江苏省海安市2019~2020学年高一第一学期期末考试数学试卷及答案
海安市2019~2020高一数学上学期期末调研考试含答案
9． 函数 y x4 x2 1的图象大致为
y
y
y
y
O A． 10．已知函数 y
x
O
x
O
x
O
x
B．
C．
D．
cos
3π 2
πx
，
x
ª «¬
5 6
，t
t ! 5 既有最小值也有最大值，则实数 t 的 6
取值范围是
A．
3 2
t
≤
13 6
B． t ! 3 2
C．
3 2
t
≤ 13 6
图象向左平移 π 个单位长度； 6
方案
2：将函数
f
(x)
的图象向左平移
π 3
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变
为原来的一半，纵坐标不变.
1
请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数 g(x) 的解析式，并解决如下问题：
（1）画出函数 g(x) 在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（2）请你研究函数 g(x) 的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论.
片生成相等的反向波曲线为
噪声声波
A． y sin x
（第 16 题）
B． y cos x C． y sin x D． y cos x
（第 8 题）
两者叠加后
用来降躁的反向声波 （第 16 题） （第 16 题） （第 5 题）
6．设e1 ，e2 是平面内的一组基底，则下面的四组向量（不第．能1．6作题为）基底的是 （第 8 题）
21．（本小题满分 14 分）
已知sinD
2 ，D 3
π ，π 2
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附标准答案
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. 或B. 或C. D. 或【答案】A【解析】解：；，或．故选：A．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.，则A. 1B. 2C. 26D. 10【答案】B【解析】解：根据题意，，则；故选：B．根据题意，由函数的解析式可得，进而计算可得答案．本题考查分段函数函数值的计算，注意分析函数的解析式．3.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为奇函数，不符合题意；对于B，，为偶函数，在上单调递减，不符合题意；对于C，，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意；对于D，为奇函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．4.函数的零点在A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数定义域为，，，，，因为，根据零点定理可得，在有零点，故选：B．利用零点的判定定理检验所给的区间上两个端点的函数值，当两个函数值符号相反时，这个区间就是函数零点所在的区间．本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是看出函数在所给的区间上对应的函数值的符号，此题是一道基础题；5.某圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为A. B. C. D. 1【答案】C【解析】解：圆的一条弦长等于半径，所以弦所对的圆心角为．故选：C．直接利用已知条件，转化求解弦所对的圆心角即可．本题考查扇形圆心角的求法，是基本知识的考查．6.已知点位于第二象限，那么角所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】解：点位于第二象限，可得，，可得，，角所在的象限是第三象限．故选：C．通过点所在象限，判断三角函数的符号，推出角所在的象限．本题考查三角函数的符号的判断，是基础题．7.己知，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，；．故选：D．容易看出，，从而可得出a，b，c的大小关系．考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．8.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：当时，函数，为减函数，当时，函数，为增函数，且当时，即函数恒经过点，故选：D．先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点，问题得以解决．本题主要考查了函数的图象和性质，求出函数恒经过点是关键，属于基础题．9.若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为，把已知条件代入运算，求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．10.已知幂函数过点则A. ，且在上单调递减B. ，且在单调递增C. 且在上单调递减D. ，且在上单调递增【答案】A【解析】解：幂函数过点，，解得，，在上单调递减．故选：A．由幂函数过点，求出，从而，在上单调递减．本题考查幂函数解析式的求法，并判断其单调性，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.数向左平移个单位，再向上平移1个单位后与的图象重合，则A. 为奇函数B. 的最大值为1C. 的一个对称中心为D. 的一条对称轴为【答案】D【解析】解：向左平移个单位，再向上平移1个单位后，可得的图象，在根据所得图象和的图象重合，故，显然，是非奇非偶函数，且它的最大值为2，故排除A、B；当时，，故不是对称点；当时，为最大值，故的一条对称轴为，故D正确，故选：D．利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用正弦函数的图象，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．12.已知的三个顶点A，B，C及半面内的一点P，若，则点P与的位置关系是A. 点P在内部B. 点P在外部C. 点P在线段AC上D. 点P在直线AB上【答案】C【解析】解：因为：，所以：，所以：，即点P在线段AC上，故选：C．由平面向量的加减运算得：，所以：，由向量共线得：即点P在线段AC上，得解．本题考查了平面向量的加减运算及向量共线，属简单题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的定义域为______．【答案】【解析】解：，或．的定义域为．故答案为：．由分子根式内部的代数式大于等于0，分母不等于0列式求解x的取值集合即可得到答案．本题考查了函数的定义域及其求法，属于基础题．14.已知角的终边过点，则______．【答案】【解析】解：角的终边过点，，则，故答案为：根据三角函数的定义求出r即可．本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义是解决本题的关键．15.已知向量，，，，则与夹角的余弦值为______．【答案】【解析】解：根据题意得，，，，故答案为：．运用平面向量的夹角公式可解决此问题．本题考查平面向量夹角公式的简单应用．16.已知函数，若有解，则m的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数，若有解，就是关于的方程在上有解；可得：或，解得：或．可得．故答案为：．利用函数的值域，转化方程的实数解，列出不等式求解即可．本题考查函数与方程的应用，考查转化思想有解计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.用定义法证明函数在上单调递增．【答案】证明：，设，则，又由，则，，，则，则函数在上单调递增．【解析】根据题意，将函数的解析式变形有，设，由作差法分析可得结论．本题考查函数单调性的证明，注意定义法证明函数单调性的步骤，属于基础题．18.化简下列各式：；【答案】解：；．【解析】直接利用对数的运算性质求解即可；直接利用三角函数的诱导公式求解即可．本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式及对数的运算性质，是基础题．19.已知函数求：的最小正周期；的单调增区间；在上的值域．【答案】解：函数，故函数的最小正周期为．令，求得，可得函数的增区间为，．在上，，，，即的值域为．【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．利用正弦函数的单调性，求得的单调增区间．利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，单调性，定义域和值域，属于中档题．20.已知，，且．若，求的值；与能否平行，请说明理由．【答案】解：，，且．，，，，，．假设与平行，则．，则，，，，不能成立，故假设不成立，故与不能平行．【解析】推导出，从而，，进而，由此能求出假设与平行，则推导出，，由，得，不能成立，从而假设不成立，故与不能平行．本题考查向量的模的求法，考查向量能否平行的判断，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.如图，等腰梯形ABCD中，，角，，，F在线段BC上运动，过F且垂直于线段BC的直线l将梯形ABCD分为左、右两个部分，设左边部分含点B的部分面积为y．分别求当与时y的值；设，试写出y关于x的函数解析．【答案】解：如图，过A作，M为垂足，过D作，N为垂足，则，当时，，当时，．设，当时，，当时，；当时，．．【解析】过A作，M为垂足，过D作，N为垂足，则，由此能求出与时y的值．设，当时，，当时，；当时，由此能求出y关于x的函数解析．本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质、三角形及矩形形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m的取值范围．【答案】解：函数是奇函数，，故，故；当时，恒成立，即在恒成立，令，，显然在的最小值是，故，解得：．【解析】根据函数的奇偶性的定义求出a的值，从而求出函数的解析式即可；问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m的范围即可．本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．。
2019-2020学年江苏省南通市海安高中高一(上)段考数学试卷(一)(10月份)
2019-2020学年江苏省南通市海安高中高一（上）段考数学试卷（一）（10月份）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知A ＝{x|−1<x <3}，B ＝{x|1<x <2}，则A ∪B ＝（ ） A.(−∞, +∞) B.(1, 2) C.(−1, 3) D.(1, 3)2. 将抛物线y ＝x 2+bx +c 向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数式为y ＝x 2−2x −3，则b ，c 的值为（ ） A.b ＝2，c ＝2 B.b ＝−2，c ＝−1 C.b ＝2，c ＝0 D.b ＝−3，c ＝23. 函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是（ ） A.[−2, 2] B.[−1, 1] C.[0, 4] D.[1, 3]4. 若函数y =x 2−3x −4的定义域为[0, m]，值域为[−254, −4]，则m 的取值范围是( ) A.(0, 4] B.[32，4]C.[32，3]D.[32，+∞)5. 若关于x 的一元二次方程(x −2)(x −3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列结论中错误的个数是（ ）（1）当m ＝0时，x 1＝2，x 2＝3(2)m >−14(3)当m >0时，2<x 1<x 2<3(4)二次函数y ＝(x −x 1)(x −x 2)+m 的图象与x 轴交点的坐标为(2, 0)和(3, 0) A.1 B.2 C.3 D.06. 若函数f(x)={x 3+2x 2+3x,x ≥0x 3+ax 2+bx,x <0 为奇函数，则实数a ，b 的值分别为（ ）A.2，3B.−2，3C.−2，−3D.2，−37. 设函数f(x)对x ≠0的一切实数均有f(x)+2f(2019x)=6x ，则f(2019)＝（ ）A.−4034B.2017C.2018D.40368. 函数f(x)＝x 2−2ax +a 在区间(−∞, 1)上有最小值，则函数g(x)=f(x)x在区间(1, +∞)上一定（ ） A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数9. 对任意x ∈R ，函数f(x)表示−x +3，32x +12,x 2−4x +3中较大者，则f(x)的最小值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.510. 若函数f(x)＝x 2+a|x|+2，x ∈R 在区间[3, +∞)和[−2, −1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.[−113, −3] B.[−6, −4] C.[−3, −2√2] D.[−4, −3]11. 设集合A ＝{r 1, r 2, ...r n }⊆{1, 2, 3, ...37}，且A 中任意两数之和不能被5整除，则n 的最大值为（ ） A.17 B.18 C.15 D.1612. 设函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +2)＝2f(x)，且当x ∈(0, 2]时，f(x)=x +1x−94．若对任意x ∈(−∞, m]，都有f(x)≥−23，则m 的取值范围是( )A.(−∞,215] B.(−∞,163]C.(−∞,184]D.(−∞,194]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.若集合A ＝{x|x 2−2x −3＝0}，B ＝{x|ax −1＝0}，且A ∩B ＝B ，则实数a 的取值集合为________{0,−1,13} ．函数f(x)=12−x+√16−x 2的定义域是________．已知f(√x +2)=x +4√x ，则f(x)的解析式为________．已知f(x)为定义在R 上的偶函数，g(x)＝f(x)+x 2，且当x ∈(−∞, 0]时，g(x)单调递增，则不等式f(x +1)−f(x +2)>2x +3的解集为________−32，+∞) ．三、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.≥0},C={x|x2−(2a+4)x+a2+4a≤0}．已知A={x|x2−6x+8≤0},B={x|x−1x−3（1）求A∩B；（2）若A⊆C，求实数a的取值范围．已知函数f(x)＝a|x|+x+1．x∈R（1）若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当a＝1时，作出函数f(x)的图象，并求f(x)的值域．已知函数f(x)是定义在(−4, 4)上的奇函数，满足f(2)＝1，当−4<x≤0时，有f(x)=ax+b．x+4（1）求实数a，b的值；（2）求函数f(x)在区间(0, 4)上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；（3）解关于m的不等式f(m2+1)>1．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商(x2−600)万品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入16万元作为浮动宣传费用．试问：作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)＝f(x)+f(y)成立，且当x<0时，f(x)>0恒成立，且nf(x)＝f(nx)．（n是一个给定的正整数）．（1）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明f(x)为减函数；若函数f(x)在[−2, 5]上总有f(x)≤10成立，试确定f(1)应满足的条件；（3）当a<0时，解关于x的不等式1n f(ax2)−nf(x)>1nf(a2x)−nf(a)．如果函数y＝f(x)的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有f(x+a)＝f(−x)成立，则称此函数f(x)具有“P(a)性质”．（1）判断函数y＝cos x是否具有“P(a)性质”，若具有“P(a)性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“P(a)性质”，请说明理由；（2）已知函数y＝f(x)具有“P(0)性质”，且当x≤0时，f(x)＝(x+m)2，求函数y＝f(x)在区间[0, 1]上的值域；（3）已知函数y＝g(x)既具有“P(0)性质”，又具有“P(2)性质”，且当−1≤x≤1时，g(x)＝|x|，若函数y＝g(x)的图象与直线y＝px有2017个公共点，求实数p的值．参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省南通市海安高中高一（上）段考数学试卷（一）（10月份）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】A10.【答案】B11.【答案】A12.