指数函数的图象及性质
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指数,对数,幂函数的图像和性质
指数函数的图像是一条向上开口的曲线，通常表示为y=a^x（a>0，a≠1）。
指数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为1。
2.对于不同的指数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。
如果改变指数函数的
指数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。
3.对于相同的指数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。
对数函数的图像是一条向右开口的曲线，通常表示为y=loga(x)（a>0，a≠1）。
对数函数的性质有：
1.在y 轴上的截距为0。
2.对于不同的对数函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。
如果改变对数函数的
底数，则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。
3.对于相同的对数函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生
伸缩。
幂函数的图像可以是一条向上开口的曲线，也可以是一条向右开口的曲线，通常表示为y=x^n（n为常数）。
幂函数的性质有：
1.当n>0 时，幂函数的图像是一条向上开口的曲线。
2.当n<0 时，幂函数的图像是一条向右开口的曲线。
3.当n=0 时，幂函数的图像是一条水平直线。
4.幂函数的图像在y 轴上的截距为1。
5.对于不同的幂函数，它们的图像形状是相同的，只有位置不同。
如果改变幂函数的指数，
则会改变函数的斜率，即函数图像会发生平移。
6.对于相同的幂函数，如果改变函数的系数，则会改变函数的尺度，即函数图像会发生伸
缩。
高一数学人必修件指数函数的图象和性质
生物繁殖
在生物学领域，指数函数用于描述生物种群的繁殖速度。某 些生物种群的增长符合指数函数的规律，如细菌繁殖、昆虫 数量增长等。
其他领域应用案例
放射性衰变
在物理学中，指数函数用于描述放射性物质的衰变过程。放射性元 素的原子数量随时间呈指数减少。
化学反应速率
化学领域中，指数函数可用于描述某些化学反应的速率。反应速率 与反应物浓度的关系可以用指数函数表示。
同底数幂相乘
幂的乘方
底数不变，指数相加。即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
底数不变，指数相乘。即$(a^m)^n = a^{m times n}$。
同底数幂相除
底数不变，指数相减。即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
幂的乘方法则
1 2
正整数指数幂的乘法
$(a^m)^n = a^{m times n}$，其中$m, n$为 正整数。
指数函数图像与坐标轴交点
指数函数的图像与x轴没有交点，与y轴的交点是(0,1)。
指数函数性质总结
指数函数的单调性
当a>1时，指数函数在定义域 内单调递增；当0<a<1时，指 数函数在定义域内单调递减。
指数函数的奇偶性
指数函数既不是奇函数也不是 偶函数。
指数函数的值域
指数函数的值域是(0, +∞)。
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数叫做指数函数。
指数函数表达式
y=a^x，其中a是自变量，x是指 数，y是因变量。
指数函数图像特征
指数函数图像形状
指数函数的图像是一条从坐标原点出发，向右上方或右下方无限 延伸的曲线。
指数函数图像位置
当a>1时，图像位于第一象限和第二象限；当0<a<1时，图像位于 第一象限和第四象限。
在生物学领域，指数函数用于描述生物种群的繁殖速度。某 些生物种群的增长符合指数函数的规律，如细菌繁殖、昆虫 数量增长等。
其他领域应用案例
放射性衰变
在物理学中，指数函数用于描述放射性物质的衰变过程。放射性元 素的原子数量随时间呈指数减少。
化学反应速率
化学领域中，指数函数可用于描述某些化学反应的速率。反应速率 与反应物浓度的关系可以用指数函数表示。
同底数幂相乘
幂的乘方
底数不变，指数相加。即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
底数不变，指数相乘。即$(a^m)^n = a^{m times n}$。
同底数幂相除
底数不变，指数相减。即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
幂的乘方法则
1 2
正整数指数幂的乘法
$(a^m)^n = a^{m times n}$，其中$m, n$为 正整数。
指数函数图像与坐标轴交点
指数函数的图像与x轴没有交点，与y轴的交点是(0,1)。
指数函数性质总结
指数函数的单调性
当a>1时，指数函数在定义域 内单调递增；当0<a<1时，指 数函数在定义域内单调递减。
指数函数的奇偶性
指数函数既不是奇函数也不是 偶函数。
指数函数的值域
指数函数的值域是(0, +∞)。
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数叫做指数函数。
指数函数表达式
y=a^x，其中a是自变量，x是指 数，y是因变量。
指数函数图像特征
指数函数图像形状
指数函数的图像是一条从坐标原点出发，向右上方或右下方无限 延伸的曲线。
指数函数图像位置
当a>1时，图像位于第一象限和第二象限；当0<a<1时，图像位于 第一象限和第四象限。
指数函数的概念图象及性质PPT课件
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1， 指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函 数． 故(1)(3)(4)为指数函数．
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题 比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3； (3)0.80.6，0.60.8.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)＝1.8x. 因为 a＝1.8＞1，所以 f(x)＝1.8x 在 R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以 1.8－π＜1.8－3. (2)因为 y＝11..79x在 R 上是减函数， 所以11..79－－00..33＝11..79－0.3＞11..790＝1. 又因为 1.7－0.3 与 1.9－0.3 都大于 0， 所以 1.7－0.3＞1.9－0.3.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y＝0.8x 在 R 上单调递减，而 0.6＜0.8， 所以 0.80.6＞0.80.8. 又因为00..6800..88＝00..860.8＞00..680＝1，且 0.60.8＞0， 0．80.8>0，所以 0.80.8＞0.60.8.所以 0.80.6＞0.60.8.
