大学概率论答案

习题 7-4
1. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了 40 名旅游者, 算得平
均消费额为 x = 105 元, 样本标准差 s = 28 元. 设消费额服从正态分布. 取置
信水平为 0.95, 求该地旅游者的平均消费额的置信区间. 解 计算可得 x = 105, s2 =282.对于α = 0.05, 查表可得
为一组样本, 测得其尼古丁平均含量为 18.6 毫克, 样本标准差 s=2.4 毫克. 试求
此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为 0.99 的置信区间．
解
已知n=8, s2 =2.42, α = 0.01,
查表可得
χ
2 α
(n
−1)
=
χ2 0.005
(7)
=
20.278
,
2
χ
2
α
(n
− 1)
=
χ
矩估计量与极大似然估计量.
解
因为E(X)= 1 λ
= X , 所以 λ 的矩估计量为 λˆ = 1 . 设x1, x2,…, x n是相 X
应于样本X1, X 2,… ,X n的一组观测值, 则似然函数
n
∏ λ λ n
L = e = e ∑ n
−λ xi
−λ xi
n
, i=1
i =1
取对数
n
∑ ln L = n ln λ − ( xi )λ .
i =1
而θ的极大似然估计量为
θˆ = −1− n . n ∑ ln X i
i =1
4. 设总体 X 服从参数为 λ 的指数分布, 即 X 的概率密度为
⎧λe−λx , f (x, λ) = ⎨
⎩ 0,
x > 0, x≤0,
其中 λ > 0 为未知参数, X1, X2, …, Xn为来自总体X的样本, 试求未知参数 λ 的
n2
n2
n2
n2
= (10 − 9 × 2.575, 10 + 9 × 2.575) = (9.2275,10.7725).
100
100
10000 户居民对此种商品月需求量的置信度为 0.99 的置信区间为
(92275,107725)；
（2）最少要准备 92275 公斤商品才能以 99%的概率满足需要.
f
( x;θ
)
=
⎧(θ ⎨ ⎩0,
+ 1)xθ
,0
< x < 1, 其它.
其中θ>-1 是未知参数, X1,X2,…,Xn 是来自 X 的容量为n的简单随机样本, 求: (1) θ 的矩估计量；
(2) θ 的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为
∫ ∫ E(X ) =
+∞
xf (x)dx =
−∞
)是 μ 和 σ 2 的
∑ ∑ (A)
1 n
n i =1
X
i
和
1 n
n i =1
(Xi
− X )2 .
∑ ∑ (B)
1 n −1
n i =1
Xi
和
1 n −1
n i =1
(Xi
−
X )2
.
∑ ∑ ∑ ∑ (C)
1 n −1
n i =1
Xi
和
1 n −1
n i =1
(Xi
− μ)2
.
(D)
1 n
n i =1
(D) 区间有 95%的可靠程度含参数θ 的真值.
解 选(D).
(2) 对于置信水平 1-α(0<α<1), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下
列说法不正确的是( ).
(A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大.
(B) 如果 α 越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (C) 如果 1-α 越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而 1-α 越小. 解 选（C）
xi
⎞θ ⎠⎟
,
0 < xi < 1,
⎪⎩0,
其它.
n
∑ 当 0<xi<1(i=1,2,3,…,n)时, L>0 且 ln L = n ln(θ + 1) + θ ln xi , i =1
∑ 令
d ln L dθ
=n+ θ +1
n
ln xi
i =1
=0,
得
θ 的极大似然估计值为
θˆ = −1− n , n ∑ ln xi
其中参数θ(0<θ<1)未知, X1, X2, …, Xn是来自总体X的简单随机样本, X 是样本 均值.
(1) 求参数 θ 的矩估计量θˆ ;
(2) 判断 4X 2 是否为θ2的无偏估计量, 并说明理由.
解 见本章第三节三(1).
0.95
的置信区间,
并说明该置信区间的实际意义.
解 由题设 x = 10.6, y = 9.5, s12 = 2.4, s22 = 4.7, n1 = 12, n2 = 17,
sw2
=
(n1
− 1)s12 + (n2 − 1)s22 n1 + n2 − 2
=
(12 − 1) × 2.4 + (17 − 1) × 4.7 12 + 17 − 2
似然估计量.
∫ ∫ 解
(1)
X
=
E(X ) =
1 0
xθdx +
2 1
x(1−θ )dx =
3 −θ 2
,
所以 θ矩
=
3−X 2
.
(2) 见本章第三节三(9).
2. 设总体 X 的概率密度为
⎧ ⎪ ⎪
1 2θ
,
f
(x,
θ
)
=
⎪ ⎨ ⎪
1 2(1 − θ
)
,
⎪0, ⎪⎩
0< x <θ, θ ≤ x < 1, 其它.
习题 7-1
1. 选择题
(1) 设总体X的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而 X1, X 2 ,L, X n 为来自X的 样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .
(A) X 和S2.
∑ (B)
X
和1 n
n i =1
(Xi
− μ)2
.
(C) μ和σ2. 解 选(D).
∑ (D)
X
和1 n
n i =1
结论“ μ1 − μ 2 的置信水平为 0.95 的置信区间是(-0.40,2.60)”的实际意义
是：在两总体方差相等时, 第一个正态总体的均值 μ1 比第二个正态总体均值
μ2 大-0.40～2.60，此结论的可靠性达到 95%.
4. 某商场为了了解居民对某种商品的需求, 调查了 100 户, 得出每户月平
均需求量为 10 公斤, 方差为 9 . 如果这种商品供应 10000 户, 取置信水平为
0.99.