【答案】D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 【答案】 {0,−1,13}【答案】{x|−4≤x ≤4且x ≠2} 【答案】f(x)＝x 2−4(x ≥2) 【答案】 （三、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答. 【答案】A ：(x −2)(x −4)≤0，则A ＝[2, 4]；B:x >3或x ≤1，则B ＝(−∞, −1]∪(3, +∞)； 则A ∩B ＝(3, 4]；C ：(x −a)[x −(a +4)]≤0，则a ≤x ≤a +4， 因为A ⊆C ，则{a ≤2a +4≥4 ，所以，解得a ∈[0, 2]． 【答案】已知f(x)={(a +1)x +1,x ≥0(1−a)x +1,x <0，∵ f(x)在R 上是增函数，∴ {a +1>01−a >0 ⇒a ∈(−1,1)；当a ＝1时，f(x)=|x|+x +1={2x +1,x ≥01,x <0，根据图形得f(x)的值域[1, +∞)． 【答案】由题可知，{f(−2)=−2a+b2=−1f(0)=b 4=0，解得{a =1b =0 ；由（1）可知当x∈(−4, 0)时，f(x)=xx+4，当x∈(0, 4)时，−x∈(−4, 0)，f(x)=−f(−x)=−−x−x+4=x−x+4，任取x1，x2∈(0, 4)，且x1<x2，f(x1)−f(x2)=x1−x1+4−x2−x2+4=4(x1−x2)(x1−4)(x2−4)∵x1，x2∈(0, 4)，且x1<x2，则x1−4<0，x2−4<0，x1−x2<0，于是f(x1)−f(x2)<0，∴f(x)=x−x+4在x∈(0, 4)上单调递增；∵函数f(x)是定义在(−4, 4)上的奇函数，且f(x)在x∈(0, 4)上单调递增，则f(x)在x∈(−4, 4)上单调递增，∴f(m2+1)>1＝f(2)∴{m2+1>2−4<m2+1<4，∴1<m<√3或−√3<m<−1解得，−√3<m<−1或1<m<√3，∴不等式的解集为{m|−√3<m<−1或1<m<√3}．【答案】设每件定价为t元，依题意得(8−x−251×0.2)x≥25×8，整理得t2−65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．依题意知当x>25时，不等式ax≥25×8+50+16(x2−600)+15x有解，等价于x>25时，a≥150x +16x+15有解．由于150x +16x≥2 √150x×x6=10，当且仅当150x=x6，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2．当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．【答案】f(x)为奇函数，证明如下；由已知对于任意实数x，y都有f(x+y)＝f(x)+f(y)恒成立．令x＝y＝0，得f(0+0)＝f(0)+f(0)所以f(0)＝0．令y＝−x，得f(x−x)＝f(x)+f(−x)＝0．所以对于任意x，都有f(−x)＝−f(x)．所以f(x)是奇函数．设任意x1，x2且x1<x2，则x2−x1>0，由已知f(x2−x1)<0，又f(x2−x1)＝f(x2)+f(−x1)＝f(x2)−f(x1)<0得f(x2)<f(x1)，根据函数单调性的定义知f(x)在(−∞, +∞)上是减函数．所以f(x)在[−2, 5]上的最大值为f(−2)．要使f(x)≤10恒成立，当且仅当f(−2)≤10，又因为f(−2)＝−f(2)＝−f(1+1)＝−2f(1)所以f(1)≥−5．又x>1，f(x)<0，所以∈[−5, 0)．∵1n f(ax2)−nf(x)>1nf(a2x)−nf(a)．，∴f(ax2)−f(a2x)>n2[f(x)−f(a)]．所以f(ax2−a2x)>n2f(x−a)，所以f(ax2−a2x)>f[n2(x−a)]，因为f(x)在(−∞, +∞)上是减函数，所以ax2−a2x<n2(x−a)．即(x−a)(ax−n2)<0，因为a<0，所以(x−a)(x−n 2a)>0．讨论：①当a<n2a <0，即a<−n时，原不等式的解集为{x|x>n2a或x<a}；②当a=n2a，即a＝−n时，原不等式的解集为{x|x≠−n}；③当n2a <a<0，即−n<a<0时，原不等式的解集为{x|x>a或x<n2a}．【答案】假设y＝cos x具有“P(a)性质”，则cos(x+a)＝cos(−x)＝cos x恒成立，∵cos(x+2kπ)＝cos x，∴函数y＝cos x具有“P(a)性质”，且所有a的值的集合为{a|a＝2kπ, k∈Z}．因为函数y＝f(x)具有“P(0)性质”，所以f(x)＝f(−x)恒成立，∴y＝f(x)是偶函数．设0≤x≤1，则−x≤0，∴f(x)＝f(−x)＝(−x+m)2＝(x−m)2．①当m≤0时，函数y＝f(x)在[0, 1]上递增，值域为[m2, (1−m)2]．②当0<m<12时，函数y＝f(x)在[0, m]上递减，在[m, 1]上递增，y min＝f(m)＝0，y max=f(1)=(1−m)2，值域为[0, (1−m)2]．③当12≤m≤1时，y min＝f(m)＝0，y max=f(0)=m2，值域为[0, m2]．④m>1时，函数y＝f(x)在[0, 1]上递减，值域为[(1−m)2, m2]．∵y＝g(x)既具有“P(0)性质”，即g(x)＝g(−x)，∴函数y＝g(x)偶函数，又y＝g(x)既具有“P(2)性质”，即g(x+2)＝g(−x)＝g(x)，∴函数y＝g(x)是以2为周期的函数．作出函数y＝g(x)的图象。
2019—2020学年度第一学期高一数学期末试题答案
2019—2020学年度第一学期期末质量检测高一数学答案一、选择题二、填空题13.21614.115.3216.25三、解答题17.（满分10分）（1）由2log 1log 22=<x 得：{}20|<<=x x A 3分由011e e x =≥-得：{}1|≥=x x B 4分(){}10|<<=∴x x B C A R 5分（2）由A C A = 得，CA ⊆6分⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+<∴230232a a a a 解得：01≤≤-a .10分18.(满分12分）（1）直线1-=x 的倾斜角为090则直线l 的倾斜角为045，即斜率为1由点斜式可得直线l 的方程为1+=x y .（2）当A 、B 两点在直线l 的同侧时有AB l //则1==AB l k k ，由点斜式可得直线l 的方程为01=+-y x ；当A 、B 两点在直线l 的两侧时则l 过线段AB 的中点()0,2，由两点式可得直线l 的方程为042=-+y x .直线l 的方程为01=+-y x 或042=-+y x .12分19.（满分12分）（1）设)0()(2≠++=a c bx ax x f 则()()cx b x a x f ++++=+11)1(2由42)()1(2+=++x x f x f 可得：42)2()(2222+=+++++x c b a x b a ax ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=∴420)(222c b a b a a 解得1=a ，1-=b ，2=c 2)(2+-=∴x x x f （2）2)(2+-=x x x f 的对称轴为21=x 题号123456789101112答案CBCACBBDAACB6分1分4分11分8分5分2分7分9分当21>m 时，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0上单调递减，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡m ,21上单调递增故)(x f 的最小值为4721(=f 当210≤<m 时，)(x f 在区间[]m ,0上单调递减故)(x f 的最小值为2)(2+-=m m m f 所以当210≤<m 时，2)(2min +-=m m x f20.（满分12分）（1）证明：由题可得222AB BC AC =+即BCAC ⊥由直三棱柱111C B A ABC -可得⊥1CC 面ABCACCC ⊥∴1又C CC BC =1 11C CBB AC 面⊥∴故1BC AC ⊥（2）证明：设11BC CB 和的交点为O ，连接ODO 为矩形11C CBB 两条对角线1CB 和1BC 的交点，则O 为1BC 中点又D 为AB 中点则OD 为1ABC ∆的中位线，即OD AC //1则1AC /⊆面1CDB ，OD ≠⊂面1CDB 1AC ∴//面1CDB 21.（满分12分）（1）由题知直线l 的方程为2+=kx y 联立方程()⎩⎨⎧=+-+=11222y x kx y 得()(*)04)24(122 =+-++x k x k 由于直线l 与圆C 交于B A 、两点()()4142422>⨯+⨯--=∆∴k k 解得43-<k .（2）设交点()11,y x A ，()22,y x B 由韦达定理可得124221+--=+k k x x 14221+=k x x ()()2121212121122121122211)(2222x x x x x kx x x kx x kx x x x y x y x x yx y k k OB OA ++=+++=+=+=+将两根之和和两根之积代入可得：1=+OB OA k k 2分3分6分9分5分12分10分6分1分4分9分8分12分22.（满分12分）（1）矩形的周长为8cm,则()cm x AD -=4，()cmy x EC AE -==在ADE ∆中，有222AE DE AD =+即()()2224y x y x -=+-由于AD AB >得x x ->4即2>x 又0>AD 则4<x 故()42,84<<-=x x y .（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅=x x x x DE AD S 82128442121（3）由于24242282≥+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+x x x x 当且仅当xx 22=即()4,222∈=x 时取""=号.所以当长为cm 22，宽为()cm 224-时，S 最大.12分8分6分10分。
海安市2020高一数学参考答案与评分建议(pdf)
2020海安市高一数学参考答案与评分建议命题：阙东进2020．01．08一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共计40分）-⨯--+⨯=，……10分所以2213410λ=-. ……12分解得5219．（本小题满分14分）已知函数()sin=，x∈R.现有如下两种图象变换方案：f x x方案1：将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得 图象向左平移π6个单位长度；方案2：将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变.20．（本小题满分14分）已知全集U =R ，集合{}22150A x x x =--<，集合()(){}2210B x x a x a =-+-<.（1）若1a =，求UA 和B ；πO 7π12π121 1（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.解：（1）因为集合{}22150A x x x =--<，所以{}35A x x =-<<， …… 2分又全集U =R ，所以UA ={}35xx x -≤≥，或. …… 4分当1a =时，集合(){}210B x x =-<，所以B =∅. …… 6分所以4sin 5β=-. …… 6分从而()()4324sin 22sin cos 25525βββ==⨯-⨯-=. …… 8分（2）法1： 因为()ππ2α∈，，()3ππ2β∈，，所以()3π5π22αβ+∈，. …… 9分结合（1）知，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ …… 11分 ()(()234355=⨯-+⨯-0=>， …… 12分（1）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（2） 根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质，并写出满足假定的一个指数函数； （3）设函数3()53x f x x +=+. 现有c （0c >）单位量的清水，可供漂洗一次，也可以把水 平均分成2份后先后漂洗两次，试确定哪种方式漂洗效果更好？并说明理由.解：（1）规定(0)1f =，表示漂洗前衣服上残留的洗衣液质量为1； …… 2分（2）函数()f x 应该满足的条件：(0)1f =，且1(1)2f =； …… 3分函数()f x 应该具有的性质：()f x 为()0+∞，上的单调减函数（即()f x 的值随x 增加而减小），且当x 无限大时，()f x 无限趋近于0； …… 5分因为210x -≠，所以0x ≠. …… 1分从而对任意的0x ≠，2112()()2112x xxxf x f x --++-===---， 所以21()(0)21x x f x x +=≠-为奇函数. …… 3分（2）当0a <时，因为20x >，所以20x a ->，所以函数2()2xx a f x a +=-的定义域为R .结论：函数2()(0)2xx a f x a a+=<-为R 上单调增函数. …… 5分证明：设对任意的12x x ∈R ，，且12x x <，1当0a <因为函数从而关于x 的方程22xx a a +-2x k =有两个互异实根.令2x t =，则0t >，所以方程()20t a k t ak +-+=()0a k <，有两个互异正根.…… 10分所以()202400a k a k ak ak -⎧->⎪⎪-->⎨⎪>⎪⎩，，从而03k a <<-…… 11分2当0a >时，函数2()1x a f x =+在区间()2log a -∞，，()2log a +∞，上均所以1k a=-.综上，k a的范围是({}031--，. …… 14分。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附解答
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4} 2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．13．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x35．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．46．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．67．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．78．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（）A．D（x）的值域是{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）是奇函数D．任意x∈R，都有f[f（x）]＝19．（5分）已知函数，则f（﹣6）+f（log26）＝（）A．6B．8C．9D．1010．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．211．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x，1），若⊥，则实数x的值是．14．（5分）已知a＝1.010.01，b＝ln2，c＝log20.5，则a，b，c从小到大的关系是．15．（5分）＝．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卡上．）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0≤x≤5}，集合B＝{1，3，5}，则∁A B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{0，1，3}D．{2，3，4}【分析】可解出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：A＝{0，1，2，3，4，5}；∴∁A B＝{0，2，4}．故选：A．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算．2．（5分）tan225°的值为（）A．B．﹣1C．D．1【分析】直接利用诱导公式化简求值．【解答】解：tan225°＝tan（180°+45°）＝tan45°＝1．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（5分）要在半径OA＝1m的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为2m，则圆心角∠AOB为（）A．1B．2C．3D．4【分析】把已知数据代入弧长公式计算可得．【解答】解：由题意可知扇形的弧长l＝2，扇形的半径r＝OA＝1，∴则圆心角∠AOB的弧度数α＝＝＝2．故选：B．【点评】本题考查弧长公式，属基础题．4．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y＝e x B．y＝sin x C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝﹣x3【分析】根据条件分别判断函数的奇偶性和单调性即可．【解答】解：A．y＝e x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y＝sin x是奇函数，在定义域上不是单调性函数，不满足条件．