x＝0 时，__y_＝__1___； 质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时，_0_<__y_<_1__； x＝0 时，_y_＝__1____；
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1， 指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函 数． 故(1)(3)(4)为指数函数．
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题 比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3； (3)0.80.6，0.60.8.
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第4章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)＝1.8x. 因为 a＝1.8＞1，所以 f(x)＝1.8x 在 R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以 1.8－π＜1.8－3. (2)因为 y＝11..79x在 R 上是减函数， 所以11..79－－00..33＝11..79－0.3＞11..790＝1. 又因为 1.7－0.3 与 1.9－0.3 都大于 0， 所以 1.7－0.3＞1.9－0.3.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y＝0.8x 在 R 上单调递减，而 0.6＜0.8， 所以 0.80.6＞0.80.8. 又因为00..6800..88＝00..860.8＞00..680＝1，且 0.60.8＞0， 0．80.8>0，所以 0.80.8＞0.60.8.所以 0.80.6＞0.60.8.
x＝0 时，__y_＝__1___； 质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时，_0_<__y_<_1__； x＝0 时，_y_＝__1____；
指数函数的图象和性质
1
1
练习：比较大小 a3和a 2，（a 0, a 1)
方法总结
（1）构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同 指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。比 较两个同底数幂的大小时,可以构造一个指数函数,再利用指数函数的 单调性即可比较大小. （2）搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。 比较两个不同底数幂的大小时,通常引入第三个数作参照.
分析：(1)因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数 的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算 倍增期.(2)要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与 倍增期的数量关系. 解：(1)观察图,发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年 约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年， 所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.(2)因为倍增期为 20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始， 经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
x
用描点法作函数y (1)x 和y (1)x的图象.
函
2
3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
数 y=2-x … 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 …
图 y=3-x … 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 …
象 y (1)x 2
特 征
y (1)x 3
y
O
思考：若不用描点法， 这两个函数的图象又该 如何作出呢？
底数a由大变小时函数图像在第一象限内按＿＿顺＿＿
时针方向旋转.
问题三：图象中有哪些特殊的点？
答：四个图象都经过点＿(＿0＿,1＿) ．
a>1
指数函数的图像与性质
X
细胞分裂问题：
任何有机体都是由细胞作为基本单位组成 的，每个细胞每次分裂为2个，则1 个这样的 细胞第一次分裂后变为2个细胞，第2次分裂 后就得到4个细胞，第3次分裂后就得到8个细 胞，…。那么，一个这样的细胞分裂x次后， 得到的细胞个数y与x函数关系是什么？
观 察 细 胞 分 裂 过 程 图 ：
0 0.1 1, y 0.1x 是减函数， 且-0.1 0.1,
0.10.1 0.10.1
巩固练习（P107习题第5题）
5、 比较下列各题中两个值的大小：
(1)30.8
30.7
(2)0.ห้องสมุดไป่ตู้50.2
0.750.2
(3)0.91
0.91.1
(4)1.12
y 1 ax
自变量(R)
大于0，不等于1的常数
y 1 ax
练习：下列哪些函数是指数函数?
√ (1)y=2x,
√ (2)y=(1/2)x, × (3)y=x3,
× (4)y=2·3x, × (5)y=(-10)x, × (6)y=3x+1.
例题解释
例1 已知指数函数f (x) 2x，求f (2), f (1), f (0), f (1)的值。
例题解释
例3 利用指数函数的单调性，比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.60.1与1.60.2
(2)0.70.1与0.70.2
解：(1)考察函数y 1.6x
1.6 1, y 1.6x 是增函数， 且0.1 0.2,
1.60.1 1.60.2
(2)考察函数y 0.7x
解：f (2)
22
1 22
1 4
细胞分裂问题：
任何有机体都是由细胞作为基本单位组成 的，每个细胞每次分裂为2个，则1 个这样的 细胞第一次分裂后变为2个细胞，第2次分裂 后就得到4个细胞，第3次分裂后就得到8个细 胞，…。那么，一个这样的细胞分裂x次后， 得到的细胞个数y与x函数关系是什么？
观 察 细 胞 分 裂 过 程 图 ：
0 0.1 1, y 0.1x 是减函数， 且-0.1 0.1,
0.10.1 0.10.1
巩固练习（P107习题第5题）
5、 比较下列各题中两个值的大小：
(1)30.8
30.7
(2)0.ห้องสมุดไป่ตู้50.2
0.750.2
(3)0.91
0.91.1
(4)1.12
y 1 ax
自变量(R)
大于0，不等于1的常数
y 1 ax
练习：下列哪些函数是指数函数?
