指数函数的图象及性质
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（2）在R上是减函数 （2）在R上是增函数
a决定 单调
性
例3.比较下列各题中两个值的大小
11.72.5 ,1.73; 2 0.80.1, 0.80.2; 31.70.3 , 0.93.1.
根据指数 函数的性
质
解：(1)根据函数y=1.7x的性质，1.72.5<1.73.
(2)根据函数y=0.8x的性质，0.8-0.1<0.8-0.2.
2
么，指数函数是怎样定义的呢？
指数函数的概念：
一般地，函数_y_=_a_x（a＞０，且a≠１）叫做指数函 数，其中x是自变量，函数的定义域是_R_.
思考：在指数函数y=ax中，为什么要规定a>0,且
a≠1呢？
提示：若a=0，当当xx＞＜00时时，，aa
x恒等于0， x无意义
若a＜0，比如y=(-4)x，这时对于x=
y 1ax
幂系数为1
自变量仅有 这一种形式
底数为正数且 不为1的常数
关键条件 例2 已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且a≠1) 的图象
经过点(3,π)，求f(0) 的值.
解析：指数函数的图象经过点(3,π)，有f(3)=π，
1
即 a3=π， 解得 a 3
x
于是 f x 3
所以 f (0) 0 1
则a2-3a+3=1， 解得a=2或a=1， 又因为指数函数的底数a＞0且a≠1，
定义是考 查的重点
故a=2.
3.函数y=ax-3+2（a＞0且a≠1）的图象一定经过点
P，则P点的坐标为（ B ）
A.（-2，-3）
B.（3，3）
C.（3，2）
D.（-3，-2）
【解析】因为y=ax-3+2（a＞0且a≠1），
CD
H四点,由函数解析式易知E(1,
c),
F(1,d),G(1, a),H(1,b),
O1
x
由图象可直观看出
c结>论d>：1当>aa>>1b时,图象越靠近ｙ轴，底数越大; 当0<a<1时,图象越靠近ｙ轴，底数越小.
2.指数函数的图象和性质
底数
0 a 1
图象
a 1
定义域 值域
性质
R
(0, )
（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1 （2）在R上是减函数 （2）在R上是增函数
y a x (0 a 1)
y
1
0
x
图象自左至右逐渐上升
1
0
x
图象自左至右逐渐下降
探究点3 由函数图象可以得出函数的哪些性质呢？
0<a<1
y a x (0 a 1)
y
a>1
y y ax (a 1)
图象
1
0
x
1
x
0
定义 域
R
值域
（0，+∞）
（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1 性质
所以当x-3=0，即x=3时，y=3，
所以函数y=ax-3+2（a＞0且a≠1）的图象过定点
P（3，3）.
4.如图,指数函数:A. y=ax B.y=bx C.y=cx D. y=dx
的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是ｂ__＜__ａ_＜__１__＜__ｄ_＜__ｃ__.
如图，作直线x=1，与这4个 A B y 函数图象分别交于E、F、G、
列表：
x … -3
-2
-1
0
y=3x … 0.037 0.11
0.33
1
y=3-x …
27
9
3
1
1
2
3…
3
9
27 …
0.33
0.11 0.037 …
同坐标系中画出两函数图象，并观察图象的特点
y
y
1 3
x
y 3x
都过定 点（1,0）
1
0
1
关于y轴对称
x
y
y
1 3
x
y
1 2
x
都过定点 （1,0）
1.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( B )
A.y (4)x
B.y x
C.y 2 4x D.y ax2 (a 0且a 1)
2.若函数y=（a2-3a+3）ax是指数函数，则（ D）
A．a＞1且a≠1
B．a=1
C．a=1或a=2
D．a=2
【解析】若函数y=（a2-3a+3）ax是指数函数，
在实数范围内函数值无意义.
(n1 ∈N*)
2n
若a=1,y=1x=1是一个常量，因此对它就没有研
究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1.
例1 下列函数中是指数函数的函数序号是 （2） .
（1）y x2；（2）y 3x；（3）y 4x；
(4) y 3x ; (5) y x2x1.