C．f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，∵y＝2x是增函数，y＝2﹣x是减函数，则y＝2x﹣2﹣x是增函数，故C正确，D．y＝﹣x3是奇函数，则定义域上是减函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．（5分）函数的最小正周期是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意利用正切函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期是＝2，故选：B．【点评】本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．6．（5分）已知，则tanα＝（）A．﹣6B．C．D．6【分析】由已知直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求解tanα．【解答】解：由，得，即，解得tanα＝6．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．7．（5分）在△ABC中，，，AD是BC边上的中线，则＝（）A．﹣7B．C．D．7【分析】由已知及向量基本运算可知，，然后结合向量数量积的性质即可求解【解答】解：AD是BC边上的中线，∴，则＝＝＝＝﹣故选：B ．【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．8．（5分）关于狄利克雷函数，下列叙述错误的是（ ）A ．D （x ）的值域是{0，1}B ．D （x ）是偶函数C ．D （x ）是奇函数D ．任意x ∈R ，都有f [f （x ）]＝1【分析】根据分段函数的表达式，结合函数值域，奇偶性以及函数值的定义分别进行判断即可．【解答】解：A ．函数的值域为{0，1}，故A 正确，B ．若x 是无理数，则﹣x 也是无理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝0，若x 是有理数，则﹣x 也是有理数，此时f （﹣x ）＝f （x ）＝1，综上f （﹣x ）＝f （x ）恒成立，故函数f （x ）是偶函数，故B 正确， C ．由B 知函数是偶函数，不是奇函数，故C 错误，D ．当x ∈R 时，f （x ）＝1或0都是有理数，则f [f （x ）]＝1，故D 正确， 故选：C ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的值域，奇偶性以及函数值的判断，利用分段函数的解析式分别进行判断是解决本题的关键．9．（5分）已知函数，则f （﹣6）+f （log 26）＝（ ） A ．6B ．8C ．9D ．10【分析】根据题意，由函数的解析式求出f （﹣6）与f （log 26）的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则f （﹣6）＝log 3[3﹣（﹣6）]＝log 39＝2，f （log 26）＝+1＝7，则f （﹣6）+f （log 26）＝2+7＝9； 故选：C ．【点评】本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数解析式的形式，属于基础题．10．（5分）已知向量，，其中||＝1，，，则在方向上的投影为（）A．B．C．﹣2D．2【分析】由，，两边同时平方可求，||，进而可求在方向上的投影．【解答】解：∵||＝1，，，∴16＝，4＝，解可得，＝，||＝，则在方向上的投影为＝，故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．11．（5分）设点A（x，y）是函数f（x）＝sin（﹣x）（x∈[0，π]）图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为h（x），则函数h（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】作出函数的图象，根据对称性求出A，B的坐标关系进行判断即可．【解答】解：f（x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x，（x∈[0，π]）设A（x，﹣sin x），则A，B关于x＝对称，此时B（π﹣x，﹣sin x），当0≤x≤时，|AB|＝π﹣x﹣x＝π﹣2x，当≤x≤π时，|AB|＝x﹣（π﹣x）＝2x﹣π，则对应的图象为D，故选：D．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用三角函数的对称性求出A，B的坐标关系是解决本题的关键．12．（5分）已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣1，m]上有10个零点，则m的取值范围是（）A．[3.5，4）B．（3.5，4]C．（3，4]D．[3，4）【分析】由方程的根与函数的零点问题的相互转化，结合函数的奇偶性、对称性、周期性，作图观察可得解【解答】解：由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x），又f（2﹣x）+f（x）＝0，得：f（2﹣x）＝f（﹣x），即函数f（x）是其图象关于点（1，0）对称，且周期为2的奇函数，又y＝sinπx的图象关于（k，0）对称，其图象如图所示：在区间[﹣1，m]上有10个零点，则实数m的取值范围为：[3.5，4），故选：A．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点问题，函数的奇偶性、对称性、周期性，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置．）13．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（x ，1），若⊥，则实数x 的值是 ．【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值．【解答】解：∵；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算．14．（5分）已知a ＝1.010.01，b ＝ln 2，c ＝log 20.5，则a ，b ，c 从小到大的关系是 c ＜b ＜a ．【分析】容易得出，1.010.01＞1，0＜ln 2＜1，log 20.5＜0，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵1.010.01＞1.010＝1，0＜ln 2＜lne ＝1，log 20.5＜log 21＝0； ∴c ＜b ＜a ．故答案为：c ＜b ＜a ．【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，以及增函数的定义．15．（5分）＝ 1 ．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：＝lg（）﹣2+1＝1．故答案为：1．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）若f（x）＝sin x+cos x在[0，a]是增函数，则a的最大值是【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得a 的最大值．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+）在[0，a]是增函数，∴a+≤，∴a≤，则a的最大值是，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共72分．解答写在答题卡相应位置并写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，集合C＝{x|m﹣1≤x≤m+3}且A∪C＝A，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意根据五点法作图，将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式．（Ⅱ）由题意可得C⊆A，可得，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A＝4，ω＝2，，函数表达式为．补全数据如下表：（Ⅱ）∵，∴A＝[﹣4，4]，又A∪C＝A，∴C⊆A．依题意，∴实数m的取值范围是[﹣3，1]．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，集合中参数的取值范围，属于基础题．18．（12分）已知sinα＝，α∈（）．（Ⅰ）求sin2的值；（Ⅱ）若sin（α+β）＝，β∈（0，），求β的值．【分析】（Ⅰ）直接利用二倍角公式，求得sin2的值．（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系，求得cos（α+β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值，可得β的值．【解答】解：（Ⅰ）因为sinα＝，α∈（），所以cosα＝﹣＝﹣．从而sin2＝＝．（Ⅱ）因为α∈（），β∈（0，），所以α+β∈（，），所以cos（α+β）＝﹣＝﹣．∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝•（﹣）﹣（﹣）•＝，∴β＝．【点评】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．19．（12分）已知函数f（x）＝3．（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有最大值81，求实数a的值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，求出f（x）的解析式，结合指数函数和二次函数的单调性的性质进行求解即可．（Ⅱ）利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性的性质求出最大值，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝＝≥3﹣1＝，∴函数f（x）的值域为[，+∞）．（Ⅱ）令t＝ax2﹣4x+3，当a≥0时，t无最大值，不合题意；当a＜0时，∵t＝ax2﹣4x+3＝a（x﹣）2﹣+3，∴t≤3﹣，又f（t）＝3t在R上单调递增，∴f（x）＝3t≤＝81＝34，∴3﹣＝4，∴a＝﹣4．【点评】本题主要考查复合函数单调性和值域的求解，结合指数函数和二次函数的单调性的关系是解决本题的关键．20．（12分）若，且，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其对称中心．（Ⅱ）函数y＝g（x）的图象是先将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的．求函数y＝g（x），x∈[0，π]的单调增区间．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得对称中心．（Ⅱ）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意有＝（2sin x，cos2x）•（cos x，﹣）＝2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），令2x﹣＝kπ，则，k∈Z，∴函数y＝f（x）的对称中心为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∴将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象．由，即，又x∈[0，π]，∴g（x）的单调增区间为．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性、单调性、以及函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．21．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x），对任意两个正数x1，x2，且x1＜x2都有x1f （x1）﹣x2f（x2）＜0，且f（2）＝0．（Ⅰ）判断函数g（x）＝xf（x）的奇偶性；（Ⅱ）若，是否存在正实数a，使得g（h（x））＜0恒成立？若存在求a的取值范围，若不存在请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性的定义判断即可；（Ⅱ）根据函数的单调性和奇偶性得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）又∵g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝﹣x•[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），∴g（x）为偶函数；（Ⅱ）依题意有g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又f（0）＝f（﹣2）＝f（2）＝0，所以g（0）＝g（﹣2）＝g（2）＝0，要使得g（x）＜0，则x∈（﹣2，0）∪（0，2），由g（h（x））＜0得h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2）∵，∴，∴，∵a＞0，，又h（x）∈（﹣2，0）∪（0，2），∴即，∴存在使得g（h（x））＜0恒成立．【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，三角函数的性质，是一道综合题．22．（12分）某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入资金的关系式分别为y1＝t，y2＝，其中a为常数且0＜a≤5．设对乙种产品投入资金x百万元．（Ⅰ）当a＝2时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y＝y1+y2）（Ⅱ）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于0.45百万元，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝2时求出总收益y＝y1+y2的解析式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．（Ⅱ）根据条件转化为y＝+≥对任意x∈[0，5]恒成立，利用换元法转化为一元二次函数进行讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x百万元，则对甲种产品投入资金5﹣x百万元当a ＝2时，y ＝y 1+y 2＝（5﹣x ）+•2＝，（0≤x ≤5），令t ＝，则0≤t ≤，y ＝﹣（t 2﹣2t ﹣5），其图象的对称轴t ＝1∈[0，]，∴当t ＝1时，总收益y 有最大值，此时x ＝1，5﹣x ＝4．即甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大……………（5分）（Ⅱ）由题意知y ＝+＝≥对任意x ∈[0，5]恒成立，即﹣2x +2a+1≥0对任意x ∈[0，5]恒成立，令g （x ）＝2x +2a +1，设t ＝，则t ∈[0，]，则g （t ）＝﹣2t 2+2at +1，其图象的对称轴为t ＝，……………（7分）①当0＜≤，即0＜a ≤时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）≥g （），∴g （t ）min ＝g （）＝2a ﹣9≥0，得a ≥，又0＜a ≤∴≤a ≤②当＜≤，即＜a ≤2时，g （t ）在[0，]单调递增，在[，]单调递减，且g （0）＜g （），可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0，符合题意∴＜a ≤2③当＞，即2＜a ≤5时，易知g （t ）＝﹣2t 2+2at +1在[0，]单调递增可得g （t ）min ＝g （0）＝1≥0恒成立，2＜a ≤5综上可得≤a ≤5．∴实数a 的取值范围是[，5]．……………（12分）【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数对称性与区间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
江苏省海安市2019~2020学年第一学期高一数学期末调研考试(pdf含解析)
1
2 2
1
32
B．
2
0.2
2 0.3
3
3
D． log1 2 log1 3
2
3
8． 已知方程 ln x 11 2x 的实数解为 x0 ，且 x0 k ，k 1 ， k N* ，则 k
A．1
B．2
C．3
D．4
9． 函数 y x4 x2 1的图象大致为
（第 13 题）
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分．其中第 17 题共有 2 空，每空 2 分； 其余题均为一空，每空 4 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．）
14．已知集合 A 1，0 ，1 ， B 0 ，1，2 ， C 1，3 ，则 A B C ▲ .
16．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅 （1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为 ▲ cm2.