√ (1)y=2x,
√ (2)y=(1/2)x, × (3)y=x3,
× (4)y=2·3x, × (5)y=(-10)x, × (6)y=3x+1.
例题解释
例1 已知指数函数f (x) 2x，求f (2), f (1), f (0), f (1)的值。
例题解释
例3 利用指数函数的单调性，比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.60.1与1.60.2
(2)0.70.1与0.70.2
解：(1)考察函数y 1.6x
1.6 1, y 1.6x 是增函数， 且0.1 0.2,
1.60.1 1.60.2
(2)考察函数y 0.7x
解：f (2)
22
1 22
1 4
指数函数的图像及性质
∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2. 【答案】 D
求与指数函数有关的函数的定义域与值域
求下列函数的定义域和值域：
(1) y＝( 1 )2x－x2；(2)y＝9x＋2×3x－1.
2
思路点拨：这是与指数函数有关的复合函数，可以利 用指数函数的概念和性质来求函数的定义域、值域，对于 形式较为复杂的可以考虑利用换元法(如(2))．
素材2.1 设函数f x =a－ (a 0且a 1)，
x
若f 2 = 4，则a = f (2)与f 1的大小关系 是 ；
，
xa x 2 函数y = 0 a 1的 | x| 图象的大致形状是
解析：
1由f 2 4，得a
－2
1 4，所以a ， 2
另一部分是：y=3x
(x<0)
向左平移
1个单位
y=3x+1 (x<-1).
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数，
在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高
在作函数图象时,首先要研究函数与某一
基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
考点探究
点评： 利用单调性可以解决与指数函数有关的值域 问题．指数函数本身是非奇非偶函数，但是与指数函数有
关的一些函数则可能是奇函数或偶函数．要注意使用相关
的概念和性质解决问题．
考点探究
2 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，1)时，f(x)＝ x . 4 ＋1 (1)求 f(x)在(－1，1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0，1)上是减函数．
指数函数图象及其性质
x 2 x
(0 y 2)
补充练习
1.下图是①y=ax ②y=bx ③y=cx ④y=dx的图像,则 a,b,c,d与1的大小关系是 (B) A. a<b<1<c<d C. 1<a<b<c<d
①
②
y③
B. b<a<1<d<c D. a<b<1<d<c
④
1
O 1
x
2.若函数f ( x) (2a 1) 是减函数, 则a的取值范围是 . 1 x 1 3.函数y ( ) 的定义域是 , 2 值域是 .
-2
0.25 0.11
-1
0.5 0.33
0 1 1
1 2 3
2 4 9
3 8 27
...
10
1 024 59 049
... ...
... ... ...
做一做
描点画出图像 (1)当x<0时,总有2x > 3x; (2)当x>0时,总有2x < 3x; (3)当x>0时,y=3x比y=2x的函 数值增长得快.
例题讲解
4 x 2由于 2 , 则y a 是减函数 , 所以 5 0 a 1.
(1) y 3 ; (2) y (0.25) (3) y 0.4
1 x 1
2
例2.求下列函数的定义域、值域： 1 x
2 x 1
;
; (4) y 2 1;
x
1 (5) y 2
y 3x
y 2x
例题讲解 例1 (1)求使不等式4x>32成立的x的集合;
已知a
x
4 5
指数函数及其图像与性质_图文
小试牛刀
例2.判断下列函数在其定义域上的单调性
(1)y=4x; 解：
知识积累：
y
指数函数y=2x的性质 x
（1）函数的定义域为R，值域为(0，∞); （2）图像都在x轴的上方，向上无限延伸，
向下无限接近x轴； （3）函数图象都经过（0,1）点； （4）函数图像自左至右呈上升趋势。
动手试一试
列表：
x
…
-3
…
8
图像：
指数函数y= 的图像
-2
-1.5
-1
-0.5
指数函数及其图像与性质_图文.ppt
直观感知：核裂变
如果裂变次数为x ，裂变后的原子核为 y，则y与x之间的关 系是什么？
y=2x
你还能举出一些类似的例子吗？ （如细胞分裂……）
归纳结论
指数函数的概念：
一般地，设a>0且a≠1，形如y=ax的函数称为指数函数。 定义域：R
学以致用
问题：对于其它a的值，指数函数的图像又 是怎样的呢？
及时复习~~积沙成塔
指数函数的图像和性质：
y=ax
a
a>1
0<a<1
图
像
性 质
(1)函数值都是正的； (2)x=0时，y=1； (3)当x>0时，y>1;当x<0时， 0<y<1； (4)f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
（1）函数值都是正的； （2）x=0时，y=1； （3）当x>0时， 0<y<1 ;当x<0时， y>1 ； （4）f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
0
0.5
指数函数图象及性质
mn
⑶比较下列各数的大小：
10 , 0.42.5 ,
2 0.2
1 0.42.5 0
2 0.2
例3在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出
它们与指数函数y= 2x 的图象的关系，
⑴ y 2x1 与 y 2x2
⑵ y 2x1 与 y 2x2
解：⑴列出函数数据表,作出图像
x -3 -2 -1 0 1 2 3
( 1 0,且 1 1)
a
a
探究2:判断下列函数,那些是指数函数？
(1) y=4x
(2) y=x4
(3) y=-4x
(4) y=(-3)x
(5) y=xx
(6) y=3×4x
(7) y=3x+1
点评:函数解析式三大特征为①指数是自变量 x ;②底数是非1正常数;③系数为1.
