材料力学第十二章 考虑材料塑性的极限分析

对具有明显屈服、且屈服阶 段又比较长的材料：
理想弹塑性材料与实际 材料的主要不同之处是忽略 了材料的强化特性。
理想弹塑性材料
§2-2 拉、压杆系的极限荷载
一般情况下，超静定拉压杆系中各杆的内力并不相同。
判断杆系是否发生强度破坏，以杆系中应力最大 的杆中的应力是否达到材料的极限应力作为依据。
以塑性材料制成的超静定拉压杆系为例： 若有一根杆的应力达 到了材料的屈服极限S 其余杆的应力仍小于S 杆系已经破坏 不能再继续承载 超静定拉压杆系还能继续承载
3 3
a a
2
1、2杆未屈服
杆系仍可继续承载
继续增大荷载，直至1、2杆也屈服， 三根杆应力都达到S 。 此时杆系的承载力（即极限荷载）为：
A
F
Fu F3 2F1 cosa S A(1 2 cosa )
Fu 1 2 cosa FS 1 2 cos3 a
该杆系从弹性极限状态到三根 杆都屈服的极限状态，其承载力提 高的程度与a 有关。
Fu [F ] n
容许荷载
极限荷载法
超静定拉压杆系的强度条件：
Fmax [ F ]
对超静定拉压杆系进行强度计算：
① 校核强度；② 设计截面；③ 求容许荷载。
例：图示结构中，刚性杆HJ的H端铰接，并由 AB 和 CD 两杆悬吊。两杆均为钢制，长度和横截面 面积也都相同。已知在J端受力F作用，试确定结构 的极限荷载 Fu；若取安全因数 n=1.85，试求结构的 容许荷载[F]。
第十二章 考虑材料塑性的极限分 析
◆ 塑性变形·塑性极限分析的假设 ◆ 拉、压杆系的极限荷载
◆ 等直圆杆扭转时的极限扭矩
◆ 梁的极限弯矩·塑性铰
§2-1 塑性变形·塑性极限分析的假设
在弹性范围内进行强度计算 单向应力状态下采用正应力强度条件： max [ ] 纯切应力状态下采用切应力强度条件： max [ ]
FAB S A
M Hi 0
S A a S A 2a Fu 3a 0
容许荷载 [ F ] Fu / n
极限荷载 Fu S A
§2-3 等直圆杆扭转时的极限扭矩