D．8 y
O A． 3．函数 y
x
O
B．
1 ln x 的定义域为 1 x
x
O
C．
A． 0 ，1
B． 0 ，1
C． 1，
4．已知
tan
1 7
，
tan
4 3
，且
，
(0 ，π)
，则
A．
2π 3
B．
3π 4
C．
5π 6
x
O D．
x
D． 1，
2019 2020
江苏省南通市通州海安2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 含解析
江苏省南通市通州、海安2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1.集合{0,6,8}A =的非空．．子集的个数为（ ） A. 3 B. 6C. 7D. 8【答案】C根据含有n 个元素的集合有21n -个非空子集，计算可得． 【详解】解：集合{0,6,8}A =含有3个元素， 含有3个元素的集合的非空子集个数为3217-=． 故选：C ．【点睛】本题考查集合的非空子集，属于基础题． 2.下列各图中，一定不是函数的图象的是（ ）A. B. C. D.【答案】B根据函数的定义直接判断即可．【详解】解：由函数的定义可知，一个x 的值只能对应一个y 的值，而选项B 中一个x 的值可能对应两个y 的值，故不是函数图象， 故选：B ．【点睛】本题考查函数定义及其表示，属于基础题． 3.函数ln 1y x x+-的定义域为（ ）A. ()0,1B. (]0,1C. ()1,+∞D. [)1,+∞【答案】A根据使函数有意义列出不等式组，解得即可; 【详解】解：函数ln 1y x x=-的定义域应满足，10x x ->⎧⎨>⎩，解得01x <<．即()0,1x ∈ 故选：A ．【点睛】本题考查函数定义域的求法，属于基础题． 4.已知1tan 7α=，4tan 3β=-，且(),0,αβπ∈，则αβ+=（ ） A.23πB.34π C.56π D.74π 【答案】B根据已知条件确定出αβ+的取值范围，又根据两角和与差的正切公式求出tan()1αβ+=-，得出答案． 【详解】解：α，(0,)βπ∈，1tan 07α=>，4tan 03β=-<，故(0,)2πα∈，(,)2πβπ∈，故3(,)22ππαβ+∈，又14tan tan 73tan()1141tan tan 173αβαβαβ-++===--⋅+⨯， 所以34αβπ+=， 故选：B ．【点睛】考查两角和与差的正切公式，角的范围的确定，属于中档题．5.智能主动降噪耳机工作的原理 ：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）.已知噪音的声波曲线()sin y A ωx φ=+（0A ＞，0ω＞，02πϕ≤≤）的振幅为1 ，周期为2π，初相为0，则通过挺感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ）A. sin y x =B. cos y x =C. sin y x =-D.cos y x =-【答案】C由题意可求出噪音的声波曲线，而且由题意可反向波曲线与原曲线关于x 轴对称，可求出． 【详解】解：由某噪音的声波曲线sin()(0y A x A ωϕ=+>，0>ω，0)2πϕ<的振幅为1，周期为2π，初相为0， 知声波曲线：sin y x =，通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为sin y x =-． 故选：C ．【点睛】本题考查由已知条件求三角函数，属于基础题．6.设1e ，2e 是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能．．作为基底的是（ ） A. 1e +2e 和1e -2e B. 1e 和1e +2eC. 1e +23e 和13e +2eD. 13e -22e 和16e -+24e 【答案】D结合平面向量基本定理及基底的条件即可判断． 【详解】解：1e ，2e 是平面内的一组基底，∴1e ，2e 不共线，而2112462(32)e e e e -=--，则根据向量共线定理可得，()()211246//32e e e e --， 根据基底的条件，选项D 不符合题意， 故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属于基础题． 7.下列大小关系正确的是（ ） A. 45cos cos78ππ＜B. 0.20.32233--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ C.1122--＜D.1123log log【答案】B分别根据对应的函数的单调性，判断即可． 【详解】解：对于A ，4325350756856πππππ<=<=<，函数cos y x =在[]0,π上单调递减，故45coscos 78ππ>，故A 错， 对于B ，23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，0.20.3->-，故0.20.32233--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜成立，B 正确，对于C ，12y x-=，在0x >时单调递减，23<()()112223--∴>，所以C 错，对于D ，11231232log log =-=，故D 错，故选：B ．【点睛】考查不等式比较大小，同时考查了函数的单调性，属于中档题．8.已知方程ln 112x x =-的实数解为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k N ∈，则k =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D先转化为两个简单函数判断交点所在区间的大致范围，再由零点判定定理确定即可． 【详解】解：112lnx x =-，令()g x lnx =，()112h x x =-在同一坐标系画出图象可得 由图可知01x >，令()211f x lnx x =+-，()()129(27)0f f ln =-->， ()()23(27)(35)0f f ln ln =-->， ()()34(35)(43)0f f ln ln =-->， ()()45(43)(51)0f f ln ln =--<， ()04,5x ∴∈ 4k ∴=，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法，图象法和零点判定定理．将函数的零点问题转化为两个函数交点的问题是常用的手段，属于基础题． 9.函数421y x x =--的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A首先判断函数的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断函数的单调性，即可得解. 【详解】解：()421y f x x x ==--，定义域为R且()()()()424211f x x x x x f x -=----=--=，所以函数是偶函数，图象关于y 轴对称，故,B C 排除；令()2t x x =，则()2215124f t t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭因为()2t x x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()21524f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增由复合函数的单调性可知函数()421y f x x x ==--在2⎛ ⎝⎭上单调递减，2⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，故A 正确，D 错误； 故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性、单调性的应用，属于中档题. 10.已知函数3cos 2y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是（ ） A.31326t <≤ B. 32t >C.31326t <≤或52t > D. 52t >【答案】C 根据题意得到31326t πππ<≤或52t ππ<，计算得到答案. 【详解】3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭则55,66x t t πππ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭ 函数有最小值也有最大值则3133132626t t πππ<≤∴<≤或5522t t ππ<∴< 故选：C【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，漏解是容易发生的错误.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题4分，共计12分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 11.对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()()10a x a x -+>的解集可能为（ ） A. φB. ()1,a -C. (),1a -D.()(),1,a -∞-⋃+∞【答案】ABCD根据函数()(1)y a x a x =-+的图象和性质，对a 进行讨论，解不等式即可． 【详解】解：对于一元二次不等式()(1)0a x a x -+>，则0a ≠当0a >时，函数()(1)y a x a x =-+开口向上，与x 轴的交点为a ，1-， 故不等式的解集为()(),1,x a ∈-∞-+∞；当0a <时，函数()(1)y a x a x =-+开口向下， 若1a =-，不等式解集为∅；若10a -<<，不等式的解集为(1,)a -， 若1a <-，不等式的解集为(,1)a -， 综上，ABCD 都成立， 故选：ABCD ．【点睛】考查一元二次不等式的解法，二次函数的图象与性质的应用，属于中档题． 12.定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数()0ϕϕ＞，使得函数()y f x =的图象向右．．平移ϕ个单位长度后，恰与函数()y g x =的图象重合，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”.下列四个选项中，函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”的是（ ） A. ()2f x x =，()221g x x x =-+B. ()sin f x x =，()cos g x x =C. ()ln f x x =，()ln 2xg x =D. ()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()123xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】ABD根据所给定义，即函数的平移规则计算可得.【详解】解：由2()f x x =，2()(1)g x x =-知，将()f x 向右移动一个单位可得到()g x ，故选项A 正确；由3()sin ,()cos sin 2f x x g x x x π⎛⎫===- ⎪⎝⎭知，将()f x 向右移动32π个单位可得到()g x ，故选项B 正确；由(),()22xf x lnxg x ln lnx ln ===-知，将()f x 向下移动2ln 个单位可得到()g x ，故选项C 不正确；由3132121111133(),()21333123xxx x x log log f x g x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭===== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭知，将()f x 向右移动3log 2个单位可得到()g x ，故选项D 正确； 故选：ABD ．【点睛】本题考查函数图象的变换，同时也涉及了三角函数的恒等变换以及指对数的运算，属于中档题．13.如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A. 分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B. 满足10OA OB -=B 共有3个C. 存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D. 满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 【答案】BCD根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错，以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=，所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分，其中第17题共有2空，每空2分；其余题均为一空，每空4分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 14.已知集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，{}1,3C =，则()A B C =_________.【答案】{}0,1,3 根据交集的定义求出AB ，再求根据并集的定义求出()A BC 即可；【详解】解：{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，{}1,3C ={}0,1A B ∴⋂=(){}0,1,3AB C ∴=故答案为：{}0,1,3．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．15.如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，点O 为对角线AC 与BD 的交点，点E 在边CD 上，且2DE EC =，则OE =________.（用a ，b 表示）【答案】1126b a +结合平面向量共线定理及线性运算即可求解． 【详解】解：由题意可得，23DE DC =， ∴1223OE OD DE BD DC =+=+，()121111232626AD AB AB AD AB b a =-+=+=+， 故答案为：1126b a +．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．16.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm 2.【答案】704设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =， 所以，21481486416247042525OCD OAB S S S cm ⎛⎫=-=⨯⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：704．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题．17.请先阅读下面的材料：对于等式b a c =（0a ＞，且1a ≠），如果将a 视为自变量x ，b 视为常数，c 为关于a （即x ）的函数，记为y ，那么2yx ，是幂函数；如果将a 视为常数，b 视为自变量x ，c 为关于b （即x ）的函数，记为y ，那么x y a =，是指数函数；如果将a视为常数，c 视为自变量x ，b 为关于c （即x ）的函数，记为y ，那么log ay x =，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如，如果c 为常数e （自然对数的底），将a 视为自变量x ，则b 为x 的函数，记为y ，那么y x =_______，若将y 表示为x 的函数，则y =_________（0x ＞，且1x ≠）. 【答案】 (1). e (2). 1lnx．【解析】 【分析】根据定义及指数和对数的关系计算可得；【详解】解：对于等式(0,1)b a c a a =>≠，如果c 为常数e （自然对数的底），将a 视为自变量x ，则b 为x 的函数，记为y ，那么y x e =， 若将y 表示为x 的函数，则ln 1log ln x e y e x lnx===，(0,1)x x >≠． 故答案为：e ；1lnx． 【点睛】本题考查函数的求法，考查函数的定义等基础知识，对数和指数的互化，考查运算求解能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共计82分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.在平面直角坐标系xOy 中，已知平面向量()2,3a =，()2,4b =-，()1,1c =-. （1）求证：a b -与a c -垂直；（2）若a λb +与c 是共线向量，求实数λ的值. 【答案】（1）a b -与a c -垂直；（2）52λ=-（1）利用平面向量坐标运算法则求出(4,1)a b -=-，(1,4)a c -=，再由()()0a b a c -⋅-=，能证明a b -与a c -垂直．（2）利用平面向量坐标运算法则求出(22,34)a b λλλ+=-+，再由a λb +与c 是共线向量，根据平面向量共线定理的坐标表示得到方程，即可求出实数λ的值． 【详解】解：（1）证明：平面向量()2,3a =，()2,4b =-，()1,1c =-∴(4,1)a b -=-，(1,4)a c -=，()()41(1)40a b a c ∴-⋅-=⨯+-⨯=，∴a b -与a c -垂直．（2）解：(2,3)a =，(2,4)b =-，∴(22,34)a b λλλ+=-+，a λb +与c 是共线向量，()1,1c =-．(22)(1)(34)10λλ∴-⨯--+⨯=，解得52λ=-． 【点睛】本题考查向量垂直的证明，考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量与向量垂直、向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 19.已知函数()sin f x x =，x ∈R .现有如下两种图象变换方案：方案1：将函数()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位长度； 方案2：将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变.请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数()g x 的解析式，并解决如下问题： （1）画出函数()g x 在长度为一个周期的闭区间上的图象；（2）请你研究函数()g x 的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论.【答案】（1）()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图象见解析；（2）见解析. 利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可知无论在何种方案下所得的函数都是()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（1）作出函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,π这一周期上的图象： （2）利用正弦函数的图象和性质即可得出结论．【详解】解：方案1：将函数()sin f x x =的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到sin 2y x =，再将sin 2y x =图象向左平移6π个单位长度得到sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭方案2：将函数()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度得到sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭所以，无论在何种方案下所得的函数都是()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， （1）如图，是函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,π这一周期上的图象：（2）函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭定义域：R ；值域：[]1,1-；周期：22T ππ==； 奇偶性：因为()30sin 03g π=≠，±1，所以()g x 不具有奇偶性． 