指数函数图像与性质

a2-3a+3=1 a>0且a≠1 a=1或a=2 ∴a=2 a>0且a≠1
探究:
为什么要规定a 0且a 1 呢？

0
1
x
a
分类讨论
(1)
若a 0 , a 不一定有意义，
如：a 2, x 1 2
1
, a (2) 2
x
x
2 , 显然无意义；
x
(2) (3)
若a 0 , x 0 时a 0，x 0时a 均无意义；
1
x
y
y2
x
1 o x
y=1
课后作业： P59 第7题
思考：如何比较 1.7 0.3 与 0.9 3.1 的大小？
x
4 f x 0 .8
3
0.1
x
例4 、比较下列各题中两个值的大小:
(1) 1.7
2.5
, 1.7
(2) 0.8
, 0.8
0.2
归纳：比较两个同底数幂的大小时,可以构造一个 指数函数,再利用指数函数的单调性即可比较大小.
三、深入探究，加深理解
观察右边图象，回答下列问题： 1 x 问题一： y( ) 指数函数 2 图像是否 具有对称性？ 答： 不关于Y轴对称不关于 原点对称 问题二： x 指数函数 y 2 图像是否 具有对称性？ 答：
1 16
尺
( ) 尺 2
1
x
思考:
y 2 , y ( ) 这类函数与我们刚学过 2
x x
1
y x , y x2 一 样 吗 ？
2
1
你能从以上两个解析式中抽象出一个更 具有一般性的函数解析式吗？
y a
x
指数函数的定义：
底数a为常数 形如 y a
x
指数x为自变量
( a 0 , 且 a 1 ) 的函数叫做指数函数，
y2
x
过点（ - 1，），（ - 2，），（ - 3， 2 4 8），（ a , b ）
（ a , b ）与 ( a , b ) 关于 y 轴对称
对应两点 有什么位 置关系？
1 y a 与 y 的 图 像 关 于 y轴 对 称 x a 1 y x
x
1 4 y 3
x
x
3
y 3
x
用描点法作函数
y 2 和 y 3 的图象 .
x x
函 数 图 象 特 征
x
y=2x
…
…
-3
1/8
-2
1/4
-1
1/2
0
1
1
2
2
4
3
8
…
…
y=3x
… 1/27
1/9
1/3
x
1
3
xBiblioteka Baidu
9
27
…
yy 3
y 2
1
-3 -2 -1
o
1
2
O
X
a > 1 0< a < 1 答：当底数＿＿ 时图象上升；当底数＿＿＿＿时图象下降．
问题三： 图象中有一个最特殊的点？ ( 0 ,1 ) 答：四个图象都经过定点＿＿＿＿．
当底数a ( a
0 且 a 1)
取任意值时，指数函数图象如何 分类研究？
y
y
y
1 y 2
x
1 y 3
x
x
y 3
x
y 2
x
y a
(a 1)
y a
x
(0 a 1)
1 1
1 1
0
x
0
0 x
x
x 指数函数的图象和性质 y a ( a 0且a 1) 的图像和性质 指数函数
函
数
ya
x
( a 1)
y a (0 a 1)
x
图
象
定义域 值 域
R
(0,+∞)
R
3
x
用描点法作函数
y (
1
) 和 y ( ) 的图象 . 2 3
x x
1
函 数 图 象 特 征
x
… -3
-2 4 9
y ( ) 3 1
x
-1 2 3 y
0 1 1
1
2
3
…
y=2-x … 8 y=3-x … 27
y ( ) 2 1
x
1/2 1/4 1/3 1/9
1/8 … 1/27 …
1
若 a 1 ，1
x
1，没有研究的必要
.
范例
例1．已知指数函数 f ( x ) a x(a>0且a≠1)的
图像经过点(2，9)，求f(0)， f(1)， f(-1)的值。
因为 f ( x ) a 的图象经过点(2, 解： 2 a 9 f (2) 9 即
x
9)
,
解得
a 3
0
f ( x) 3
x
f (0 ) 3 1
f (1) 3
1 9
f ( 1) 3
1

1 3
例2．已知指数函数的图像经过点(2， )，求 f ( x ) 解：设 f ( x ) a x
(
a>0且a≠1)
二、实践操作，探求新知
动手画一画下列函数的图像
1
y 2
x
1 2 y 2
x y=a
图像及其性质
y
莘县一中 邵翠华
x
一、创设情境，形成概念
引题1:某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2 个分裂成4个…… 1个这样的细胞分裂x次后， 得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？
分裂 次数
1次
2次
3次
4次
x次
……
y 2
x
细胞 总数
2个
4个
8个
16 个
21
22
23
24
2
x
想一 想
幂为函数
形式上的严格性：
底 数 a 0 且 a 1;
指数是自变量x，且 x R ;
整个式子的系数是1
巩固练习
1、判断下列函数是指数函数吗?
（1）
y3
x
x
（2）
（3）
y 3
1 （4） y 3
y (3) x
x
2、函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，求a的 值.
x
1 y 2
x
y 3
y3
y 2
x
关于y轴对称
1
0
1
x
观察右边图象，回答下列问题： 问题一： 图象分布在哪几个象限？
Ⅰ、Ⅱ 答四个图象都在第＿＿＿＿象限。
1 x y( ) 3 y( ) 2
1
x
y=3X
Y
y = 2x
Y=1
问题二： 图象的上升、下降与底数a有什么联系？
1 x y( ) 1 x 3 y( ) 2
y=3X
Y
y = 2x
Y=1
大 于1 增、小 于1 减，
O
X
图象恒过(0,1)点.
例3、快速指出下列指数函数在R上的单调性并画 出大致图像
1 (1) f ( x ) 4
x
2 f x 8
x
3 f x 1 .7
1 0
y
y
1 y 2
x
x
y 2
1 0
x
x
不关于Y轴对称不关于 原点对称
课堂小结：
本节课你收获了什么？
1.数学知识点: 指数函数的概念、图象和性质； 2.研究函数的一般步骤:定义→图象→性质→应用；
3.数学思想方法:数形结合、分类讨论的数学思想.
记住两个基本图形:
y( ) 2
O
X
比较函数y 2 和y (
x
1 2
) 的列表.
0 1 1 1 2 2 4 3 8 1/8 … … …
x
函 数 图 象 特 征
x y=2x
… …
-3 1/8 8
-2 1/4 4
-1 1/2 2
y=2-x …
x
1/2 1/4
y 2 过点（ 1，），（ 2，），（ 3， 2 4 8），（ a , b ）
(0,+∞)
单调性
过定点 函数值变 化情况
在R上是增函数 （0，1） x > 0时，y > 1 x < 0时，0< y <1
在R上是减函数 （0，1） x > 0时，0< y <1 x < 0时，y > 1
普通高中课程标准实验教科书· 人教A版数学必修一（2.1.2）
记忆口诀：
左右无限上冲天， 永与横轴不沾边.
一尺之锤，日取其半，万世不竭！ -------庄子
引题2:一把长为1的尺子第一次截去它的一半， 第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第 二次剩余部分的一半，依次截下去，问截的 次数x与剩下的尺子长度y之间的关系.
截取 次数
1次
2次
3次
4次
x次
y ( ) 2
1
x
木棰 剩余
1 2
尺
1 4
尺
1 8
尺