Mx
S

外力增大
Mx
S

外力增大
Mx
S
O
O
O

只有弹性区 弹性极限状态
S

S

只有塑性区 塑性极限状态
S
－
max
Mu
＋ ＋
max－S
z
＋
－
＝
Mu
－ S S ＋
y
S
截面承受弯 矩达到极限 弯矩 Mu 时
max
卸载即 加反向 弯矩Mu
max－S
卸载后 Mu ＝ 0
Mu max 由残余应力分布图知： Wz 截面上、下边缘处各点残余应力的数值为max－S ； 中性轴上各点有最大残余应力，数值为S。
Mu [M ] n
梁的强度条件：
容许弯矩 极限荷载法
M max [M ]
对梁进行强度计算： ① 校核强度； ② 设计截面； ③ 求容许荷载。
例：T 形截面梁尺寸如图。已知材料的屈服极 限 s＝240 MPa，试求该截面完全屈服时中性轴的 位置和极限弯矩，并与弹性极限状态作比较。
① 完全屈服
复杂应力状态下采用主应力强度条件： r [ ]
容许应力法
当杆件危险点处的最大工作应力或相当应力达 到了材料的极限应力，材料发生了强度破坏，杆件 失去了承载能力。
这种方法对塑性材料制成的杆件或杆系并不合理
极限荷载法
以杆件或杆系破坏时的荷载（即极限荷载）为 依据建立强度条件，并进行强度计算。 塑性材料杆件的破坏过 程与材料的力学性质有关。
6
M S Wz S 159.2 kN m
截面完全屈服时的弯矩比 弹性极限状态时增大74.3%
M u / M S 1.743
二、残余应力的概念
在弹性范围内受弯的杆件，卸载后变形可完 全恢复，不会出现残余变形和残余应力。 对于已经发生塑性变形的杆件，卸载时由于 弹性变形恢复趋势受到塑性区永久变形的阻碍， 致使恢复变形不能自由发生，因而在构件内会产 生残余应力。
A
D l2
D l3
F
F F3 3 1 2 cos a
F cos2 a F1 F2 3 1 2 cos a
大
增大荷载，3杆先屈服，应力达到S 。 此时杆系的承载力（即弹性状态 的最大承载力）为：
3 1
FS F3 (1 2 cos a ) S A(1 2 cos a )
FAB a FCD 2a F 3a 0
FCD l FABl 2 EA EA
FCD 2FAB
FAB Fx
FCD
增大荷载，杆CD先屈服。
FCD S A
FAB 0.5 S A
Fy
再增大荷载，杆CD的应力S 保持不变，杆AB的应力增大。
荷载增大至杆AB也屈服
FCD S A
当采用理想弹塑性模型时，梁横截面上承受的 弯矩为： 弹性极限状态 M S Wz S 完全塑性状态
WS Wz
M u WS S
截面形状因数
矩形截面：
WS bh2 / 4 2 1.5 Wz bh / 6
采用理想弹塑性模型，矩形截面梁可承受的极限弯矩 比只考虑材料的弹性所能承受的最大弯矩增大50%。 其他截面的截面形状因数见 P40 表
M x max [ ] 3 π d / 12
对圆杆进行强度计算： ① 校核强度； ② 设计截面； ③ 求容许荷载。
§2-4 梁的极限弯矩·塑性铰
一、梁的极限弯矩
塑性材料的矩形截面梁
弹性极限状态
弹塑性状态
完全塑性状态
弹性极限状态
弹塑性状态 在完全塑性状态下
完全塑性状态
屈服弯矩 MS ？
极限弯矩 Mu ？
S
即有弹性区，又有塑性区 弹塑性状态
弹性状态下横截面上 扭矩的最大值 极限扭矩
M xu
πd3 M x S Wp S S 16 d 2 πd3 SdA S 2 π d S A 0 12
当采用材料的理想弹塑性模型时，实心圆轴横 截面上承受的扭矩为： 弹性极限状态 塑性极限状态
塑性铰 卸载时塑性铰的效应会消失
弹性极限状态
弹塑性状态
完全塑性状态
2
弹性极限状态下横截面上的最大弯矩 MS ：
max
M Wz
bh MS S 6
？
完全塑性状态下横截面上的最大弯矩 Mu
截面完全屈服时中性轴的位置如何确定？ 中性轴的位置由横截面上的轴力 FN = 0 确定
A1：拉应力区的面积 A2：压应力区的面积
A1 A2
计算极限弯矩 Mu ：
－ z y
S ( ydA ydA)
A1 A2
S (S1 S2 )
S1：拉应力区面积对中性轴 z 的面积矩 S2：压应力区面积对中性轴 z 的面积矩
＋
均取绝对值
令
WS = S1 +S2
则
Mu = WS S
塑性弯曲截面系数
bh2 矩形截面： WS 4
FN = s A1－s A2 = 0 A1 = A2
中性轴将截面分为面积相等的两部分
对于矩形、圆形、工字形等有水平对称轴的截 面，在弹性状态和完全屈服两种情况下的中性轴的 位置是相同的。 对于没有水平对称轴的截面，当梁的横截面由 弹性状态转变为完全屈服时，中性轴将移至等分面 积处。
完
M u y SdA y S dA
按理想弹塑性模型，塑性材料的超静定拉压 杆系也存在极限荷载的问题。
三杆桁架受力如图，假设 三杆材料相同，弹性模量均为E， 横截面面积均为A。
3 1
F1 F2 F1 cosa F3 F2 cosa F 0
a a
2
F1 a a F2
A
F3
D l1 F3l3 F1l1 F cosa E1 A1 E3 A3
② 弹性极限状态
分割法
中性轴 zC
b 3 Iz b ( yC ) 12 2 a 3 a a( yC ) 12 2
yC = 96.4 mm
y
C y1
zC z 1 yC z0
ymax a yC
O
3
Wz I z / ymax 663.4 10 m
A1 = A2
中性轴 z1
y1 = 75 mm

)
y
S1 b ( y1
Hale Waihona Puke Baidu
2 y1 ( y1 ) 2 a y1 S 2 (a y1 ) 2
y1
z1 z0
O
WS S1 S2 1156 .2 106 m3
M u WS S 277.5 kN m
S
－
max
Mr
＋
max－S
－
z
＋
－
＝
Mr
＋
y 截面部分屈服
S
加载应 力分布
＋
max
卸载应 力分布
max－S
残余应力
M u M r MS
max
由残余应力分布图知： 最大残余应力发生在截面屈服区与弹性区的交界处； 中性轴上各点的残余应力为零。
Mr Wz
作业：
2－2、5； 2－10
M xS

πd3 S 16
M xu
S


πd3 S 12
S
S

S
M xu 4 M xS 3
采用理想弹塑性模型，圆轴横截 面可承受的极限扭矩比只考虑材料的 弹性所能承受的最大扭矩增大33%。
M xu [M x ] n
圆轴扭矩的强度条件：
容许扭矩
极限荷载法
M x max [M x ]