单调性：令222232k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得51212k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈，即函数在5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈上单调递增；同理可得函数的单调递减区间为：12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ 【点睛】本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律以及正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．20.已知全集U =R ，集合{}2|2150A x x x =--<，集合()(){}2|210B x x a x a =-+-<. （1）若1a =，求UA 和B ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|3UA x x =-或5}x ，B =∅；（2）5⎡-⎣（1）利用集合的基本运算即可算出结果；（2）因为A B A ⋃=，所以B A⊆，对集合B 分等于空集和不等于空集两种情况讨论，求出a 的取值范围．【详解】解：（1）2{|2150}{|35}A x x x x x =--<=-<<，{|3U A x x ∴=-或5}x ，若1a =，则集合22{|(21)()0}{|(1)0}B x x a x a x x =-+-<=-<=∅， （2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，①当B =∅时，221a a =-，解1a =， ②当B ≠∅时，即1a ≠时，221a a >-2{|21}B x a x a ∴=-<<，又由（1）可知集合{|35}A x x =-<<，∴22135a a --⎧⎨⎩，解得15a -且1a ≠，综上所求，实数a 的取值范围为：⎡-⎣．【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题． 21.已知2sin 3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 5β=-，3,2πβπ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭和2sin cos sin cos ββββ+-的值；（2）比较α与2πβ-的大小，并说明理由. 【答案】（1）sin 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2sin cos 11sin cos ββββ+=-；（2）2απβ>-（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α，再根据两角和的正弦公式计算sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由cos β可求sin β，tan β的值，进而将弦化切，代入求值即可．（2）由已知可求范围35,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由（1）利用两角和是正弦函数公式可求sin()0αβ+=>，进而可求52,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即可得解．【详解】解：（1）2sin3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cosα∴=，2sin sin cos cos sin44432326πππααα⎛⎫⎛⎫∴+=+=⨯+-⨯=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3cos5β=-，3,2πβπ⎛⎫= ⎪⎝⎭．4sin5β∴=-，4sin45tan3cos35βββ-∴===-4212sin cos2tan13114sin cos tan113ββββββ⨯+++∴===---（2）,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,2πβπ⎛⎫= ⎪⎝⎭．35,22ππαβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，由（1）可得：234sin()sin cos cos sin0355αβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+⨯-=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，52,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，2αβπ∴+>，即2απβ>-．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于中档题．22.用清水漂洗衣服上残留的洗衣液，对用一定量的清水漂洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉衣服上残留洗衣液质量的一般，用水越多漂洗效果越好，但总还有洗衣液残留在衣服上.设用x单位量的清水漂洗一次．．．．后，衣服上残留的洗衣液质量与本次漂洗前残留的洗衣液质量之比为函数()f x，其中0x＞.（1）试规定()0f的值，并解释其实际意义；（2）根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质，并写出满足假定的一个指数函数；（3）设函数()353x f x x +=+.现有c （0c ＞）单位量的清水，可供漂洗一次，也可以把水平均分成2份后先后漂洗两次，试确定哪种方式漂洗效果更好？并说明理由. 【答案】（1）(0)1f =，表示漂洗前衣服上残留的洗衣液质量为1；（2）1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0x >．（3）将c 单位量的清水平均分成2份后先后漂洗效果更好．（1）有题意知，(0)1f =，所以表示漂洗前衣服上残留的洗衣液质量为1；（2）由题意可找出满足条件的函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（3）将(0)c c >单位量的清水平均分成2份后先后漂洗两次后，剩余洗衣液的质量为2236256532c c c c ⎡⎤+⎢⎥+⎛⎫⎢⎥= ⎪+⎛⎫⎢⎥⎝⎭+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再用作差法比较大小即可． 【详解】解：（1）规定(0)1f =，表示漂洗前衣服上残留的洗衣液质量为1； （2）函数()f x 应该满足的条件：(0)1f =，且()112f =； 函数()f x 应该具有的性质：()f x 为(0,)+∞上单调减函数，且当x 无限大时，()f x 无限趋于0；满足假定的一个指数函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0x >． （3）设(0)c c >单位量清水漂洗一次后，剩余洗衣液的质量为1353c f c +=+； 将(0)c c >单位量的清水平均分成2份后先后漂洗两次后，剩余洗衣液的质量为22236256532c c f c c ⎡⎤+⎢⎥+⎛⎫⎢⎥== ⎪+⎛⎫⎢⎥⎝⎭+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则22122364(518)05356(53)(56)c c c c f f c c c c +++⎛⎫-=-=> ⎪++++⎝⎭，所以12f f >．答：将c 单位量的清水平均分成2份后先后漂洗效果更好．【点睛】本题考查了指数函数的应用，利用函数模型解决实际问题，属于中档题．23.设a R ∈，函数()22x x af x a+=-.（1）若1a =，求证：函数()f x 奇函数；（2）若0a <，判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若0a ≠，函数()f x 在区间[],n m ()m n <上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()k R ∈，求k a的范围.【答案】（1）见解析；（2）函数2()(0)2x x af x a a+=<-为R 上的单调递增，证明见解析；（3）当0a <时，(0,3k a ∈-；当0a >时，1ka=-．（1）当1a =时，函数21()21x x f x +=-，根据函数奇偶性得2112()()2112x xx xf x f x --++-===---，进而得出结论．（2）当0a <时，函数2()2x x af x a+=-的定义域为R ，通过单调性的定义法的五步①设元②作差③变形④定号⑤下结论． （3）因为m n <，22m nk k <，所以k 0<，分0a >，0a <两种情况讨论函数()f x 在区间[],n m ()m n <上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()k R ∈，进而得出结论． 【详解】解：（1）当1a =时，函数21()21x x f x +=-，因为210x -≠，所以0x ≠，即定义域为()(),00,-∞⋃+∞从而对任意的0x ≠，2112()()2112x xx xf x f x --++-===---， 所以21()(0)21x xf x x +=≠-为奇函数． （2）当0a <时，因为20x >，所以20x a ->，所以函数2()2x x af x a+=-的定义域为R ．结论：函数2()(0)2x xaf x a a+=<-为R 上的单调递增函数． 证明：设对任意的1x ，2x R ∈，且12x x <， 则12121222()()22x x x x a af x f x a a++-=--- 122112(2)(2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x a a a a a a +--+-=--21122(22)(2)(2)x x x x a a a -=--， 因为12x x <，所以2122x x >，即21220x x ->， 又因为120x a ->，220x a ->，0a <，所以21122(22)0(2)(2)x x x x a a a -<--， 于是12()()f x f x <，即函数2()(0)2x xaf x a a+=<-为R 上的单调递增．（3）因为m n <，所以22mn ，从而1122m n>， 由,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，知22m n k k <，所以k 0<，因为0a ≠，所以0a <或0a >．1︒ 当0a <时，由（2）知，函数2()2x xaf x a+=-为R 上单调递增函数． 因为函数()f x 在区间[],n m ()m n <上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()k R ∈所以()2()2m n k f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222222m m m n n na k a a ka ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，从而关于x 的方程222x xxa ka +=- 有两个互异实数根． 令2x t =，则0t >，所以方程2()0t a k t ak +-+=，(,0)a k <有两个互异实数根202()400a k a k ak ak -⎧->⎪⎪-->⎨⎪>⎪⎩，从而03k a<<-．2︒ 当0a >时，函数2()12x af x a=+-在区间2(,log )a -∞，()2log ,a +∞上均单调递减． 若[]()2,log ,m n a ⊆+∞，则()1f x >，于是02mk>，这与k 0<矛盾，故舍去． 若[]()2,,log m n a ⊆-∞，则()1f x <，于是()2()2n mk f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222222m m n n n ma k a a k a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩①②，所以2(2)(2)2(2)(2)n m m m n na k a a k a ⎧+=-⎨+=-⎩，两式相减整理得，()(22)0n m a k --=， 又22mn ，故220n m ->，从而0a k -=，因为0a >，所以1k a=-．综上可得，当0a <时，(0,3ka∈-当0a >时，1ka=-． 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性的证明，函数单调性的应用，分类讨论思想的应用，属于难题.。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷附答案
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.点（1，-1）到直线y=x+1的距离是（）A. B. C. D.2.已知圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是（）A. B. C. D.3.已知两条平行直线l1：3x+4y+5=0，l2：6x+by+c=0间的距离为3，则b+c=（）A. B. 48 C. 36 D. 或484.下列命题中正确的个数是（）①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A. 1B. 2C. 3D. 45.如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A. B. C. D.7.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A.B.C.D.8.一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为（）A. B. C.D.9.已知a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（）A. B. C. D.10.过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A. B. C. D.11.如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积S的值为（）A. B. C. D.12.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. 4：3二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．14.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是______．15.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成的二面角为______．16.已知两点A（-3，2），B（2，1），点P（x，y）为线段AB上的动点，假设m=，则m的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）17.求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．18.△ABC中，已知C（2，5），角A的平分线所在的直线方程是y=x，BC边上高线所在的直线方程是y=2x-1，试求顶点B的坐标．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．20.当0＜a＜2时，直线l1：ax-2y=2a-4与l2：2x+a2y=2a2+4和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值．21.如图所示，正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.答案和解析1.【答案】D【解析】解：点（1，-1）到直线y=x+1的距离：d==．故选：D．利用点到直线的距离公式直接求解．本题考查点到直线方程的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．2.【答案】C【解析】解：因为圆的方程为x2+y2-2x+6y+8=0，所以圆心坐标（1，-3），代入选项可知C正确．故选：C．求出圆的圆心坐标，验证选项即可．本题考查圆的一般方程，点的坐标适合直线方程；也可认为直线系问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，因为两条直线平行，所以b=8．由=3，解得c=-20或c=40．所以b+c=-12或48故选D．将l1：3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0，利用两条直线平行及距离为3，即可求得结论．本题考查两条平行线间距离的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：①若直线a不在α内，则a可能和α相交，所以①错误．②a和α相交时，直线l上有无数个点不在平面α内，但此时l∥α不成立，所以②错误．③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都没有公共点，所以直线可能平行或异面，所以③错误．④根据线面平行的定义可知，若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点，以④正确．⑤根据线面平行的性质可知平行于同一个平面的两两条直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，所以⑤正确．故正确的是：④⑤．故选B．①根据直线和平面的位置关系判断．②利用直线和平面的位置关系判．③利用线面平行的定义判断．④利用线面平行的性质判断．⑤根据线面平行的性质判断．本题主要考查空间直线和平面平行判定和性质，要求熟练掌握线面平行的定义和性质．5.【答案】B【解析】解：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为，由AB＞0，BC＞0可得＞0，＜0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选：B．化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案．本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题．6.【答案】A【解析】解：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．故选：A．对选项进行分析，即可得出结论．本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．本小题主要考查直三棱柱ABC-A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：根据主视图和左视图可知正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，∴它的俯视图是一个正方形，正方形的右下角是以实线画出的三角形，左上角是一个实线画出的三角形，依题意可知该几何体的直观图如图，其俯视图应选C．故选C．正方体截取的两个角是在同一个面上的两个相对的角，它的正视图外围是一个正方形，正方形的左上角是以虚线画出的三角形，右上角是一个实线画出的三角形，看出结果．本题考查简单空间图形的三视图，本题解题的关键是通过两个视图，想象出正方体的形状和位置，注意虚线和实线的区别．解：因为a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0化为（1-2b）x+3y+b=0，即x+3y+b（-2x+1）=0恒成立，，解得，所以直线经过定点（）．故选：B．利用已知条件，消去a，得到直线系方程，然后求出直线系经过的定点坐标．本题考查直线系方程的应用，考查直线系过定点的求法，考查计算能力．10.【答案】A【解析】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于-，由点斜式求得所求直线的方程为y-2=-（x-1），化简可得x+2y-5=0，故选A．先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：设正四面体P-ABC，棱长为a，高为PO，O为底面正三角形外心（重心），∴底面正三角形高为AD=，S△ABC=，∵AO=，∴PO=，∴V===9，解得a=3（dm），∴表面积S=4×=18（dm2）．