
C
3
0 1
0 5
3 0 0
2 0 5
2 0 2
则有AB=AC=O. 但显然有B C , A O, B O, C O.
第20页/共78页
矩阵相乘不同于数的乘积的三点： 1)无交换律:ABBA. 2)无消去律:由AM=AN 一般不能推出: M=N. 3)由AB=O一般不能推出: A=O, 或 B=O.
kO=O, 0A=O
第2页/共78页
4
定理2.3.1 设A, B, C是同型的任意矩阵，k、l
是任意的数，那么以下运算规律成立.
1) A+B=B+A
（加法交换律）
2) ( A+B)+C=A+(B+C) （加法结合律）
3) A+O=A
4) A+( A)=O
5) 1·A=A
6) k(l A)=(kl)A
A
2 4
1 3 ,
B 223
1 2
1
第36页/共78页
37
38
定理2.2.1 如一方阵可逆，则其逆矩阵唯一.
证明.若设B和C是矩阵A的逆矩阵，则有
于是
AB BA I , AC CA I , B IB (CA)B C( AB) CI C
所以A的逆矩阵是唯一的.
注：记可逆矩阵A的唯一的逆为A1.
第33页/共78页
35
明显地, 若有两个对角分块阵
A1
B1
A
A2
,
B
B2
[院校资料]线性代数课件第二章_OK
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13
例2.1的消元过程用矩阵初等行变换形式可简洁地表示为：
1 2 3 7
1 2 3 7
2 1
1 3
2 0
8 7
r2 2r1
r3 r1
10
定义2.1 矩阵的初等行变换
（1）交换矩阵某两行的对应元素（交换第 i, j 两行对应 元素，记作 ri rj ）；
（2）以非零数 k 乘矩阵某一行的所有元素（第 i 行乘以数 k ，记作 ri k ）；
（3）把矩阵的某一行元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去，记作ri krj）。
17
对矩阵 C 继续进行初等行变换
1 4 3 7
r1 4r2
C 0 1
14
3
1
143r3
0 0 143 0
1 0 59 5 0 1 14 3 0 0 1 0
1 0 0 5
rr125194rr33 0
1
0
3
0 0 1 0
1 0 0 5 D 0 1 0 3
0 0 1 0
x1 2x2 3x3 7
x2 3x3 14
5x2 4x3 6
1 2 3 7 0 1 3 14 0 5 4 6
5
x1 2x2 3x3 7
x2 3x3 14
5x2 4x3 6
1 2 3 7 0 1 3 14 0 5 4 6
（3）把上面方程组中的第三个方程加上第二个方程的5倍，得
1 0 6 0 0 1 2 0 0 0 0 1
《线性代数》课件-第2章方阵的行列式
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可 少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念， 掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.
第二章(行列式)ppt课件
③
看看D1与D有 何关系。
代
数
则
a aa aaa a aa a aa a aa a aa 1 1 2 23 3 1 22 33 1 1 3 2 13 2 1 3 2 23 1 1 2 2 13 3 1 1 2 33 2
b 1 a 1 2 a 1 3 b 3 a 2 3 a 3 3 b aa b aa b aa b aa b aa b aa 1 2 23 3 3 1 22 3 2 1 33 2 3 1 32 2 2 1 23 3 1 2 33 2
D b 1 2 a 2 2 a 2 3
a 1 1 b 1 a 1 3 D a b a a b a a b a a b a a b a a b a a 2 2 1b 2 a 2 3 1 2 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 3 2 1 1 2 1 3 3 2 1 3 3 1 3 1 1 2 3 a 3 1b 3 a 3 3
代
数
b a 2 a 22 21 b 2 x , x 1 2 a a a 11 12 11 a 12 a a 21 a 22 21 a 22
称符号① 蓝线表示 次对角线
a11 a 21
a12 a 22
看看与矩阵 有什么差别
红线表示 主对角线
a ij 称为它的(i, j)-元， 为二阶行列式。它含有两行、两列， 其下角标i 表示 a ij 所在的行数，j 表示 a ij 所在的列数。
a11 引用符号 a 21 a12 ① a 22
a a a 表示 a 11 22 12 21 , 即令
线性代数第2章课件
例
线性变换
y1 1 x 1 , y2 2 x2 , yn n xn .
对应 n阶矩阵 1 0 0 2 A 0 0 0 0 n
B
b1 b2
...
bm
◆ mn矩阵A,当m=n时,称A为n阶方阵,也称为n阶矩阵.
◆当两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩
阵。
a11 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b11 b12 b22 am 2 b1n b2 n bmn b21 bm1
例 5 求矩阵
A -2 1 4 -2
B 2 4
-3
-6
的乘积AB和BA。
例 6
设A,B分别是n×1和1×n矩阵,且
a1 a2 , B b b b A 1 2 n an
计算AB和BA.
