矩阵乘法的概念与简单性质(课堂PPT)

(3)当连续对向量实施n·(n＞1，且 n∈N*)次变换 TM 时，对应地我们记 Mn＝
. 3.矩阵乘法的运算性质 (1)矩阵乘法不满足交换律 对于二阶矩阵 A、B 来说，尽管 AB、BA 均有意义，但可能 AB≠BA. (2)矩阵乘法满足结合律 设 A、B、C 均为二阶矩阵，则一定有(AB)C＝A(BC). (3)矩阵乘法不满足消去律 设 A、B、C 为二阶矩阵，当 AB＝AC 时，可能 B≠C.
00 00
01＝10× ×00＋ ＋00× ×00
10× ×00＋ ＋00× ×11＝00
00.
(2)AB＝10
00 21
－10＝10× ×00＋ ＋02× ×11
10× ×（ （－ －11） ）＋ ＋02× ×00＝02
－10，
BA＝01
－11 00
02＝01× ×11＋ ＋（ 0×－01）×01×0× 0＋0＋ 0×（2－1）×2
N 表示 T2 为逆时针旋转 90°的变换.
这样 MN 表示矩阵 ABCD 先经 T2，再经 T1 的变换，变换结果如图(1)所示：
而 NM 表示矩形 ABCD 先经 T1，再经 T2 的变换，变换结果如图(2)所示. (2)
1 0
00对应的变换将平面上的点垂直投影到 x 轴，而 x 轴上的点沿 x 轴的切
变变换是不动点.10
31，10
1 3 均为沿 x 轴的切变变换，自然有等式成立.
1
矩阵乘法的简单性质
已知正方形 ABCD，点 A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)、D(0，0)，变
1 换 T1 所对应的矩阵 M＝0
[思考·探究] 1.矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？
【提示】 (1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有 当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法.
(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘 法只满足结合律.
2.矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关 系？
【提示】 矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以 复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换.
3.矩阵乘法 MN 与 NM 的几何意义一致吗？为什么？
【提示】 不一致；因为前一个对应着先 TN 后 TM 的两次几何变换，而后者 对应着先 TM 后 TN 的两次几何变换.
阶
阶
段
段
一
三
2.3.1 矩阵乘法的概念
阶 段 二
2.3.2 矩阵乘法的简单性质
学 业 分 层 测
评
1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它们. 2.会从几何变换的角度求 MN 的乘积矩阵. 3.通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律.
[基础·初探]
1.矩阵的乘法
一般地，对于矩阵 M＝aa1211 aa1222，N＝bb1211 bb1222，规定乘法法则如下：
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
0 1，变换 2
T2
所对应的矩阵
N＝01
－10，计算 MN、
NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释.
【精彩点拨】 利用具体的几何变换验证.
【自主解答】
1 MN＝0
12001
－10＝012
－1
0
，
NM＝01
－11 00
10＝0 2 1
－12
.
0
故 MN≠NM.
从几何变换的角度来看，矩阵 M 表示 T1 为向 x 轴压缩为一半的变换，矩阵
MN＝aa1211
a12b11 a22b21
bb1222＝aa1211bb1111＋＋aa1222bb2211
aa1211bb1122＋＋aa1222bb2222.
2.矩阵乘法的几何意义 (1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、 反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫 做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵. (2)矩阵乘法的几何意义： 矩阵乘法 MN 的几何意义为：对向量 α＝xy连续实施的 两 次几何变换 (先 TN 后 TM )的复合变换.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝01 －20.
1 11 1 1 1
(3)A2＝21
22 11
21＝21
21，
2 22 2 2 2
B2＝－11
1 1 －1－1
－11＝00
00.
这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着 重要的意义.(1)中尽管 A、B 均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中 AB≠BA；(3)中尽管 B≠C，但有 AB＝AC，这与一般数乘有着本质的区别；(4) 中 A2＝A，B2＝0，这里 0 是一个二阶零矩阵.
矩阵的乘法运算
(1)已知 A＝10 00，B＝00 01，计算 AB. (2)已知 A＝10 02，B＝01 －10，计算 AB，BA.
1 (3)已知 A＝21
2 【精彩点拨】
1 21，B＝－11 2
－11，计算 A2、B2.
利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明.
【自主解答】
(1)AB＝10
证明下列等式并从几何变换的角度给予解释.
1 0
31 10
00＝10
13110
0 0
【导学号：30650025】
【解】 ∵左＝10× ×11＋ ＋31× ×00 10× ×00＋ ＋31× ×00＝10 00，
右＝10××1＋ 1＋13× 1×00 1× 0×0＋ 0＋13× 1×00＝10 00， ∴左＝右.