故选：B．先由正四面体的体积为9dm3，计算正四面体的棱长，即可计算表面积S的值．本题考查正四面体的体积、表面积，考查学生的计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度13.【答案】6【解析】解：如下图示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有：DE、DG、DF、EG、EF、FG共有6条．故答案为：6本题考查的知识点为空间中直线与平面之间的位置关系，要判断过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线，我们可以利用数型结合的思想，画出满足条件的三棱柱ABC-A1B1C1，结合图象分析即可得到答案．要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．14.【答案】160【解析】解：设直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C=9，BD1=15，∵A1A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴A1A⊥AC，Rt△A1AC中，A1A=5，可得AC==，同理可得BD===10，∵四边形ABCD为菱形，可得AC、BD互相垂直平分，∴AB===8，即菱形ABCD的边长等于8．因此，这个棱柱的侧面积S侧=（AB+BC+CD+DA）×A1A=4×8×5=160．故答案为：160根据线面垂直的定义，利用勾股定理结合题中数据算出底面菱形的对角线长分别为和10，再由菱形的性质算出底面的边长为8，根据直棱柱的侧面积公式加以计算，可得该棱柱的侧面积．本题给出直棱柱满足的条件，求它的侧面积．着重考查了线面垂直的定义、菱形的性质和直棱柱的侧面积公式等知识，属于中档题．15.【答案】60°【解析】解：过S作SO⊥平面ABCD，垂足为O，则O为ABCD的中心，取CD中点E，连接OE，则OE⊥CD，由三垂线定理知CD⊥SE，所以∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，在Rt△SOE中，SE===2，OE=1，所以cos∠SEO=，则∠SEO=60°，故答案为：60°．过S作SO⊥平面ABCD，垂足为O，则O为ABCD的中心，取CD中点E，连接OE，则OE⊥CD，易证∠SEO为侧面与底面所成二面角的平面角，通过解直角三角形可得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查学生推理论证能力，属中档题．16.【答案】（-∞，-1]∪[1，+∞），【解析】解：设C（0，-1），则m==k PC，表示PC的斜率观察图形，直线PA的倾斜角总是钝角，由此可得当P与A重合时，k PC==-1达到最大值；当P与B重合时，k PC==1达到最小值∴k PC∈（-∞，-1]∪[1，+∞），即m∈（-∞，-1]∪[1，+∞），故答案为：（-∞，-1]∪[1，+∞），根据直线的倾斜公式，设C（0，-1）得m=，表示PC的斜率．由此作出图形并观察PC倾斜角的变化，即可得到m=，的取值范围．本题给出线段AB，求直线斜率的范围并求距离和的最小值．着重考查了直线的基本量与基本形式、点关于直线对称和两点的距离公式等知识，属于基础题．17.【答案】解：设直线方程为：y=x+b．可得此直线与坐标轴的交点（0，b），（-b，0）．由=6，化为：b2=9，解得b=±3．∴要求的直线方程为：y=x±3．【解析】设直线方程为：y=x+b．可得此直线与坐标轴的交点（0，b），（-b，0）．由=6，解得b即可得出．本题考查了直线方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：依条件，由解得A（1，1）．因为角A的平分线所在的直线方程是y=x，所以点C（2，5）关于y=x的对称点C'（5，2）在AB边所在的直线上．AB边所在的直线方程为y-1=（x-1），整理得x-4y+3=0．又BC边上高线所在的直线方程是y=2x-1，所以BC边所在的直线的斜率为-．BC边所在的直线的方程是y=-（x-2）+5，整理得x+2y-12=0．联立x-4y+3=0与x+2y-12=0，解得B（7，）．【解析】首先求出A点的坐标，进而求出AB边所在的直线方程，然后根据两直线垂直求出BC边所在的直线的斜率和方程，最后联立方程即可求出B得的坐标．考查了直线的一般方程和直线的截距方程、直线的位置关系等知识，属于基础题．19.【答案】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积△ ．因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．又PD=DC=1，所以．由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积△ ．由V A-PBC=V P-ABC，△ ，得，故点A到平面PBC的距离等于．【解析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC 的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P-ACB与三棱锥A-PBC体积相等，而三棱锥P-ACB体积易求，三棱锥A-PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．20.【答案】解：如图，由已知l1：a（x-2）-2（y-2）=0，l2：2（x-2）+a2（y-2）=0．∴l1、l2都过定点（2，2），且l1的纵截距为2-a，l2的横截距为a2+2．∴四边形面积S=×2×（2-a）+×2×（2+a2）=a2-a+4=（a-）2+，又0＜a＜2，故当a=时，S min=．【解析】=S△BCE-S△OAB即可得出S=（a-）2+，结合二次函数最值根据S四边形OCEA的求法解答．本题考查了相交直线、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角．∵PO⊥面ABCD，∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．∴tan∠PAO=，设AB=a，AO=a，∴PO=AO•tan∠POA=a，tan∠PMO==．∴∠PMO=60°．（2）连接AE，OE，∵OE∥PD，∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE⊂平面PBD，∴AO⊥OE．∵OE=PD==a，∴tan∠AEO==；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN∴平面PMN⊥平面PBC．又PM=PN，∠PMN=60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC=PN，∴MG⊥平面PBC．∴F是AD的4等分点，靠近A点的位置．【解析】（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，则tan∠PAO=，设AB=a，则AO=a，PO=AO•tan∠POA=a，MO=a，tan∠PMO=，∠PMO=60°；（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB，故△AOE为直角三角形，OE=PD==a，所以tan∠AEO==；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA 的中点F，连EF，则四边形MFEG为平行四边形，从而MG∥FE，EF⊥平面PBC，F是AD的4等分点，靠近A点的位置．本题考查二面角及平面角的求法，异面直线所成角的正切值的求法，难度较大，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题附标准答案
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】解：集合，，则．故选：A．化简集合A、B，根据交集的定义写出．本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2.若一个圆锥的表面积为，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，则，又，由解得，，高．故选：C．设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，列方程组求得r、l和h的值．本题考查了圆锥的侧面展开图应用问题，是基础题．3.函数的定义域为A. B.C. D. ，【答案】B【解析】解：由，解得．函数的定义域为．故选：B．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4.已知直线与直线垂直，则a的值为A. 0B.C. 1D.【答案】C【解析】解：时，两条直线不垂直．，由，解得：．综上可得：．故选：C．对a分类讨论L利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．本题考查了直线垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.若幂函数的图象过点，则函数的零点为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】解：设幂函数为常数．幂函数的图象过点，，解得．，令，即，解得：，，故选：D．求出幂函数的解析式，解方程求出函数的零点即可．本题考查了求幂函数的解析式问题，考查方程问题，是一道常规题．6.设，表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】解：A中缺少的情况；B中，也可能相交；C中缺少的情况；故选：D．前三个选项都漏掉了一种情况，最后一项有定理作保证，故选D．此题考查了直线，平面之间的位置关系，难度不大．7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】解：由题意可知几何体是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，所以几何体的体积为：．故选：C．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积．本题考查空间几何体的体积的求法，三视图的应用，考查计算能力．8.已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，；．故选：A．容易得出，，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数和指数函数的单调性，增函数的定义，以及对数的换底公式．9.已知直线l：与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则A. B. 4 C. D. 6【答案】B【解析】解：圆心到直线l的距离，圆的半径，，设直线l的倾斜角为，则，，过C作l的平行线交BD于E，则，，．故选：B．利用垂径定理计算弦长，计算直线l的倾斜角，利用三角函数的定义计算CD．本题考查了直线与圆的位置关系，直线方程，属于中档题．10.关于x的方程的所有实数解的和为A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】解：方程，可得或，即有或，可得或，则关于x的方程的所有实数解的和为4．故选：B．由绝对值的意义和对数的运算性质解方程即可得到所求和．本题考查方程的解的和的求法，注意绝对值的定义和对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．11.在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，点E是PB的中点，异面直线PC与AE所成的角为，则该四棱锥的体积为A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】解：在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，点E是PB的中点，异面直线PC与AE所成的角为，作，垂足为F，连结AF，则F是BC的中点，平面ABCD，，，，设，则，解得，该四棱锥的体积．故选：A．作，垂足为F，连结AF，则F是BC的中点，平面ABCD，，，，设，则，解得，由此能求出该四棱锥的体积．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知函数且，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数且，当时，当时，有，而二次函数开口向下，此时函数的值域不可能为R；当时，当时，，当时，，若的值域为R，只需，可得．综上可得a的取值范围是故选：B．对a讨论，分和，结合指数函数的单调性和值域，以及二次函数的值域求法，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的运用，考查函数的值域的求法，注意运用指数函数的单调性和值域，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点2，，点4，，线段AB中点为M，O为坐标原点，则______．【答案】【解析】解：点2，，点4，，线段AB中点为M，O为坐标原点，3，，．故答案为：．利用线段中点坐标公式求出3，，再由两点间距离公式能求出的值．本题考查线段长的求法，考查中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．14.若，则______．【答案】【解析】解：，则，，，，故答案为：．先求出，即可求出答案．本题考查了指数幂和对数的运算，属于基础题．15.一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为，则______．【答案】【解析】解：一等腰直角三角形，绕其斜边旋转一周所成几何体体积为，绕其一直角边旋转一周所成几何体体积为，设斜边长为2，则直角边长为，，，．答案为：．设斜边长为2，则直角边长为，从而，，由此能求出．本题考查两个旋转体的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.定义域为的减函数是奇函数，若，则对所有的，及都成立的实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：根据题意，为定义域为的奇函数，则，则有，当时，即恒成立，令，必有，解可得：，则a的取值范围为；故答案为：．根据题意，由函数的奇偶性与单调性可得，进而可得当时，即恒成立，令，分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，属于综合题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数，，．求函数的解析式；求函数在上的值域．【答案】解：，；；解得，；；在上单调递增；；在上的值域为．【解析】根据，即可求出，，从而得出；容易判断在上是增函数，从而求出即可得出在上的值域．考查函数值域的概念及求法，一次函数和反比例函数的单调性，增函数的定义．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，，，垂足为E．证明：平面ABE；若，，M是BC中点，点N在PD上，平面ABE，求线段PN的长．【答案】证明：底面ABCD，，，，平面PAC，平面PAC，，，，平面ABE．解：平面ABE，设过MN与平面ABE平行的平面与PC交于点F，与AD交于点G，则，，又ABCD是平行四边形，，，平面MFNG，，是BC中点，是CE中点，，，．【解析】推导出，，从而平面PAC，由此能证明平面ABE．设过MN与平面ABM平行的平面与PC交于点F，与AD交于点G，则，，，，从而平面MFNG，进而，由此能求出PN．本题考查线面垂直的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.已知函数且，在上的最大值为1．求a的值；当函数在定义域内是增函数时，令，判断函数的奇偶性，并求函数的值域．【答案】解：根据题意，函数且，在上的最大值为1，若，则为增函数，则有，解可得；若，则为减函数，则有，解可得；故a的值为2或；根据题意，若函数为增函数，则，；有，解可得，即函数的定义域为；又由，则函数为偶函数；又由，设，，则，又由，则，则，故的值域为．【解析】根据题意，结合对数函数的最大值，分与两种情况讨论，求出a的值，即可得答案；根据题意，求出的解析式，分析可得与的关系，可得为偶函数，设，，则，分析t的取值范围，由对数函数的性质分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与值域，中注意结合函数的单调性分析a的值．20.如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，，D是线段AB的中点．证明：平面；求三棱锥的体积．【答案】解：证明：在中，，D为中点，，平面，平面，平面；为中点，，易得：，在等腰三角形CAB中，，平面，且，，．故三棱锥的体积为：12．【解析】利用中位线易得线线平行，进而得线面平行；利用底或高的关系，把所求体积转化为三棱锥体积的一半，得解．此题考查了线面平行，转化法求体积等，难度适中．21.已知．判断的单调性，并用定义法加以证明；若实数t满足不等式，求t的取值范围．【答案】解：令x，，则，，任取，，且，，，，即，在R上是增函数不等式化为在R上是增函数，，的取值范围是【解析】先用换元法求出函数的解析式，再用复合函数单调性判断方法得到单调性，最后用定义证明即可；根据函数的单调性可解得．本题考查了奇偶性与单调性的综合，属中档题．22.已知圆M过点且与圆N：为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C．若直线被圆M截得的弦长为，求m的值；设直线：与圆M交于点A，B，记，，若，求k的值．【答案】解：圆N的圆心为，故可设圆M的方程为，则，圆M的标准方程为，直线被圆M截得的弦长为，到直线的距离，或联立方程，消y可得，设，，则，，，，，解得或，但不满足，【解析】根据圆的标准方程，弦心距，点到直线的距离，即可求出，联立方程，消y可得，设，，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，是中档题．。
2023-2024学年江苏省南通市海安市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南通市海安市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}2．命题：“∃x∈R，x2+2x≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x≤0B．∃x∈R，x2+2x≥0C．∀x∈R，x2+2x＞0D．∃x∈R，x2+2x＞03．若α的终边与−π6的终边垂直，且0＜α＜π，则cosα＝（）A．−12B．12C．−√32D．√324．已知某种放射性元素在一升液体中的放射量c（单位：Bq/L）与时间t（单位：年）近似满足关系式c＝k•a−t12（a＞0且a≠1）．已知当t＝12时，c＝100；当t＝36时，c＝25，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量c为10时，t大约为（）（参考数据：log25＝2.32）A．50B．52C．54D．56 5．函数y＝|x﹣2|+|2x﹣2|的最小值为（）A．0B．1C．32D．26．已知函数f（x）在R上的图象不间断，则“∀x∈（0，+∞），f（x）＞f（0）”是“f（x）在（0，+∞）上是增函数”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．已知a＝sin1，b＝cos1，c＝tan1，d＝1，则（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．b＜a＜d＜c8．已知函数y＝f（x）+x2为偶函数，y＝f（x）﹣2x为奇函数，则f（log23）＝（）A．53B．98C．32D．3二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．函数y=lgx−12x+1的零点所在的区间为（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）10．已知x ＞0，则（ ） A ．x （2﹣x ）的最大值为1 B ．3−x −1x的最大值为1C ．2√x 2+4的最小值为2D ．x +4x+1的最小值为3 11．将函数y ＝cos2x 的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度，再向上平移12个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．函数y ＝g （x ）的周期为πB ．g （x ）在（0，π2)上单调递增C ．g （x ）的图象关于直线x =3π4对称 D ．g （x ）的图象关于点（0，12）中心对称12．设定义在R 上的函数f （x ）满足：①当x ＜0时，f （x ）＜1；②f （x ）+f （y ）＝f （x +y ）+1，则（ ） A ．f （0）＝1B ．f （x ）为减函数C ．f （x ）+f （﹣x ）＝2D ．f （2x ）+f （2﹣x ）≥2f （1）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019级高一数学期末考试答案
