第四章__数控装置的插补原理

lim Li L
△t 0 i0
插补：在已知曲线的种类，起点、终点和进给速 度的条件下，在曲线的起、终点间进行“数据点 密化”，确定一些中间点的方法。
插补算法：处理这些插补的算法 本章主要讨论直线和圆弧的插补算法 插补的任务：按照进给速度的要求、在轮廓起点
和终点之间计算出若干中间点的坐标值。
对内接弦线，最大半径误差er
与步距角δ的关系为：
er
r(1 cos
)
将 co用s 级数展开式表达,有:
( )2 ( )4
er r{1[1
2 2!
2 4!
]}
( )4
Q2
4
=1
4! 384
舍去此项后的各项
则
er
2
8
r
又 l
r
l TF (T-插补周期,F-进给速度)
er
l 2 8
.1 r
P0(0,0)
设插补周期T，
则每个插补周期的进给步长为 L TF
设直线长度为L，则
L
X
2 e
Ye2
由图
x L
xe L
y L ye L
设
L K L
则各坐标轴的位移量
x
L L
xe
kxe
y
L L
ye
kye
(4-6)
插补第i点的动点坐标为：
xi
xi1
xi
xi1
L L
xe
yi
yi1
yi
yi1
沿+y 方向走一步: yi 1 yi 1
沿-x 方向走一步:
Fi1 Fi 2 yi 1
xi 1 xi 1
Fi1 Fi 2xi 1
沿-y 方向走一步:
yi 1 yi 1
Fi1 Fi 2 yi 1
7.圆弧自动过象限 圆弧自动过象限:指圆弧的起点和终点不在同一象 限内,程序中需设置圆弧自动过象限功能。 特点:过象限时圆弧与坐标轴相交,两坐标值中必 有一个为零, 判别方法:检查是否有坐标值为零. 逆圆过象限时象限转换的顺序： NR1→NR2→NR3→NR4→R1 规律：每过一次象限,象限序号加1。从第四象限 过到第一象限时,序号由4变为1 顺圆过象限时象限转换的顺序: SR1→SR4→SR3→SR2→SR1
插补周期T＞插补运算时间+其它实时任务所需 时间 2．插补周期与位置反馈采样的关系
插补周期和采样周期可以相等，也可以不等
不等时，一般插补周期是采样周期的整数倍。 3．插补周期和精度、速度的关系
直线插补 插补形成的每一个小直线与给定 直线重合，不会造成轨迹误差。
圆弧插补 用弦线来逼近圆弧，必然会造成 轨迹误差。
❖圆心角的关系为：i1 i
式中，δ- 进给步长l对应的角增量，称步距角
∵OA⊥AP ∴ AOC≌PAF
则 ∠ ∠PAF AOC i
∵AP为切线 ∴∠ BAP 1 AOB 1
2
2
∠
PAF
∠ BAP
i
1 2
在△MOD中
tg
tg
(
i
2
)
DM OD
xi
1 2
l
cos
yi
1 2
sin
又∵ tg FB y
(TF )2 8
.1 r
(4-5)
圆弧插补时，插补周期T分别与精度er、圆弧半
径r和进给速度F有关。
给定弦线误差极限时，圆弧插补的插补周期应尽
可能小，以获得尽可能大的允许进给速度。
三．直线插补算法
1．直线插补法原理
设刀具在XY平面作直线运动，
起点P0(0,0)，终点Pe(Xe，ye)，
刀具沿直线移动的速度为F，
L L
ye
(4-7)
P0(0,0)
2．实用插补算法
CNC装置中，插补运算通常分两步完成：
第一步：插补准备，完成在插补运算过程中固定
不变的常值的计算，每个程序段只运行一次。
第二步：插补计算，要求每个插补周期计算一
次，并算出插补点(Xi,Yi)。
（1）进给率数法 插补准备： 插补计算：
K L L
xi kxe yi kye
目前使用的插补算法
脉冲增量插补 数据采样插补
第二节 脉冲增量插补
该插补为各坐标轴进行脉冲分配的计算 应用：因控制精度和进给速度较低，主要用于以步
进电机为驱动装置的开环系统。 较成熟算法：
逐点比较法 数字积分法 比较积分法
本节主要介绍逐点比较法 一、逐点比较法插补原理 又称代数运算法或醉步法 基本原理：数控装置控制刀具移动的过程中，不 断比较刀具与给定轮廓的误差，使刀具向
减小误差的方向移动,且只有一个方向移动。 步骤:每进给一步经四个工作节拍
第一节拍—偏差判别：判别刀具当前位置相对工 件轮廓的偏差
第二节拍—进给：控制刀具相对工件轮廓进给一步
第三节拍—偏差计算：计算刀具当前位置的新偏差
第四节拍—终点判别：判别刀具是否到达轮廓段 终点，若到达终点，停止插补。 不断重复四个节拍， 即可加工出所要求轮廓。
若则动点Fi沿+1 +y(方xi向1走)2一 y步i2 后-(,x有2S xiy+S21)=xFi,yi i+21x=i yi1+1（4-3）
则 Fi+1
x2 i
(
yi
1 )2
-(x2 S
y
2 S
)
Fi 2yi 1
2.进给
第一象限逆圆，F与进给方向的关系：
F ≥ 0 沿-x 方向走一步 F F-2x +1
5.直线插补的象限处理 第二象限直线,偏差计算中取 代X替x,即可使用 第一象限插补运算公式,但x的进给方向与第一 象限相反. 输出驱动时,应使X轴步进电机反向 旋转,Y轴步进电机仍正向旋转.