解
a1 a1b1 a1b2 a1bn a2 a2b1 a2b2 a2bn AB b1 b2 bn an anb1 anb2 anbn a1 a2 b a + b a + + b a BA b1 b2 bn 1 1 2 2 n n an
B 2
1
C
1
0
-3 2
2 1
求AB+AC。
解
1 AB + AC A( B + C ) 3 1 3 2 3 4 1
线性代数第二章
例3
1 11 2 0 4 1 设 A 11 4 56 2 1 5
例4
1 1 2 参 数 ____ 时, 矩 阵 2 1 5 的 秩 最 小 1 10 6 1
例3
1 11 2 2 0 4 1 1 设 A , 求 rA 11 4 56 5 2 1 5 6
1 1 1 例4 令A 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 0 2 1 1 解：A 0 0 0 3 0 2 1 4 1 1 1 2 0 2 1 1 0 0 0 3 0 0 0 0
说 明
(5)n阶矩阵A为满秩矩阵 A可逆 |A 0 | (6)n阶矩阵A为降秩矩阵 rA n |A 0 |
2.矩阵秩的求法 定理 矩阵经初等变换后秩不变 推论1 注： 推论2 若A ≌ B , 则 rA= rB 若rA= rB , A 与B不一定等价
若A 、B是同阶矩阵, 则A ≌ B当且仅当rA= rB
1 A 4 2 2 5 0 3 6 1 4 0 8 1 三阶子式： 4 2 2 5 0 4 0 8
说 明
例
定义
若在m×n矩阵A中 有一个r阶子式不为0, 而所有r +1阶子式全为0, 则称数r为A的秩. 记为rank(A)=r 或 rA = r
rA=m, 则称A为行满秩矩阵;
五. 矩 阵 的 秩
1. 概念
2.矩阵秩的求法
1. 概念
定义 设A=(aij)m×n , 任取k行k列,1≤k ≤min{m, n}, 位于 这些行列交点处的k2 个元素, 按其在A中原相对 位置构成的k阶行列式称为A的k阶行列式 (1) aij即为A的1阶子式 (2)n阶矩阵A, 其行列式|A|是A的唯一的n阶子式
【经典线代课件】线性代数课件第二章
零矩阵.
00 00 1 n
思考题
矩阵与行列式的有何区别?
思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而 矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.
§2.2 矩阵的运算
一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的其它运算 五、小结
例5 已知
A2 0 1, 1 3 2
1 B4
7 2
1 3,
求AB T.
2 0 1
解法1
AB2 1
0 3
21142
7 2 0
1
3ABT
0 14
1
3
17 13. 10
0 14 3, 17 13 10
解法2
AT B B TA T
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 3 14 13 .
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n 矩阵 A a ij,B b ij,那末矩阵
A与 B的和记作AB，规定为
a11b11 ABa21 b21
am1bm1
a12b12 a22b22
am2bm2
a1n a2n
b1n b2n
amnbmn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21 an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
b1 b2 bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
B 2. 某航空公司在A,B,C,D四
城市之间开辟了若干航线 ,
如图所示表示了四城市间的 A
C
同济大学线性代数课件__第二章
2 4 4 9
线性方程组与矩阵的对应关系
2
定义1 由 m n 个数 a ij (i 1,2, , m; j 1,2, , n)
排成的m行n列的数表，
a11 a21 am 1 a12 a22 a1n a2 n
am 2 amn
称为m行n列矩阵. 简称m n矩阵.
13
y1 1 x1 y x 2 2 2 yn n x n
§2 矩阵的基本运算
一、 矩阵的加法
定义2 设有两个 m n 矩阵 A (aij ), B (bij ), 那末矩阵 A与B 的和记作A+B，规定为
a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 A B a b m 1 m 1 am 2 bm 2
12
线性变换与矩阵之间的对应关系. 恒 等 变 换
y1 x1 , y x , 2 2 yn x n
1 0 0 0 1 0 单 位 阵 0 0 1
1 2 n
23
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 3 3 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 3
16
矩阵加法满足的运算规律:
1 交换律：A B B A. 2 结合律： A B C A B C . 3 A O A 4 A A O .