随堂练习：
函数y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,求a的 值.
-0.5 0 0.6 1 1.7 1
0.5 1 2 3 … 1.4 2 4 8 …
0.71 0.5 0.25 0.13 …
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8
由3x≥30.5，可得x≥0.5，即x的取值范围为 [0.5，+∞）。
；
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
例2：解下列不等式
(1)(1)x2 8 32x 3
(2) ax22x ( 1 )x2 (a 0且a 1) a
例2:指出下列函数的单调区间，并判断增减性；
指数函数的图象和性质
yax与y1x图象关 y轴于对称 a
8
9
练习4、此图是①y＝ax，②y＝bx， ③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b， c，d与1的大小关系是（ ）
A a＜b ＜1 ＜ c ＜ d ① ②
③④
B b＜a ＜1 ＜ d ＜ c
C 1＜a ＜b＜ c ＜ d
D a＜b ＜1 ＜d ＜ c
10
3.3 指数函数的图象及其性质
1
函数 y 2x 的性质：
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.x=0 时，y=1.即过点（0，1） 4.在 R 上是增函数 5.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
2
函数 y 1 x 的性质：
2
1.定义域: R
2.值域: 0,
3.x=0 时，y=1.即过点（0，1） 4.在 R 上是减函数 5.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
(1)定义域： R
(2)值域： (0, )
(3)奇偶性：非奇非偶函数 (4)单调性：在R上是减函数
质 (5)过点（0，1) 即 x=0 时，y=1 (5)过点(0，1) 即x=0时，y=1
(6)x>0时，y>1;x<0时,0<y<1 (6)x>0时，0<y<1;x<0时,y>1
6
7
四、yax与y1x图象间关系 a
3
二、作函数图象
y 2x
y
3
x
2
y 4x
y 5x
4
二、作函数图象
y
1
x
2
y
1
x
5
y 1 ห้องสมุดไป่ตู้x 4
y
4
8
9
练习4、此图是①y＝ax，②y＝bx， ③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b， c，d与1的大小关系是（ ）
A a＜b ＜1 ＜ c ＜ d ① ②
③④
B b＜a ＜1 ＜ d ＜ c
C 1＜a ＜b＜ c ＜ d
D a＜b ＜1 ＜d ＜ c
10
3.3 指数函数的图象及其性质
1
函数 y 2x 的性质：
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.x=0 时，y=1.即过点（0，1） 4.在 R 上是增函数 5.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
2
函数 y 1 x 的性质：
2
1.定义域: R
2.值域: 0,
3.x=0 时，y=1.即过点（0，1） 4.在 R 上是减函数 5.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
(1)定义域： R
(2)值域： (0, )
(3)奇偶性：非奇非偶函数 (4)单调性：在R上是减函数
质 (5)过点（0，1) 即 x=0 时，y=1 (5)过点(0，1) 即x=0时，y=1
(6)x>0时，y>1;x<0时,0<y<1 (6)x>0时，0<y<1;x<0时,y>1
6
7
四、yax与y1x图象间关系 a
3
二、作函数图象
y 2x
y
3
x
2
y 4x
y 5x
4
二、作函数图象
y
1
x
2
y
1
x
5
y 1 ห้องสมุดไป่ตู้x 4
y
4
指数函数的图象及性质
指数函数一、根式与分数指数幂1. 根式定义根式：一般地，若x n=a（a为非负实数，n为正整数），则x叫做a的n次方根，记作或。
其中，n叫做根指数，a叫做被开方数。
2. 根式性质当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数。
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，互为相反数；负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是0。