第三象限，插补运算时,取 X代Y替x、y， 输出驱动：F≥0，向-x 方向步进， F＜0，向-y 方向步进。
1 l cos 45 2
yi
1 2
l
sin
yi
1 2
l
sin
45
(4-9)
其中， Xi,Yi已知， ∴可求tgα cosα
△X = coslα
FA x
由此可推出(Xi,Yi)与△X和△Y的关系式：
y
xi
1 2
x
xi
1 l cos
2
(4-8)
x
yi
1 2
y
yi
1 2
l
sin
∴只要求出cosα、sinα △X和△Y
但cosα、sinα为未知数，
∴采用近似算法
用cos45°和sin45°代替cosα和sinα
则：
tg
xi
1 l cos
2
xi
每走一步,n-1 n,直至n=0为止。 b.每走一步判断 Xi-X成e≥0立否
-yi ye≥0 若成立,插补结束。
4.直线插补软件流程图 第一象限直线插补的软件 流程图如右图
例:现要加工第一象限直线OE,终点坐标Xe=3,Ye=5，
用逐点比较法加工,进行相应的插补运算 解:总步数 n=3+5=8 ∵开始时,刀具应在直线起点,即在直线上, ∴F0=0,直线 插补运算过程见下表.插补轨迹如图
干个中间点，将曲线分割成若干个微小直线
段，每一微小直线段长度△l相等，且与进给
速度F有关。
❖粗插补在每个插补周期T中运算一次,∴ △l=FT
第二步：精插补 是在粗插补算出的每一条微小 直线段上再做“数据点的密化”工作，这一步 相当于对直线的脉冲增量插补。
数据采样插补用在闭环和半闭环的控制系统: ❖粗插补在每个插补周期内计算出坐标位置增量值 ❖精插补在每个采样周期内采样反馈位置增量值及
（4）一次准备法
插补准备
xi 插LL补xe计算
xi xi1 xi
yi
L L
ye
四.圆弧插补算法
yi yi1 yi
基本思想：满足精度要求的前提下，用弦进给代
替弧进给。
圆弧插补要求:已知刀具移动速度F的条件下,在圆 弧段上计算出若干个插补点,且使每个相邻的插
补点之间的弦长 △L
满足:
L FT
圆弧插补主要的算法:直接函数法、数字增量DDA 算法。
直接函数法 ❖设刀具沿顺时针移动，B点是继A点之后的插补 瞬时点，坐标为A(Xi,Yi)，B(Xi+1,Yi+1) ❖插补,指由已加工点A(Xi,Yi) B(Xi+1,Yi+1) 实际是求一个插补周期内 的△X和△Y。 ❖图中,AB — 圆弧插补时每 周期的进给步长l， M为弦的中点 AP — A点切线 且OM⊥AB，ME⊥AF(E为中点)
解:总步数 n 0 5=150 0 ∵开始加工时刀具应在圆弧起点, ∴F0=0,加工运算过程见下表 插补轨迹如图
6.圆弧插补的象限处理
❖圆弧所在的象限不同,顺逆不同,插补公式和进
给方向不同,圆弧插补有如图8种情况,
❖用代数值插补计算的公式:
沿+x方向走一步: xi 1 xi 1
Fi1 Fi 2xi 1
插补输出的指令位置增量值 算出各坐标轴相 应的 插实补际指反令馈二位位置置者比较，求得跟随误差
根据跟随误差算出相应轴的进给指令，并
输出给驱动装置。
❖实际使用中，粗插补运算简称为插补，通常用软 件实现。
二．插补周期的选择
1．插补周期与插补运算时间的关系 必须有插补周期＞Tcpu
插补周期与插补运算时间的关系应满足：
新判别函数为： Fi 1 ( yi 1)xe xiye Fi xe
2.进给
第一象限，F与进给方向的关系为：
F ≥ 0 沿+x 方向走一步 F F－ ye F < 0 沿+y 方向走一步 F F + xe
（4-3）
3.终点判别
每进给一步，进行一次终点判别
两种方法: a.求出每个程序段中的总步数n n xe ye
