三角形中常见辅助线的作法

教师寄语

春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。

三角形中常见辅助线的作法

1、延长中线构造全等三角形

例1 如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD 的取值范围．

提示：延长AD至A＇，使A＇D＝AD，连结BA＇．根据“SAS”易证△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．这样将AC转移到△A＇BA中，根据三角形三边关系定理可解．

2、引平行线构造全等三角形

例2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．

求证：DF=EF．

提示：此题辅助线作法较多，如：

①作DG∥AE交BC于G；

②作EH∥BA交BC的延长线于H；

再通过证三角形全等得DF＝EF．

3、作连线构造等腰三角形

例3 如图3，已知RT△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．

求证：BD=DE=CE．

提示：连结DC，证△ECD是等腰三角形．

4、利用翻折，构造全等三角形．

例4 如图4，已知△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC交BC于D．求证：AC＝AB＋BD．

提示：将△ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B＇处，再证BD=B＇D ＝B＇C，易得△ADB≌△ADB＇，△B＇DC是等腰三角形，于是结论可证．

5、作三角形的中位线

例5 如图5，已知四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点M、N．求证：∠BME＝∠CNE．提示：连结AC并取中点O，再连结OE、OF．则OE∥AB，O F∥CD，故∠1＝∠BME，∠2＝∠CNE．、且OE=OF，故∠1＝∠2，可得证．