3. 根式运算化简：通过因式分解、合并同类项等方法将复杂的根式化简为最简形式。
求值：将根号下的数按照因数分解的形式写出，然后求出完全平方数的平方根，最后相乘得到最终结果。
和（差）：将根式化为最简形式后，合并同类项。
积（商）：合并同类项，分解各个项，然后化简得到最终结果。
4. 分数指数幂定义分数指数幂：一个数的指数为分数，如（a>0，m,n∈N∗且n>1），其中a的次幂等于n次根号下a的m次方，即。
二、分数指数幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数相同，指数相加2、同底数幂相除：底数相同，指数相减3、幂的乘方：指数相乘4、任何非零数的0次幂都等于15、负指数幂表示倒数三、实数指数幂的运算及其性质1、实数指数幂的基本概念实数指数幂指的是形如 a n 的数，其中 a 为实数（且 a≠0），n 为实数。
实数指数幂包括正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂以及无理数指数幂。
2、运算性质同底数幂相乘：a m•a n=a m+n同底数幂相除：a m/a n=a m−n（a≠0）幂的乘方：(a m)n=a mn分数指数幂：（a>0，m,n 为正整数，n>1）负整数指数幂：（a≠0）零指数幂：a0=1（a≠0）四、无理数指数幂有理数指数幂逼近无理数指数幂的原理，基于数学中的极限思想和连续性概念。
由于无理数无法直接表示为两个整数的比，我们需要通过一系列越来越接近该无理数的有理数来逼近它，从而计算出对应的指数幂值。
这一过程体现了数学中的逼近和极限思想，是微积分等更高层次数学的基础。
课件6：4.1.2 指数函数的性质与图像
∴ ＝在［-1，1］上单调递增，
∴
1
0< ≤≤.
由二次函数的图象知，
1
当∈[ , ]时，
函数＝（ + 1） −
2
1
2在[ , ]上为增函数，
故当＝时，max＝2 + 2 − 1，
∴ 2 + 2 − 1＝14，解得＝3或＝-5（舍去）.
②若0<<1，∵ ∈［-1，1］，
∴
2 −2−3
1
2
∴ y＝
≤
1 −4
＝16.又∵
2
2 −2−3
1
2
2 −2−3
1
的值域为（0，16］.
2
>0，
形如y＝af（x）的函数的定义域和值域的求法
（1）函数y＝af（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同；
（2）求函数y＝af（x）的值域，需先确定函数f（x）的
值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af（x）
图象；
③函数＝|()|的图象是将函数 = ()的图象在轴下
方的部分沿轴翻折到上方，轴上方的部分不变.
若直线＝2与函数＝| − 1|（>0，且≠1）
1
0,
的图象有两个公共点，则的取值范围是（ 2 ） .
（3）图象的识别问题
例5 如图所示的是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝
1
−4
（1） 2
＝
（2）
＝
；
2
1 −2−3
.
2
解：（1）由-4≠0，得≠4，
∴ =2
1
−4
的定义域为{|∈R，且≠4}.
1
∴
1
0< ≤≤.
由二次函数的图象知，
1
当∈[ , ]时，
函数＝（ + 1） −
2
1
2在[ , ]上为增函数，
故当＝时，max＝2 + 2 − 1，
∴ 2 + 2 − 1＝14，解得＝3或＝-5（舍去）.
②若0<<1，∵ ∈［-1，1］，
∴
2 −2−3
1
2
∴ y＝
≤
1 −4
＝16.又∵
2
2 −2−3
1
2
2 −2−3
1
的值域为（0，16］.
2
>0，
形如y＝af（x）的函数的定义域和值域的求法
（1）函数y＝af（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同；
（2）求函数y＝af（x）的值域，需先确定函数f（x）的
值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af（x）
图象；
③函数＝|()|的图象是将函数 = ()的图象在轴下
方的部分沿轴翻折到上方，轴上方的部分不变.
若直线＝2与函数＝| − 1|（>0，且≠1）
1
0,
的图象有两个公共点，则的取值范围是（ 2 ） .
（3）图象的识别问题
例5 如图所示的是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝
1
−4
（1） 2
＝
（2）
＝
；
2
1 −2−3
.
2
解：（1）由-4≠0，得≠4，
∴ =2
1
−4
的定义域为{|∈R，且≠4}.