17
二、数与矩阵相乘
定义3 数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
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a11
a12
a21
a22
方阵与矩阵的区别：二阶方阵是 22个数按确定
的方式排成的一个数表，而二阶行列式是这些
数（也就是二阶矩阵 A）按一定的运算法则所
确定的一个数．
若记
A1
b1 b2
a12 a22
,
A2
a11 a21
b1
b2
A1
D1
q1q2qn
行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即
该性质表明，行列式中的行与列具有同等的 地位，行列式的性质凡对行成立的对列也成 立，反之亦然．
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号．
推论 若行列式两行(列)完全相同，则此行 列式为零．
性质4 行列式的把一行（列）中所有元素 都乘以同一常数，等于用数乘此行列式．
三阶行列式
记作
a11 a12 a13
D det A A a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11a22 a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
例2 计算三阶行列式
123 D 3 1 2.
231
解 D 13 23 33 1 23 231 31 2 18
n阶行列式定义
三阶行列式定义
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
(1)
可以看出：（i）(1)式右边的每一项都恰好是三个元的乘积，
这三个元位于不同的行和列，且可以写成 的行标排成自然顺序123，列标排成p1 p2 p3
T
D
其中 Dj ( j 1, 2,3) 是用常数项 b1,b2,b3 替换 D
中的第 j 列所得的三阶行列式，即
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12 b1
D1 b2 a22 a23 D2 a21 b2 a23 D3 a21 a22 b2 .
b3 a32 a33
a31 b3 a33
经济数学线性代数第二章演示 文稿
（优选）经济数学线性代数第 二章
用消元法求解线性方程组（1），得
((aa1111aa2222
a12 a21 ) x1 a12 a21 ) x2
b1a22 b2a11
b2a12 b1a21
该式中
的系数
称为由二阶
方阵 A 所确定的二阶行列式，记为
矩阵 A 的行列式还记作 A 或 det A，即
1 p1 2 p2
npn
an1 an2 ann
例1 证明n阶对角行列式
1 2
12 n
n
2
1
(1)
n ( n1) 2
12
n
n
例2 证明上三角形行列式
a11 a12 a1n
0 | D |
a22
a2n
a11a22 ann
0 0 ann
用定义！
定理1 n阶行列式也可定义为
D
(1) (q1q2qn )a a q11 q2 2 aqnn
b1 b2
a12 , a22
A2
D2
a11 a21
b1 b2
则，二元线性方程组解可以表示为
x1 x2
D1 D D2
D
例1
求解二元线性方程组
2x1 x1
4x2 3x2
1 2
解
因为
24 D 6420,
13
14
21
D1 2
38 5 , 3
D2 1
41 3, 2
所以
x1 x2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
x1,
x2 ,
x3
T
D1 D
,
D2 , D
D3 T D
11 , 8
9, 8
3 4
T
习题：P25,1.（2）、（3）
第二、三节排列、n阶行列式的定义和性质
定义1 由1,2,3...,n组成的有序数组称为一个n级排列。 n级排列的总数为n! 定义2 在一个排列中前面的数大于后面的数，那么这个称 为 后面那个数的一个逆序，每个数的逆序总数称为这个排列 的 逆序数。 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，反之为偶排列。 逆序数的计算： 例排列45321的逆序
a1
,
pp11ap22pp2 a3是3 p31，23每的个某元个
排列，这样的排列有6种，对应右端6个多项式。
（ii）带正号的三项列标排列是：123,231,312；带负号的为132、
213、321，前面三个为偶排列，后面为奇排列。多项式的符号
可以表示为 (1) ( p1p2 p3 ) ( p1 p2 p3 ) 为列标排列的逆序数。
对于三元线性方程组，
a11 a12 a13
如果它的系数行列式
D a21 a22 a23 0 a31 a32 a33
利用消元法求解，则可得方程组的解为
D1
x1 x2 x3
D D2 D D3 D
为书写方便，将之记成
x1,
x2 ,
x3 T
D1 D
,
D2 , D
D3
a31 a32 b3
例3 解三元线性方程组
2x1 4x2 x3 1
x1 5x2 3x3 2
x1
x2
x3 1
解
2 4 1
D 1 5 3 10 12 1 5 6 4 8 0
1 1 1
1 4 1
211
2 4 1
D1 2 5 3 11 D2 1 2 3 9 D3 1 5 2 6
推论1 行列式某一行（列）的所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面．
推论2 行列式的某一行（列）的元素全为 零，则此行列式为零；若行列式某两行(列) 成比例，则此行列式等于零．
性质5 若行列式的某一行（列）的元素都
是两数之和，例如，第 i 行的元素都是两
经分析，三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(1) p1 p2 p3 a1 p1 a2 p2 a3 p3
a31 a32 a33
p1 p2 p3
把该情形推广到n阶矩阵
a11 a12 a1n
|
A |
a21
a22
a2n
( p1 p2 pn )
(1) a a a p1p2pn
D1 D D2 D
5 2 3 2
.
2. 三阶行列式
定义 对于一个给定的3阶方阵
A aij (i, j 1, 2,3)
将之与数
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
相对应，那么这个数就称为由矩阵 A 所确定的