2019-2020学年第一学期高一期末考试数学参考答案（附解析和评分细则）第Ⅰ卷（选择题每题5 分共60 分）1．B 【解析】∵1∈BB ,∴12．D 【解析】∵(ll ll ll 2xx )2−1>0,∴ll ll ll 2xx >1或ll ll ll 2xx <−1，解得xx >2或0<xx <12．3．A 【解析】由角θθ的终边在直线yy =3xx 上可得，tt tt ttθθ=3，ccllcc 2θθ=ccllcc 2θθ−ccss tt 2θθ=1−tt tt tt 2θθ1+tt tt tt 2θθ=−45．4．C 【解析】弧长6步，其所在圆的直径是4步，半径为2步，面积S =12∗2∗6=6(平方步)．5．B 【解析】由θθ∈[0,ππ4]可得2θθ∈[0,ππ2]，ccllcc 2θθ=√1−ccss tt 22θθ=18，ccss tt θθ=�1−ccllcc 2θθ2=√74答案应选B ．6．C 【解析】∵yy =(14)xx 是减函数，yy =−4xx 也是减函数，所以在R 上是减函数且是奇函数,选C ．7．B 【解析】yy =4ccss tt 3(xx −ππ9)，只需将函数yy =4ccss tt 3xx 的图像向右平移ππ9个单位．8．B 【解析】当xx <0时，因为ee xx −ee −xx <0，所以此时ff (xx )=ee xx −ee −xxxx <0，故排除A ．D ；又ff (1)=ee −1ee >2，故排除C ，选B ．9．A 【解析】由于f (x )=ccllcc 2xx +bbccllccxx +cc =1+ccllcc 2xx2+bbccllccxx +cc ．当bb =0时，ff (xx )的最小正周期为ππ； 当b ≠0时，ff (xx )的最小正周期2ππ；cc 的变化会引起ff (xx )的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选A ． 10．D 【解析】∵ff (xx )=�−xx 2+3xx ,xx ≤0ll tt (xx +1),xx >0，∴由|f(x)|≥ttxx 得，�xx ≤0xx 2−3xx ≥ttxx ，且�xx >0ll tt (xx +1)≥ttxx ，由�xx ≤0xx 2−3xx ≥ttxx，可得tt ≥xx −3，则tt ≥−3，排除A ，B ，当tt =1时，取xx =9,ln (xx +1)<xx ，不恒成立，故tt =1不适合，排除C ，故选D ． 11．C 【解析】由ff (−xx )=4−ff (xx )得ff (−xx )+ff (xx )=4，可知ff (xx )关于(0,2)对称，而yy =2xx +1xx=2+1xx也关于(0,2)对称，∴对于每一组对称点xx ss +xx ss ′=0,yy ss +yy ss ′=4，∑(xx ss +yy ss )=∑xx ss mmss =1+∑yy ss =0+4∙mm 2=2mm mm ss =1mm ss =1,∴，故选C ．12．A 【解析】因为ff (−xx )=sin |−xx |+|sin(−xx )|=sin |xx |+|ccss tt xx |=ff (xx )， 所以ff (xx )是偶函数，①正确；结合函数图像，可知ff (xx )的最大值为2，②正确， 画出函数ff (xx )在[−ππ,ππ]上的图像，很容易知道ff (xx )有3零点，所以③错误， 因为（π2，π），ff (xx )单调递减，所以④正确，故答案选A. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题.13．4【解析】，∵ll ll 5+ll ll 15=0,ff (xx )+ff (−xx )=ll tt ��1+4xx 2−2xx�+2+ll tt ��1+4(−xx )2+2xx�+2 =ll tt ��1+4xx 2−2xx�+ll tt ��1+4xx 2+2xx�+4 =ll tt [��1+4xx 2−2xx���1+4xx 2+2xx�]+4 =ll tt (1+4xx 2−4xx 2)+4=ll tt 1+4=414．−√612【解析】ff (αα)=ccss tt (αα−5ππ)ccllcc (8ππ−αα)tt tt tt (−αα−ππ)ccss tt �αα−ππ2�ccllcc (3ππ2+αα)=(−ccss tt αα)ccllccαα(−tt tt ttαα)(−ccllccαα)ccss tt αα=−tt tt ttαα,因为αα是第三象限角，且ccllcc �αα−3ππ2�=−ccss tt αα=15， 所以sin α=−15,ccllccαα=−√1−ccss tt 2αα=−2√65,tt tt ttαα=ccss tt ααccllccαα=√612，所以ff (αα)=−√612．15．5√39【解析】cos �α+β3�=cos [�π4+α�−�π4−β3�]=cos �π4+α�cos �π4−β3�+sin �π4+α�sin �π4−β3�，而ππ4+αααα(ππ4,ππ2)，ππ4−ββ3αα(ππ4,ππ3)，因此sin �π4+α�=2√23,sin �π4−β3�=√63则cos �α+β3�=13∗√33+2√23∗√63=5√39．16．6【解析】由题意ff (−xx )=ff (xx )知，所以函数ff (xx )为偶函数，所以ff (xx )=ff (2−xx )=ff (xx −2)，所以函数ff (xx )为周期为2的周期函数，且ff (0)=0,ff (1)=1，而ll (xx )=|xxccllccππxx |为偶函数，且ll (0)=ll �12�=ll �−12�=ll �32�=0，在同一坐标系下作出两函数在[−12,32]上的图像，发现在[−12,32]内图像共有6个公共点，则函数ℎ(xx )=ll (xx )−ff (xx )在在[−12,32]上的零点个数为6．三、解答题.17．【解析】（1）∵α∈�ππ2,ππ�,ccss tt αα=√55，∴cos α=−√1−ccss tt 2αα=−2√55……………2分ccss tt �ππ6+αα�=ccss tt ππ6ccllccαα+ccllcc ππ6ccss tt αα=√15−2√510；…………………………………5分（2）∵sin2α=2sin αcos α=−45,ccllcc 2αα=ccllcc 2αα−ccss tt 2αα=35………………………7分∴ccllcc �5ππ3−2αα�=ccllcc5ππ3ccllcc 2αα+ccss tt5ππ3ccss tt 2αα=3+4√310．…………………………10分18．【解析】（Ⅰ）由sin ππ3=√32,ccllcc ππ3=12,ff �ππ3�=2．………………………………………2分（Ⅱ）化简得ff (xx )=−ccllcc 2xx +√3ccss tt 2xx =2ccss tt (2xx −ππ6),…………………………………5分 所以ff (xx )的最小正周期是ππ,…………………………………………………………………8分 由正弦函数的性质得2kkππ−ππ2≤2xx −ππ6≤2kkππ+ππ2,kk ∈ZZ ,解得kkππ−ππ6≤xx ≤kkππ+ππ3,kk ∈ZZ所以ff (xx )的单调递增区间是�kkππ−ππ6，kkππ+ππ3�,kk ∈ZZ ．……………………………………12分 19．【解析】(1)∵ff (xx )是以2为周期的周期函数,当xx ∈[1,2]时,ff (xx )=−xx +3,∴当xx ∈[−1,0]时,ff (xx )=ff (xx +2)=−(xx +2)+3=1−xx ……………………………2分∵ff (xx )是偶函数,∴当xx ∈[0,1]时,ff (xx )=ff (−xx )=1+xx …………………………………4分 当xx ∈[2,3]时,ff (xx )=ff (xx −2)=1+xx −2=xx −1…………………………………6分 (2)设AA ,BB 的纵坐标为 tt ,横坐标分别为3－tt ,tt +1,1≤tt ≤2,则|AABB |=(tt +1)－(3－tt )=2tt －2,………………………………………………………………………………………8分 ∴△AABBAA 的面积为SS =(2tt －2)·(3－tt )=－t 2+4tt －3(1≤tt ≤2)=－(t-2)2+1 当t=2时,S 最大值=1………………………………………………………………………………12分 20．【解析】(1)：由题意可知，OOOO =12AABB =1=AAAA ，……………………………………1分 所以OOEE =OOOOccss tt ∠OOOOAA +AAAA =32,…………………………………………………………2分 AAEE =OOAA +OOOOccss tt ∠OOOOAA =1+ccllcc 30°=2+√32．所以SS ∆GGOOEE =12OOEE ∗AAEE =12∗32∗2+√32=6+3√38，21即三角形铁皮OOEEGG的面积为6+3√38．……………………………………………………………5分(2)设∠OOOOAA=θθ，则0≤θθ≤ππ，OOEE=ccss ttθθ+1,AAEE=ccllccθθ+1，………………………6分所以SS∆GGOOEE=12OOEE∗AAEE=12(ccss ttθθ+1)(ccllccθθ+1)=12(ccss ttθθccllccθθ+ccss ttθθ+ccllccθθ+1)，…8分令t=sinθ+cosθ=√2sin�θ+ππ4�，因为0≤θθ≤ππ，所以ππ4≤θθ+ππ4≤5ππ4，所以−1≤tt≤√2．因为tt2=(ccss ttθθ+ccllccθθ)2=1+2ccss ttθθccllccθθ，所以ccss ttθθccllccθθ=tt2−12，……………………10分故SS∆GGOOEE=12OOEE∗AAEE=12�tt2−12+tt+1�=14(tt2+2t+1)=14(tt+1)2，而函数yy=14(tt+1)2在区间[−1,√2]上单调递增，故当tt=√2，即θθ=ππ4时，yy取最大值，即yy mmttxx=14(√2+1)2=3+2√24，所以剪下的铁皮三角形GEF的面积的最大值为3+2√24．……………………………………12分21．【解析】（1）ff(xx)+ff(−xx)=ttxx2+2xx−4tt+1+ttxx2−2xx−4tt+1=2ttxx2−8tt+2= 2tt(xx−2)(xx+2)+2.………………………………………………………………………3分∴当x=±2时，ff(xx)+ff(−xx)=2，ff(xx)是“局部中心函数”。
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷(附解答)
2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设U=R，A={x|2x＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩∁U B=（）A. B. C. D.2.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A. B. C. D.3.已知0＜a＜1，则log2a，2a，a2的大小关系是（）A. B. C. D.4.如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.函数f（x）=ln x+2x-6的零点x0所在区间是（）A. B. C. D.6.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，7.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为（）A.B. 2C.D.8.若函数f（x）的图象和g（x）=ln（2x）的图象关于直线x-y=0对称，则f（x）的解析式为（）A. B. C.D.9.已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A.B.C.D.10.过点M（1，2）的直线l与圆C：（x-2）2+y2=9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为（）A. B. C. D.11.在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB CD的是（）A. 且B. 且C. 且D. 且12.已知函数，若|f（x）|≥ax，则a取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.点（1，1）到直线x+y-1=0的距离为______．14.已知f（x）是偶函数，当x＜0时f（x）=x（x+1）．则当x＞0时f（x）=______．15.则当（）时，．16.已知正三棱锥所有棱长均为，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|m≤x≤m+1}（1）当m=-2时，求∁R（A∪B）（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．18.如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上．（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．19.求圆心在直线l1：x-y-1=0上，与直线l2：4x+3y+14=0相切，截直线l3：3x+4y+10=0所得的弦长为6的圆的方程．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积V．21.某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f（x）表示学生注意力指标，该小组发现f（x）随时间x（分钟）的变化规律（f（x）越大，表明学生的注意力越集中）如下：，，＜，＜（a＞0，a≠1）若上课后第 5 分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由．（Ⅲ）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？22.已知函数f（x）=，g（x）=f（22x）（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；（2）判断函数y=的奇偶性，并说明理由；（3）若方程g（x）-k+l=0有实数解，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：易知A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩C U B={x|0＜x≤1}，故选：C．利用对数函数的性质，求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，利用指数函数的性质确定出集合B，由全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合此题属于以其他不等式的解法为平台，考查了交、并、补集的混合运算，是高考中常考的基本题型．2.【答案】B【解析】解：A．y=是奇函数，则定义域内不具备单调性，不满足条件．B．y=-x3是奇函数，则（-∞，+∞）上是减函数，满足条件．C．y=（）x是减函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=-|x|是偶函数，不满足条件．故选：B．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性判断，根据常见函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】解：∵0＜a＜1，则log2a＜0，2a＞1，a2∈（0，1）．∴log2a＜a2＜2a，故选：A．由0＜a＜1，可得log2a＜0，2a＞1，a2∈（0，1）．即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵直线Ax+By+C=0可化为y=-x-，又AB＜0，BC＜0∴AB＞0，∴-＞0，-＞0，∴直线过一、二、三象限，不过第四象限．故选：D．先把Ax+By+C=0化为y=-x-，再由AB＜0，BC＜0得到-＞0，-＞0，数形结合即可获取答案本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题5.【答案】C【解析】解：∵连续函数f（x）=lnx+2x-6是增函数，∴f（2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f（3）=ln3＞0，∴f（2）•f（3）＜0，故函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（2，3），故选：C．判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，A答案中：若l∥m，lα，则mα，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故A答案的情况不可能出现．B答案中：若l m，lα，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故B答案的情况不可能出现．D答案中：若l∥m，l∥α，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故D答案的情况不可能出现．故A，B，D三种情况均不可能出现．故选：C．本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，由m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，则若l∥m，lα，则mα，这与m是平面α的一条斜线矛盾；若l m，lα，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；若l∥m，l∥α，则m∥α，或m⊂α，这与m是平面α的一条斜线矛盾；故A，B，D三种情况均不可能出现．分析后即可得到答案．要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．7.【答案】D【解析】解：将圆x2+y2-4y=0的方程可以转化为：x2+（y-2）2=4，即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，∵直线的倾斜角为，作AN垂直直线l于N，如图在中，,∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，∴ON=，∴弦长2，故选D．本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2-4y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．8.【答案】B【解析】解：由题可知，y=f（x）与y=g（x）互为反函数，因为y=g（x）=ln（2x），所以x=ln（2y），即2y=e x，所以y=f（x）=e x，故选：B．利用反函数的概念及指对互化可得结论．本题考查函数解析式的求法及常用方法，考查反函数的概念，考查指对互化，注意解题方法的积累，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，面积是=，三棱锥的高是1，∴三棱锥的体积是=cm3，故选：C．由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，做出面积三棱锥的高是1，根据三棱锥的体积公式得到结果．本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高．本题是一个基础题．10.【答案】D【解析】解：如图，把点M（1，2）代入圆的方程左边得：（1-2）2+22=5＜9，所以点M（1，2）在圆的内部，要使过M的直线交圆后得到的∠ACB最小，也就是过M的直线交圆所截得的弦长最短，即当CM l时弦长最短，∠ACB最小，设此时直线l的斜率为k，∵，由k•k CM=-1，得：-2k=-1，所以，．∴l的方程为：，即x-2y+3=0．经验证可知，点M在圆的内部，要使过点M的直线交圆后所得的圆心角最小，则直线交圆所得的劣弧最短，也就是弦长最短，此时直线与过圆心及M点的连线垂直，根据斜率之积等于-1求出直线的斜率，由点斜式可得所求的直线方程．