1
指数函数图像和性质_课件
0.4
2.5
10 20.2
比较指数型值常常 借助于指数函数的图像 或直接利用函数的单调性 或选取适当的中介值（常用的特殊值是0和1），再利用单调性比较大小
a>1
图
6
0<a<1
6
5
5
4
4
3
3
象
1
-4 -2
2
2
1
1
1
-4
-2
0
-1
2
4
6
0
-1
2
4
6
1.定义域：R
性
2.值域：（0，+∞） 3.过点（0，1），即x=0时，y=1
x
x
-2
-1
0 1
1 2
2 4
3 8
2
1 2 x
1 8 8 1 27 1 27
1 4
4
1 2 2 1 3 3
1
1 1
3
1 3
x
1 9 9
1 2 3 1 3
1 4 9 1 9
1 8 27 1 27
y
1 y 2
x
1 y 3
x
y 3x
x>0时，0<y<1 x<0时， y>1 在R上是减函数
比较下列各题中两个值的大小： ①
1 .7
2 .5
，
1.7
3
解 ：利用函数单调性, 1.7 2.5 与 1.7 3 的底数是1.7，它们可以看成函数 y= 1.7 x 当x=2.5和3时的函数值；
5
；
因为1.7>1，所以函数y= 1.7 在R上是增函数， 而2.5<3，所以，
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质
指数函数是一种特殊函数，其定义域为实数集合R，值域也是实数集合R。
指
数函数的图像是一条弧线，朝右上方抛物线式延伸，底点在坐标原点处。
其图像如下所示：
指数函数具有以下性质：
一、指数函数是定义在实数集合上的单值函数，其图象是一条朝右上方延伸的
弧线，且在坐标原点处有底点，函数值随x增大而增大，函数图像上每一点到底点的距离都不变；
二、指数函数对任何正实数都有定义，指数函数f(x)=a^x（a为正实数）的图
谱具有单调性，当a的值不同时，指数函数的函数图象具有相似的特点；
三、指数函数具有不变性，不论x的取值范围如何，函数的函数图象仍不改变；
四、指数函数的切线斜率随着x的增大而增大；
五、指数函数的斜率在同一条线上增加或减少；
六、不论指数函数是升幂函数还是降幂函数，其图象都是从坐标原点开始，一
条朝右上方延伸的弧线。
以上就是指数函数的图像与性质，根据以上描述，指数函数的函数图像与以及
其性质可以得出：指数函数是从坐标原点开始，一条朝右上方延伸的弧线，有着单调性，不变性，切线斜率随着x的增大而增大等性质。
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列表：
x … -3
-2
-1
0
y=3x … 0.037 0.11
0.33
1
y=3-x …
27
9
3
1
1
2
3…
3
9
27 …
0.33
0.11 0.037 …
同坐标系中画出两函数图象，并观察图象的特点
y
y
1 3
x
y 3x
都过定 点（1,0）
1
0
1
关于y轴对称
x
y
y
1 3
x
y
1 2
x
都过定点 （1,0）
1
y 3x
y 2x
关于y轴对称
0
1
x
y
yy
y
1 2
x
y
1 3
x
y
y 3x y 2x
y=ax (a>1)
1
0
x
11
00
11
y=ax (0<a<1)
1
0 xx
x
图象共同特征：（1）图象可向左、右两方无限伸展 （2）图象都在x轴上方 （3）都经过坐标为（0，1）的点
y y ax
(a 1)
1.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( B )
A.y (4)x
B.y x
C.y 2 4x D.y ax2 (a 0且a 1)
2.若函数y=（a2-3a+3）ax是指数函数，则（ D）
A．a＞1且a≠1
B．a=1
C．a=1或a=2
D．a=2
【解析】若函数y=（a2-3a+3）ax是指数函数，
则a2-3a+3=1， 解得a=2或a=1， 又因为指数函数的底数a＞0且a≠1，
定义是考 查的重点
故a=2.
3.函数y=ax-3+2（a＞0且a≠1）的图象一定经过点
P，则P点的坐标为（ B ）
A.（-2，-3）
B.（3，3）
C.（3，2）
D.（-3，-2）
【解析】因为y=ax-3+2（a＞0且a≠1），
y a x (0 a 1)
y
1
0
x
图象自左至右逐渐上升
1
0
x
图象自左至右逐渐下降
探究点3 由函数图象可以得出函数的哪些性质呢？
0<a<1
y a x (0 a 1)yaຫໍສະໝຸດ 1y y ax (a 1)
图象
1
0
x
1
x
0
定义 域
R
值域
（0，+∞）
（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1 性质
在实数范围内函数值无意义.
(n1 ∈N*)
2n
若a=1,y=1x=1是一个常量，因此对它就没有研
究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1.
例1 下列函数中是指数函数的函数序号是 （2） .
（1）y x2；（2）y 3x；（3）y 4x；
(4) y 3x ; (5) y x2x1.
（2）在R上是减函数 （2）在R上是增函数
a决定 单调
性
例3.比较下列各题中两个值的大小
11.72.5 ,1.73; 2 0.80.1, 0.80.2; 31.70.3 , 0.93.1.
根据指数 函数的性
质
解：(1)根据函数y=1.7x的性质，1.72.5<1.73.
(2)根据函数y=0.8x的性质，0.8-0.1<0.8-0.2.