(1) 取置信度为 0.99,试对居民对此种商品的平均月需求量进行区间估计;
(2) 问最少要准备多少这种商品才能以 99%的概率满足需要？
解 (1) 每户居民的需求量的置信区间为
(x − s tα (n −1), x + s tα (n −1)) ≈ (x − s zα , x + s zα )
2 0.995
(7)
=
0.989
,
所以方差σ 2的置信区间为
1−
2
(n −1)S 2 (
,
(n −1)S 2
)
=
(8 (
−1) ×
2.42
,
(8
− 1) ×
2.42
)
=(1.988,
40.768).
χα 2 (n −1) χ 2 α (n −1)
20.278
0.989
1−
2
2
3. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取样
= 1.942
tα (n1 + n2 − 2) = t0.025 (27) = 2.05181, 所求置信区间为
2
(( x − y ) ± tα (n1 + n2 − 2)sw
2
Fra Baidu bibliotek
1 + 1 ) = ((10.6 − 9.5) ± 2.05181×1.94 × n1 n2
1 + 1) 12 17
=(-0.40,2.60).
(Xi
−
X )2
.
(2) 设 X U[0,θ ] , 其中 θ>0 为未知参数, 又 X1, X 2 ,L, X n 为来自总体 X
的样本, 则 θ 的矩估计量是( ) .
(A) X .
(B) 2 X .
解 选(B). 2. 设总体 X 的分布律为
(C)
max{
1≤i≤n
X
i
}
.
(D)
min{
1≤i≤n
本:X1,X2,…,X12及Y1,Y2,…,Y17, 算出 x = 10.6g, y = 9.5g, s12 = 2.4, s22 = 4.7 . 假设 这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布, 且相互独立, 其均值分别
为
μ 1
,
μ 2
.
又设两总体方差 σ 2 1
=
σ
2 2
.
求
μ 1
−
μ 2
置信水平为
−
2
E
(
X
1
X
2
)
+
E
(
X
2
2
)]
=
2σ 2 2
=σ2,
所以
1 2
(
X1
−
X
2
)2
为σ
2
的无偏估计.
习题 7-3
1. 选择题
(1) 总体未知参数θ 的置信水平为 0.95 的置信区间的意义是指( ).
(A) 区间平均含总体 95%的值.
(B) 区间平均含样本 95%的值.
(C) 未知参数θ 有 95%的可靠程度落入此区间.
i =1
∑ 令
d ln L dλ
=
n λ
−
n i =1
xi
=
0,
得 λ 的极大似然估计值为 λˆ = 1 , λ 的极大似 x
然估计量为 λˆ = 1 . X
习题 7-2
1. 选 择 题 : 设 总 体 X 的 均 值 μ 与 方 差 σ 2 都 存 在 但 未 知 , 而
X1, X 2 ,L, X n 为 X 的样本, 则无论总体 X 服从什么分布, ( 无偏估计量.
+
kμ
=
μ
,
解之, k= 5 . 12
3. 设总体 X 的均值为 0, 方差σ 2 存在但未知, 又 X1, X 2 为来自总体 X 的
样本,
试证：
1 2
(
X1
−
X2
)2
为σ
2
的无偏估计.
证
因为
1 E[
2
(X1
−
X2 )2 ]
=
1 2
E[(
X
2 1
−
2X1X2
+
X 22 )]
=
1 2
[
E
(
X
2 1
)
tα (n −1) = t0.025 (39) = 2.0227 .
2
所求 μ 的置信区间为
s
s
28
28
( x − tα (n − 1), x + tα (n − 1)) = (105 −
× 2.0227, 105 +
× 2.0227)
n2
n2
40
40
=(96.045, 113.955).
2. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布. 现随机抽取此种香烟 8 支
Xi
和1 n
n i =1
(Xi
− μ)2
.
解 选(D).
2. 若 X1 , X 2 , X 3 为 来 自 总 体 X N (μ ,σ 2 ) 的 样 本 , 且
Y
=
1 3
X1 +
1 4
X2
+ kX3 为 μ
的无偏估计量,
问k
等于多少?
解
要求
E(1 3
X1
+
1 4
X2
+
kX 3
)
=
1 3
μ
+
1 4
μ
总习题七
1. 设总体 X 的概率密度为
⎧θ ,
0 < x < 1，
f (x,θ ) = ⎪⎨1−θ , 1≤x≤2，
⎪⎩ 0,
其它,
其中θ（0<θ <1）是未知参数. X1, X2, …, Xn为来自总体的简单随机样本, 记
N为样本值 x1, x2,L, xn 中小于 1 的个数. 求: (1) θ的矩估计量; (2) θ的极大
X
i
}
.
X
-2
1
5
P
3θ
1 − 4θ
θ
其中 0＜θ＜0.25 为未知参数, X1, X2, …, Xn为来自总体X的样本, 试求θ的矩估 计量.
解 因为 E(X)=(-2)×3θ+1×(1-4θ)+5×θ=1-5θ, 令 1 − 5θ = X 得到 θ 的矩估
计量为θˆ = 1− X . 5
3. 设总体 X 的概率密度为
1 (θ
0
+ 1) xθ +1dx
=
θ θ
+1 +2
.
令 E(X )
=
X
,
即 θ +1
=
X
,
得参数θ的矩估计量为 θˆ =
2X
−1 .
θ +2
1− X
设x1, x2,…, x n是相应于样本X1, X 2,… , X n的一组观测值, 则似然函数为
∏ L
=
⎧ ⎪(θ ⎨
+ 1) n
⎛ ⎝⎜
n i =1