本题考查了圆的标准方程，考查了直线和圆的位置关系，过⊙C内一点M作直线l与⊙C交于A、B两点，则弦AB的长最短⇔弦AB对的劣弧最短⇔弦对的圆心角最小⇔圆心到直线l的距离最大⇔CM l⇔弦AB的中点为M，此题是中档题．11.【答案】D【解析】解：①∵AB BD，AB BC，BD∩BC=B，∴AB面BCD，∵CD⊂面BCD，∴AB CD，②设A在面BCD射影为O，AO面BCD，∵AD BC，AC BD，∴O为△BCD的垂心连接BO，则BO CD，AO CD∴CD面ABO．∵AB⊂面ABO．∴AB CD，③取CD中点G，连接BG，AG，∵AC=AD且BC=BD，∴CD BG，CD AG，∵BG∩AG=G，∴CD面ABG，∵AB⊂面ABG∴AB CD，综上选项A，B，C能够得出AB CD，故选：D在几何体中选取边长的中点，运用等腰三角形的性质，直线平面的垂直，平面与平面的垂直问题判断即可得出答案．本题综合考查了空间几何体中点直线，平面的垂直问题，关键是利用平面几何知识，空间直线平面的性质定理，判定定理转化直线的位置关系判断即可．12.【答案】A【解析】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据-x2+3x的取值为（-∞，0]，|f（x）|=x2-3x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x-3，即a≥-3．综上可得，a的取值为[-3，0]，故选：A．①当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2-3x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13.【答案】【解析】解：利用点到直线的距离可得：d==．故答案为：．利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】x2-x【解析】解：设x＞0，则-x＜0，适合已知条件下的表达式，所以f（-x）=-x（-x+1）=x（x-1）=x2-x，又因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（-x）=x2-x故答案为：x2-x先设x＞0，则-x＜0，适合已知条件下的表达式，故f（-x）=-x（-x+1），再根据f （x）是偶函数可得到答案．本题主要用奇偶性求函数在对称区间上的解析式，属于中档题．具体解法分两歩（1）在欲求区间上设自变量x，则其对称区间上的-x符合已知条件的表达式，使用这个表达式；（2）利用奇偶性将所得表达式进行化简，对称到欲求区间上，从而得到要求的表达式．15.【答案】3【解析】解：由表格可知：f（1）=2，∵f[g（x）]=2，∴g（x）=1，而g（3）=1，∴x=3．故答案为3．利用函数的定义即可得出．本题考查了函数的定义，属于基础题．16.【答案】3π【解析】解：构造一个各棱长为1的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，此四面体各棱为，而此四面体的外接球即为正方体的外接球．此球的直径为正方体的体对角线，即，所以该球表面积S=4πR2==3π．故答案为：3π．构造一个各棱长为1的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，此四面体各棱为，而此四面体的外接球即为正方体的外接球．由此能求出该球表面积．本题考查球的表面积的求法，考查正方体、正四面体、球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17.【答案】解：（1）当m=-2时，集合B={x|-2≤x≤-1}，因为集合A={x|-1≤x≤2}，所以A∪B={x|-2≤x≤2}，从而C R（A∪B）={x|x＜-2或x＞2}．（2）因为集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|m≤x≤m+1}且B⊆A，所以，解之得-1≤m≤1，即实数m的取值范围是{m|-1≤m≤1}．【解析】（1）当m=-2时，集合B={x|-2≤x≤-1}，再由集合A={x|-1≤x≤2}，先求出A∪B，由此能求出C R（A∪B）．（2）由集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|m≤x≤m+1}且B⊆A，列出不等式组，能求出实数m的取值范围．本题考查并集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、补集、子集定义的合理运用．18.【答案】解：（I）由题意可知，E为AB的中点，E（3，2）-------------（2分）且k CE=-=1，-----------------------（4分）∴CE所在直线方程为y-2=x-3，即x-y-1=0．----------（6分）（II）由得C（4，3），-----------（8分）∴|AC|=|BC|=，AC BC，---------------------（10分）∴S△ABC=|AC|•|BC|=2．----------------（12分）【解析】（I）由题意可知，E为AB的中点，E（3，2），利用斜率计算公式、点斜式即可得出．（II）由得C（4，3），利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．本题考查了斜率计算公式、点斜式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】解：由题意，设圆心为C（a，a-1），半径为r，则点C到直线l2的距离是d1==；--------（3分）点C到直线l3的距离是d2==；--------（6分）由题意，得，------------（8分）解得a=2，r=5，-----------（10分）即所求圆的方程是：（x-2）2+（y-1）2=25．-------（12分）【解析】根据题意设圆心为C（a，a-1），半径为r，利用点到直线的距离以及勾股定理求出圆心与半径即可．本题考查了直线与圆的应用问题，是中档题．20.【答案】解（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC．又BC∥AD，∴EF∥AD，又∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG平面ABCD，且EG=PA．在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，∴AP=AB=，EG=．∴S△ABC=AB•BC=××2=，∴V E-ABC=S△ABC•EG=××=．【解析】（Ⅰ）要证明：EF∥平面PAD，只需证明EF∥AD即可．（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积V．只需求出底面△ABC的面积，再求出E到底面的距离，即可．本题考查棱锥的体积，只需与平面平行，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意得，当t=5时，f（t）=140，即100•a-60=140，解得，a=4；（Ⅱ）f（5）=140，f（35）=-15×35+640=115，由于f（5）＞f（35），故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；（Ⅲ）①当0＜t≤10时，由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；③当20＜t≤40时，-15t+640≥140，故20＜t≤，综上所述，5≤t≤，故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持-5=分钟．【解析】（Ⅰ）由题意，100•a-60=140，从而求a的值；（Ⅱ）上课后第5分钟末时f（5）=140，下课前5分钟末f（35）=-15×35+640=115，从而可得答案；（Ⅲ）分别讨论三段函数上f（t）≥140的解，从而求出f（t）≥140的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间．本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．22.【答案】证明：（1）∵函数f（x）=，∴f′（x）=，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；（2）函数y==为偶函数．理由如下：当令h（x）==则h（-x）====h（x），故函数y==为偶函数．（3）当x≥0时，g（x）=f（22x）==1-为增函数，g（x）∈[0，1）且g（-x）=-g（x），即g（x）为奇函数．故g（x）∈（-1，1）若方程g（x）-k+l=0有实数解，则k-1∈（-1，1）即k∈（0，2）【解析】（1）求导，分析导数的符号，可得函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；（2）函数y=为偶函数，利用奇偶性的定义，可以判断；（3）若方程g（x）-k+l=0有实数解，则k-1∈（-1，1），进而得到答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用．。
江苏省南通市通州、海安2019-2020学年上学期高一期末学业质量监测数学试题及参考答案
通州、海安2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1. 集合 A ＝｛ 0，6，8 ｝的非空子集的个数为A ．3B ．6C ．7D ．82. 下列各图中，一定不是函数的图象的是3. 函数11y x=-＋ln x 的定义域为 A 、（0，1） B 、（0，1］ C 、（1，＋∞） D 、［1，＋∞）4．已知tan α＝17，tan β＝－43，且α，β∈(0 ，π) ，则α＋β＝5. 智能主动降躁耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降躁芯片生成相等的反向的波抵消噪音（如图）. 已知某噪音的声波曲线y ＝Asin （x ωϕ+） （ A ＞0 ，ω＞0 ， 0 ≤2πϕ<）的振幅为1，周期为2π ，初相为 0，则通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为A.y ＝sin xB.y ＝cos xC.y ＝－sin xD.y ＝－cos x6. 设e 1，e 2 是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能作为基底的是A ．e 1＋e 2 和e 1－e 2B 、 e 1 和e 1＋e 2C ．e 1＋3e 2 和e 2＋3e 1D 、3e 1－2e 2 和4e 2－6e 17. 下列大小关系正确的是8. 已知方程ln x ＝11－2x 的实数解为 x0，且，则k ＝ A ．1 B ．2C ．3D ．4 9. 函数 y ＝x 4－ x 2－1的图象大致为10. 已知函数既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 4 分，共计 12 分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）11. 对于给定的实数a ，关于实数 x 的一元二次不等式 a (x －a )(x ＋1) ＞0 的解集可能为A 、∅B 、（－1，a ）C 、（a ，－1）D （－∞，－1）（a ，＋∞）12. 定义：在平面直角坐标系 xOy 中，若存在常数ϕ (ϕ＞0 ) ，使得函数 y ＝f (x) 的图象向右平移ϕ个单位长度后，恰与函数 y ＝g(x) 的图象重合，则称函数 y ＝f (x) 是函数 y ＝g(x) 的“原形函数”.下列四个选项中，函数 y ＝f (x) 是函数 y ＝g(x) 的“原形函数”的是A ． f (x) ＝x 2 ， g(x) ＝ x 2－2x ＋1 B ． f (x)＝sin x ， g(x)＝cos x C ． f (x) ＝ln x ， g(x)＝ln 2x D ． f (x) ＝13x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， g(x) ＝213x⎛⎫ ⎪⎝⎭13. 如图，4×6 的方格纸（小正方形的边长为 1）中有一个向量OA （以图中的格点 O 为起点， 格点 A 为终点），则A.分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA是相反向量的共有 11 个B.满足｜OA－OB｜＝10的格点 B 共有 3 个C.存在格点 B，C，使得OA＝OB＋OCD.满足OA·OB＝1 的格点 B 共有 4 个三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分．其中第 17 题共有 2 空，每空 2 分；其余题均为一空，每空 4 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．）14．已知集合A＝｛－1，0，1 ｝， B＝｛0 ，1，2 ｝， C ＝｛ 1，3 ｝，则＝▲.15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝a，AD＝b，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，点E 在边 CD 上，且 DE＝2EC ，则OE ▲ .（用a，b 表示）16. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为▲cm2.17. 请先阅读下面的材料：对于等式a b＝ c （ a＞0 ，且a≠1），如果将a视为自变量 x，b 视为常数，c 为关于a（即 x）的函数，记为 y，那么 y＝x b，是幂函数；如果将a 视为常数，b 视为自变量 x，c 为关于 b（即x）的函数，记为 y，那么 y＝a x，是指数函数；如果将a视为常数，c 视为自变量 x，b 为关于 c（即 x）的函数，记为 y，那么 y ＝log a x ，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如，如果 c 为常数 e （自然对数的底）， 将 a 视为自变量 x ，则 b 为 x 的函数，记为 y ，那么 x y＝ ▲ ，若将 y 表示为 x 的函数， 则 y ＝ ▲ （ x ＞0 ，且 x ≠1）. 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 82 分．请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面向量a ＝ ( 2，3 ) ， b ＝(－2，4 ) ， c ＝( 1，－1 ) .（1）求证： a －b 与a －c 垂直；（2）若a ＋λb 与c 是共线向量，求实数λ的值.19．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x) ＝sin x ， x ∈R .现有如下两种图象变换方案：方案 1：将函数 f (x) 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得 图象向左平移6π个单位长度； 方案 2：将函数 f (x) 的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变 为原来的一半，纵坐标不变. 请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数 g(x) 的解析式，并解决如下问题：（1）画出函数 g(x) 在长度为一个周期的闭区间上的图象；（2）请你研究函数 g(x) 的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论.20．（本小题满分 14 分）已知全集U ＝R ，集合 A ＝｛x ｜x 2－2x －15＜0 ｝，集合B ＝（1）若a ＝1，求U A 和B ；（2）若 A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分 14 分）已知sinα＝.（1）求 tanα和sin 2β的值；（2）比较α与2π－β的大小，并说明理由.22．（本小题满分 14 分）用清水漂洗衣服上残留的洗衣液.对用一定量的清水漂．洗．一．次．的效果作如下假定：用 1 个单位量的水可洗掉衣服上残留洗衣液质量的一半，用水越多漂洗效果越好，但总还有洗衣液残留在衣服上.设用 x 单位量的清水漂洗一次后，衣服上残留的洗衣液质量与本次漂洗前残留的洗衣液质量之比为函数 f (x) ，其中 x ＞ 0 .（1）试规定 f (0) 的值，并解释其实际意义；（2）根据假定写出函数 f (x) 应该满足的条件和具有的性质，并写出满足假定的一个指数函数；（3）设函数 f (x) ＝353xx++现有c （ c ？0 ）单位量的清水，可供漂洗一次，也可以把水平均分成 2 份后先后漂洗两次，试确定哪种方式漂洗效果更好？并说明理由.23．（本小题满分 14 分）设a R∈，函数（1）若a＝1，求证：函数()f x为奇函数；（2）若a＜0，判断并证明函数()f x的单调性；（3）若a≠0，函数()f x在区间上的取值范围是求ka的范围。
2019-2020海安、通州高一上期末答案
2020海安市高一数学参考答案与评分建议2020．01．08一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共计40分）-⨯--+⨯=，……10分所以2213410λ=-. ……12分解得5219．（本小题满分14分）已知函数()sin=，x∈R.现有如下两种图象变换方案：f x x方案1：将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得 图象向左平移π6个单位长度；方案2：将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变.20．（本小题满分14分）已知全集U =R ，集合{}22150A x x x =--<，集合()(){}2210B x x a x a =-+-<.（1）若1a =，求UA 和B ；πO 7π12π121 1（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.解：（1）因为集合{}22150A x x x =--<，所以{}35A x x =-<<， …… 2分又全集U =R ，所以UA ={}35xx x -≤≥，或. …… 4分当1a =时，集合(){}210B x x =-<，所以B =∅. …… 6分所以4sin 5β=-. …… 6分从而()()4324sin 22sin cos 25525βββ==⨯-⨯-=. …… 8分（2）法1： 因为()ππ2α∈，，()3ππ2β∈，，所以()3π5π22αβ+∈，. …… 9分结合（1）知，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ …… 11分 ()(()234355=⨯-+⨯-0=>， …… 12分（1）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（2） 根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质，并写出满足假定的一个指数函数； （3）设函数3()53x f x x +=+. 现有c （0c >）单位量的清水，可供漂洗一次，也可以把水 平均分成2份后先后漂洗两次，试确定哪种方式漂洗效果更好？并说明理由.解：（1）规定(0)1f =，表示漂洗前衣服上残留的洗衣液质量为1； …… 2分（2）函数()f x 应该满足的条件：(0)1f =，且1(1)2f =； …… 3分函数()f x 应该具有的性质：()f x 为()0+∞，上的单调减函数（即()f x 的值随x 增加而减小），且当x 无限大时，()f x 无限趋近于0； …… 5分因为210x -≠，所以0x ≠. …… 1分从而对任意的0x ≠，2112()()2112x xxxf x f x --++-===---， 所以21()(0)21x x f x x +=≠-为奇函数. …… 3分（2）当0a <时，因为20x >，所以20x a ->，所以函数2()2xx a f x a +=-的定义域为R .结论：函数2()(0)2xx a f x a a+=<-为R 上单调增函数. …… 5分证明：设对任意的12x x ∈R ，，且12x x <，1当0a <因为函数从而关于x 的方程22xx a a +-2x k =有两个互异实根.令2x t =，则0t >，所以方程()20t a k t ak +-+=()0a k <，有两个互异正根.…… 10分所以()202400a k a k ak ak -⎧->⎪⎪-->⎨⎪>⎪⎩，，从而03k a <<-…… 11分2当0a >时，函数2()1x a f x =+在区间()2log a -∞，，()2log a +∞，上均所以1k a=-.综上，k a的范围是({}031--，. …… 14分。