(3)根据函数y=1.7x的性质，1.70.3>1.70=1，
根据函数y=0.9x的性质，0.93.1<0.90=1，
所以1.70.3>0.93.1
不同底的要找中间值
【变式练习】
用“＞”或“＜”填空：
（
1
3
）5 ＜
（
1
）0
4
4
7
5.06 4
＜
5.060
（
4
5
）6
＞（
Baidu Nhomakorabea
4
）0
3
3
0.19
2 3
＞
0.190
指数函数的图象及性质
实例1 某种细胞分裂时，由１个分裂成２个，２个 分裂成４个，…
......
一个细胞分裂ｘ次，得到的细胞的个数ｙ与ｘ 的函数关系式是： y 2x(x N ) .
实例2 《庄子·逍遥游》记载：一尺之椎，日取其
半，万世不竭.意思是一尺长的木棒，一天截取一
半，很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x
1
y 3x
y 2x
关于y轴对称
0
1
x
y
yy
y
1 2
x
y
1 3
x
y
y 3x y 2x
y=ax (a>1)
1
0
x
11
00
11
y=ax (0<a<1)
1
0 xx
x
图象共同特征：（1）图象可向左、右两方无限伸展 （2）图象都在x轴上方 （3）都经过坐标为（0，1）的点
y y ax
(a 1)
探究点2 研究函数都会研究函数图象，如何画出
指数函数的图象呢？
描点法是作
用 描点法 作出下列两组函数的图象， 函数图象的
然后写出其一些性质：
通用方法哦
(1)y 2x
y
y 2x
1
0
1
x
y （1 ）x 2
y
y
1 2
x
y
1 2
x
1
0
1
x
(2) y 3x 与 y (1)x 的图象. 3
次，剩余长度y与x的关系是
y
（1）x(x 2
N)
.
这个式子是 怎么得出来 的呢？
截取
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x(x N*) 2
木棒 剩余
1尺 1尺 1尺 1 尺
2
4
8
16
(1)x尺 2
实例1和实例2涉及的函数有什么共同特点呢？
接下来我们一起来探究这个问题.
探究点1 形如y=2x， y （1）x 的函数是指数函数.那
a决定 单调
性
例3.比较下列各题中两个值的大小
11.72.5 ,1.73; 2 0.80.1, 0.80.2; 31.70.3 , 0.93.1.
根据指数 函数的性
质
解：(1)根据函数y=1.7x的性质，1.72.5<1.73.
(2)根据函数y=0.8x的性质，0.8-0.1<0.8-0.2.
2
么，指数函数是怎样定义的呢？
指数函数的概念：
一般地，函数_y_=_a_x（a＞０，且a≠１）叫做指数函 数，其中x是自变量，函数的定义域是_R_.
思考：在指数函数y=ax中，为什么要规定a>0,且
a≠1呢？
提示：若a=0，当当xx＞＜00时时，，aa
x恒等于0， x无意义
若a＜0，比如y=(-4)x，这时对于x=
y 1ax
幂系数为1
自变量仅有 这一种形式
底数为正数且 不为1的常数
关键条件 例2 已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且a≠1) 的图象
经过点(3,π)，求f(0) 的值.
解析：指数函数的图象经过点(3,π)，有f(3)=π，
1
即 a3=π， 解得 a 3
x
于是 f x 3
所以 f (0) 0 1
则a2-3a+3=1， 解得a=2或a=1， 又因为指数函数的底数a＞0且a≠1，
定义是考 查的重点
故a=2.
3.函数y=ax-3+2（a＞0且a≠1）的图象一定经过点
P，则P点的坐标为（ B ）
A.（-2，-3）
B.（3，3）
C.（3，2）
D.（-3，-2）
【解析】因为y=ax-3+2（a＞0且a≠1），
CD
H四点,由函数解析式易知E(1,
c),
F(1,d),G(1, a),H(1,b),
O1
x
由图象可直观看出
c结>论d>：1当>aa>>1b时,图象越靠近ｙ轴，底数越大; 当0<a<1时,图象越靠近ｙ轴，底数越小.