设第一象限中点（xi, yi )的F 值为Fi ：
Fi yixe xiye
若沿+x 方向走一步，则 xi 1 xi 1 , yi 1 yi
新判别函数为： Fi 1 yixe (xi 1) ye Fi ye
（4-2）
若沿+y 方向走一步，则 xi 1 xi , yi 1 yi 1
第四章 数控装置的插补原理
第一节 概述
数控机床的加工，是把刀具与工件的运动（坐
标）分割成一些最小的位移量，由数控系统按加
工程序的要求，使坐标移动若干个最小位移量。
如图，在平面上加工曲线L的
零件。可将L分解成
△L0,△L1,△L2···△Li ···等线段
设：切削△Li的时间为△ti
则 △t 0时，
取偏差判别函数F 为: F ( X 2 Y 2)-(X2S YS2)
刀具位置有三种情况:
F ＞0 刀具动点在圆弧外侧 F = 0 刀具动点在圆弧上 F ＜0 刀具动点在圆弧内侧
设第一象限动点(xi,yi)的F 值为Fi,则
Fi (x2i yi2 )-(x2S yS2 ) 0
若动点沿-x方向走一步后,有xi+1 =xi -1, yi+1 =yi
算法特点：插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲 均匀且速度变化小，调节方便。
应用：广泛应用于两坐标联动数控机床。 二、直线插补 1.偏差计算
设被加工直线OE位于XOY平面第一象限内。起点 为坐标原点，终点为E(Xe,Ye), 则直线方程为： x xe
y ye
改写为： yxe xye 0 直线插补时,刀具位置有三种情况
x x +1 F < 0 沿+y 方向走一步 F F +2y +1 （4-4）
y y +1
3.终点判别 每进给一步也要进行终点判别。 判别方法与直线插补同。 n xe xs ye ys
4.插补软件流程图 第一象限逆圆，如图
5.圆弧插补举例 例：设AB为第一象限逆圆 圆弧,起点为A(5,0),终 点为B(0,5),用逐点比较 法加工 ,进行插补运算。
位于直线上方，如A，则有 yxe xye>
位于直线下方，如C，则有 yxe xye0<0
位于直线上， 如B，则有 yxe xye =
取偏差判别函数： F yxe xye
0
（4-1）
F 与刀具位置关系：F=0 刀具在直线上
F > 0 刀具在直线上方
F < 0 刀具在直线下方
为便于计算机计算，将F 计算简化如下：
xi yi
xi1 xi yi1 yi
（2）方向余弦法
插补准备
cos xe
L
cos ye
L
插补计算
xi L cos yi L cos
xi yi
xi1 xi yi1 yi
（3）直接函数法
插补准备
xi
L L
xe
插补计算
yi
xi ye xe
xi yi
x i1xi y i1yi
规律:每过一次象限,象限序号减1。从第一象限过 到第四象限时,序号由1变为4.
第二节 数据采样插补
又称时间标ห้องสมุดไป่ตู้插补或数字增量插补。
应用:以伺服电机为驱动元件的闭环和半闭环数
控系统中。
一．数据采样插补的基本原理
插补算法特点：插补运算分两步完成
粗插补 精插补
第一步：粗插补 在给定曲线的起始点之间插入若
第四象限，插补运算时，取 代y 替y
输出驱动：F≥0，向+x 方向步进 F＜0，向- y方向步进
结论： F≥0均沿X方向进给， X增大， 走+X或-X由象限标志控制 F＜0均沿Y方向进给， y增大， 走+Y或-Y由象限标志控制
三、圆弧插补 1.偏差计算 第一象限逆圆 设起点(xs,ys),终点(xe,ye), 圆心为坐标原点, 设圆上任意一点(x,y), 则 R ( X 2 Y 2)-(X2S YS2) 0