(3)根据函数y=1.7x的性质，1.70.3>1.70=1，
根据函数y=0.9x的性质，0.93.1<0.90=1，
所以1.70.3>0.93.1
不同底的要找中间值
【变式练习】
用“＞”或“＜”填空：
（
1
3
）5 ＜
（
1
）0
4
4
7
5.06 4
＜
5.060
（
4
5
）6
＞（
4
）0
3
3
0.19
2 3
＞
0.190
CD
H四点,由函数解析式易知E(1,
c),
F(1,d),G(1, a),H(1,b),
O1
x
由图象可直观看出
c结>论d>：1当>aa>>1b时,图象越靠近ｙ轴，底数越大; 当0<a<1时,图象越靠近ｙ轴，底数越小.
2.指数函数的图象和性质
底数
0 a 1
图象
a 1
定义域 值域
性质
R
(0, )
（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1 （2）在R上是减函数 （2）在R上是增函数
2
么，指数函数是怎样定义的呢？
指数函数的概念：
一般地，函数_y_=_a_x（a＞０，且a≠１）叫做指数函 数，其中x是自变量，函数的定义域是_R_.
思考：在指数函数y=ax中，为什么要规定a>0,且
a≠1呢？
提示：若a=0，当当xx＞＜00时时，，aa
x恒等于0， x无意义
若a＜0，比如y=(-4)x，这时对于x=
次，剩余长度y与x的关系是
y
（1）x(x 2
N)
.
这个式子是 怎么得出来 的呢？
截取
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x(x N*) 2
木棒 剩余
1尺 1尺 1尺 1 尺
2
4
8
16
(1)x尺 2
实例1和实例2涉及的函数有什么共同特点呢？
接下来我们一起来探究这个问题.
探究点1 形如y=2x， y （1）x 的函数是指数函数.那
探究点2 研究函数都会研究函数图象，如何画出
指数函数的图象呢？
描点法是作
用 描点法 作出下列两组函数的图象， 函数图象的
然后写出其一些性质：
通用方法哦
(1)y 2x
y
y 2x
1
0
1
x
y （1 ）x 2
y
y
1 2
x
y
1 2
x
1
0
1
x
(2) y 3x 与 y (1)x 的图象. 3
y 1ax
幂系数为1
自变量仅有 这一种形式
底数为正数且 不为1的常数
关键条件 例2 已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且a≠1) 的图象
经过点(3,π)，求f(0) 的值.
解析：指数函数的图象经过点(3,π)，有f(3)=π，
1
即 a3=π， 解得 a 3
x
于是 f x 3
所以 f (0) 0 1
所以当x-3=0，即x=3时，y=3，
所以函数y=ax-3+2（a＞0且a≠1）的图象过定点
P（3，3）.
4.如图,指数函数:A. y=ax B.y=bx C.y=cx D. y=dx
的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是ｂ__＜__ａ_＜__１__＜__ｄ_＜__ｃ__.
如图，作直线x=1，与这4个 A B y 函数图象分别交于E、F、G、
指数函数的图象及性质
实例1 某种细胞分裂时，由１个分裂成２个，２个 分裂成４个，…
......
一个细胞分裂ｘ次，得到的细胞的个数ｙ与ｘ 的函数关系式是： y 2x(x N ) .
实例2 《庄子·逍遥游》记载：一尺之椎，日取其
半，万世不竭.意思是一尺长的木棒，一天截取一
半，很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x
x … -3
-2
-1
0
y=3x … 0.037 0.11
0.33
1
y=3-x …
27
9
3
1
1
2
3…
3
9
27 …
0.33
0.11 0.037 …
同坐标系中画出两函数图象，并观察图象的特点
y
y
1 3
x
y 3x
都过定 点（1,0）
1
0
1
关于y轴对称
x
y
y
1 3
x
y
1 2
x
都过定点 （1,0）
1
y 3x
y 2x
关于y轴对称
0
1
x
y
yy
y
1 2
x
y
1 3
x
y
y 3x y 2x
y=ax (a>1)
1
0
x
11
00
11
y=ax (0<a<1)
1
0 xx
x
图象共同特征：（1）图象可向左、右两方无限伸展 （2）图象都在x轴上方 （3）都经过坐标为（0，1）的点
y y ax
(a 1)
1.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( B )
A.y (4)x
B.y x
C.y 2 4x D.y ax2 (a 0且a 1)
2.若函数y=（a2-3a+3）ax是指数函数，则（ D）
A．a＞1且a≠1
B．a=1
C．a=1或a=2
D．a=2
【解析】若函数y=（a2-3a+3）ax是指数函数，
则a2-3a+3=1， 解得a=2或a=1， 又因为指数函数的底数a＞0且a≠1，
定义是考 查的重点
故a=2.