2.指数函数的图象和性质
底数
0 a 1
图象
a 1
定义域 值域
性质
R
(0, )
（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1 （2）在R上是减函数 （2）在R上是增函数
y a x (0 a 1)
y
1
0
x
图象自左至右逐渐上升
1
0
x
图象自左至右逐渐下降
探究点3 由函数图象可以得出函数的哪些性质呢？
0<a<1
y a x (0 a 1)
y
a>1
y y ax (a 1)
图象
1
0
x
1
x
0
定义 域
R
值域
（0，+∞）
（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1 性质
所以当x-3=0，即x=3时，y=3，
所以函数y=ax-3+2（a＞0且a≠1）的图象过定点
P（3，3）.
4.如图,指数函数:A. y=ax B.y=bx C.y=cx D. y=dx
的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是ｂ__＜__ａ_＜__１__＜__ｄ_＜__ｃ__.
如图，作直线x=1，与这4个 A B y 函数图象分别交于E、F、G、
列表：
x … -3
-2
-1
0
y=3x … 0.037 0.11
0.33
1
y=3-x …
27
9
3
1
1
2
3…
3
9
27 …
0.33
0.11 0.037 …
同坐标系中画出两函数图象，并观察图象的特点
y
y
1 3
x
y 3x
都过定 点（1,0）
1
0
1
关于y轴对称
x
y
y
1 3
x
y
1 2
x
都过定点 （1,0）
1.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( B )
A.y (4)x
B.y x
C.y 2 4x D.y ax2 (a 0且a 1)
2.若函数y=（a2-3a+3）ax是指数函数，则（ D）
A．a＞1且a≠1
B．a=1
C．a=1或a=2
D．a=2
【解析】若函数y=（a2-3a+3）ax是指数函数，
在实数范围内函数值无意义.
(n1 ∈N*)
2n
若a=1,y=1x=1是一个常量，因此对它就没有研
究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1.
例1 下列函数中是指数函数的函数序号是 （2） .
（1）y x2；（2）y 3x；（3）y 4x；
(4) y 3x ; (5) y x2x1.
(3)根据函数y=1.7x的性质，1.70.3>1.70=1，
根据函数y=0.9x的性质，0.93.1<0.90=1，
所以1.70.3>0.93.1
不同底的要找中间值
【变式练习】
用“＞”或“＜”填空：
（
1
3
）5 ＜
（
1
）0
4
4
7
5.06 4
＜
5.060
（
4
5
）6
＞（
Baidu Nhomakorabea
4
）0
3
3
0.19
2 3
＞
0.190
指数函数的图象及性质
实例1 某种细胞分裂时，由１个分裂成２个，２个 分裂成４个，…
......
一个细胞分裂ｘ次，得到的细胞的个数ｙ与ｘ 的函数关系式是： y 2x(x N ) .
实例2 《庄子·逍遥游》记载：一尺之椎，日取其
半，万世不竭.意思是一尺长的木棒，一天截取一
半，很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x
1
y 3x
y 2x
关于y轴对称
0
1
x
y
yy
y
1 2
x
y
1 3
x
y
y 3x y 2x
y=ax (a>1)
1
0
x
11
00
11
y=ax (0<a<1)
1
0 xx
x
图象共同特征：（1）图象可向左、右两方无限伸展 （2）图象都在x轴上方 （3）都经过坐标为（0，1）的点
y y ax
(a 1)
探究点2 研究函数都会研究函数图象，如何画出
指数函数的图象呢？
描点法是作
用 描点法 作出下列两组函数的图象， 函数图象的
然后写出其一些性质：
通用方法哦
(1)y 2x
y
y 2x
1
0
1
x
y （1 ）x 2
y
y
1 2
x
y
1 2
x
1
0
1
x
(2) y 3x 与 y (1)x 的图象. 3
次，剩余长度y与x的关系是
y
（1）x(x 2
N)
.
这个式子是 怎么得出来 的呢？
截取
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x(x N*) 2
木棒 剩余
1尺 1尺 1尺 1 尺
2
4
8
16
(1)x尺 2
实例1和实例2涉及的函数有什么共同特点呢？
接下来我们一起来探究这个问题.
探究点1 形如y=2x， y （1）x 的函数是指数函数.那