小专题天体运动中的四大难点

A.a 1a 2＝r R

B.a 1a 2＝(r R )2

C.v 1v 2＝r R

D.v 1v 2＝

R r

解析 设地球质量为M ，同步卫星的质量为m 1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物

体的质量为m 2，根据向心加速度和角速度的关系有a 1＝ω21

r ，a 2＝ω22

R ，又ω1＝ω2，故a 1

a 2

＝

r R ，选项A 正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm 1r 2＝m 1v 21r ，G Mm 2R 2＝m 2v 22

R ，解得v 1v 2

＝R

r ，选项D 正确。 答案 AD 【变式训练】

1．(2014·市高三第二次模拟考试)有a 、b 、c 、d 四颗卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h ，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图1所示，则下列关于卫星的说法中正确的是( )

图1

A ．a 的向心加速度等于重力加速度g

图2

A．卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度为(h

R＋h

)2g

B．卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度为v＝

gR2 R＋h

C．卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率D．卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能

第一步：抓住信息→构建运动模型

读题看图――→

提取

信息

①Ⅰ、Ⅲ是圆形轨道

②Ⅱ是椭圆轨道

――→

建模

①卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ上做匀速圆周运动

②卫星在轨道Ⅱ上做变速曲线运动

第二步：找突破口→理清思路

解析设地球质量为M，由万有引力提供向心力得在轨道Ⅰ上有G Mm

R2

＝mg，在轨道Ⅲ上

有G

Mm

R＋h2

＝ma，所以a＝(

R

R＋h

)2g，A错；又因a＝

v2

R＋h

，所以v＝

gR2

R＋h

，B对；

卫星由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要加速做离心运动，即满足GMm

r2

＜

mv2

r

，所以卫星在轨道Ⅲ

上运行时经过P点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P点的速率，C对；尽管卫星从轨道

Ⅰ变轨到轨道Ⅲ要在P、Q点各加速一次，但在圆形运行轨道上v＝GM

r

，所以由动能

表达式知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，D错。

答案BC

解题模板

【变式训练】

2．(多选)如图3是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P 点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15 km，远地点为P、高度为100 km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说确的是( )

图3

A．“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化B．“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期

C．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速率一定大于经过P点时的加速度D．“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率

解析“嫦娥三号”在距离月面高度为100 km的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大

小不变，选项A错误；由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100 km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，选项B正确；由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项C正确；“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动的引力势能和动能之和保持不变，Q点的引力势能小于P点的引力势能，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动到Q点的动能较大，速度较大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率一定大于经过P点时的速率，选项D错误。

答案BC

突破三天体运动中的能量问题

1．卫星(或航天器)在同一圆形轨道上运动时，机械能不变。

2．航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

卫星速率增大(发动机做正功)会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能

减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆轨道上时需满足G Mm

r2

＝m

v2

r

，致使卫星在较高

轨道上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率，但机械能增大；相反，卫星由于速率减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨道上的运行速率，但机械能减小。【典例3】(2014·卷，20)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图4，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月，以月面为零势能面。“玉兔”在h高度的引力势能可表示为E p＝GMmh

R R＋h

，其中G为引力常量，M为月球质量。若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为( )