3.函数y=ax-3+2（a＞0且a≠1）的图象一定经过点
P，则P点的坐标为（ B ）
A.（-2，-3）
B.（3，3）
C.（3，2）
D.（-3，-2）
【解析】因为y=ax-3+2（a＞0且a≠1），
y a x (0 a 1)
y
1
0
x
图象自左至右逐渐上升
1
0
x
图象自左至右逐渐下降
探究点3 由函数图象可以得出函数的哪些性质呢？
0<a<1
y a x (0 a 1)yaຫໍສະໝຸດ 1y y ax (a 1)
图象
1
0
x
1
x
0
定义 域
R
值域
（0，+∞）
（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1 性质
在实数范围内函数值无意义.
(n1 ∈N*)
2n
若a=1,y=1x=1是一个常量，因此对它就没有研
究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1.
例1 下列函数中是指数函数的函数序号是 （2） .
（1）y x2；（2）y 3x；（3）y 4x；
(4) y 3x ; (5) y x2x1.
（2）在R上是减函数 （2）在R上是增函数
a决定 单调
性
例3.比较下列各题中两个值的大小
11.72.5 ,1.73; 2 0.80.1, 0.80.2; 31.70.3 , 0.93.1.
根据指数 函数的性
质
解：(1)根据函数y=1.7x的性质，1.72.5<1.73.
(2)根据函数y=0.8x的性质，0.8-0.1<0.8-0.2.
(3)根据函数y=1.7x的性质，1.70.3>1.70=1，
根据函数y=0.9x的性质，0.93.1<0.90=1，
所以1.70.3>0.93.1
不同底的要找中间值
【变式练习】
用“＞”或“＜”填空：
（
1
3
）5 ＜
（
1
）0
4
4
7
5.06 4
＜
5.060
（
4
5
）6
＞（
4
）0
3
3
0.19
2 3
＞
0.190
CD
H四点,由函数解析式易知E(1,
c),
F(1,d),G(1, a),H(1,b),
O1
x
由图象可直观看出
c结>论d>：1当>aa>>1b时,图象越靠近ｙ轴，底数越大; 当0<a<1时,图象越靠近ｙ轴，底数越小.
2.指数函数的图象和性质
底数
0 a 1
图象
a 1
定义域 值域
性质
R
(0, )
（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1 （2）在R上是减函数 （2）在R上是增函数
2
么，指数函数是怎样定义的呢？
指数函数的概念：
一般地，函数_y_=_a_x（a＞０，且a≠１）叫做指数函 数，其中x是自变量，函数的定义域是_R_.
思考：在指数函数y=ax中，为什么要规定a>0,且
a≠1呢？
提示：若a=0，当当xx＞＜00时时，，aa
x恒等于0， x无意义
若a＜0，比如y=(-4)x，这时对于x=
次，剩余长度y与x的关系是
y
（1）x(x 2
N)
.
这个式子是 怎么得出来 的呢？
截取
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x(x N*) 2
木棒 剩余
1尺 1尺 1尺 1 尺
2
4
8
16
(1)x尺 2
实例1和实例2涉及的函数有什么共同特点呢？
接下来我们一起来探究这个问题.
探究点1 形如y=2x， y （1）x 的函数是指数函数.那
探究点2 研究函数都会研究函数图象，如何画出
指数函数的图象呢？
描点法是作
用 描点法 作出下列两组函数的图象， 函数图象的
然后写出其一些性质：
通用方法哦
(1)y 2x
y
y 2x
1
0
1
x
y （1 ）x 2
y
y
1 2
x
y
1 2
x
1
0
1
x
(2) y 3x 与 y (1)x 的图象. 3
y 1ax
幂系数为1
自变量仅有 这一种形式
底数为正数且 不为1的常数
关键条件 例2 已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且a≠1) 的图象
经过点(3,π)，求f(0) 的值.
解析：指数函数的图象经过点(3,π)，有f(3)=π，
1
即 a3=π， 解得 a 3
x
于是 f x 3
所以 f (0) 0 1
所以当x-3=0，即x=3时，y=3，
所以函数y=ax-3+2（a＞0且a≠1）的图象过定点
P（3，3）.
4.如图,指数函数:A. y=ax B.y=bx C.y=cx D. y=dx
的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是ｂ__＜__ａ_＜__１__＜__ｄ_＜__ｃ__.
如图，作直线x=1，与这4个 A B y 函数图象分别交于E、F、G、
指数函数的图象及性质
实例1 某种细胞分裂时，由１个分裂成２个，２个 分裂成４个，…
......
一个细胞分裂ｘ次，得到的细胞的个数ｙ与ｘ 的函数关系式是： y 2x(x N ) .
实例2 《庄子·逍遥游》记载：一尺之椎，日取其
半，万世不竭.意思是一尺长的木棒，一天截取一
半，很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x