三角形的四心&欧拉线的证明

三角形的四心

三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。等边三角形的四心重合。

一、三角形的重心

三角形的重心是三角形三条中线的交点。

三角形的三条中线必交于一点

已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。

三角形的三条中线必交于一点

求证：AE=CE

证明：延长OE到点G，使OG=OB

∵OG=OB,∴点O是BG的中点又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线∴AD∥CG

∵点O是BG的中点，点F是AB的中点∴OF是△BGA的一条中位线∴CF∥AG

∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形∴AC、OG互相平分,∴AE=CE

三角形的重心的性质

1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：

(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3

5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

二、三角形的外心

三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

三角形的三条垂直平分线必交于一点

三角形的三条垂直平分线必交于一点

已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O

求证：O点在BC的垂直平分线上

证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO

∵EO垂直平分AC，∴AO=CO

∴BO=CO

即O点在BC的垂直平分线上

三角形的外心的性质

1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.

2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合

4.OA=OB=OC=R

5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 5.S△ABC=abc/4R

三、三角形的内心

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

三角形的三条角平分线必交于一点

己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC

求证：OC平分∠ACB

证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F ∵AO平分∠BAC,∴OD=OE；∵BO平分∠ABC,∴OD=OF ；∴OE=OF

∴O在∠ACB角平分线上∴CO平分∠ACB

三角形的内心的性质

1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心

2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

3.r=2S/(a+b+c)

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

5．∠BOC = 90 °+∠A/2 ，∠BOA = 90 °+∠C/2 ，∠AOC = 90 °+∠B/2 6．S△ABC=abc/4R

四、三角形的垂心

三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

三角形的三条高必交于一点

已知：△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F

三角形的三条高必交于一点

求证：CF⊥AB

证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁，

∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圆周角相等）

∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC =90°

∴△AEO∽△ADC ∴AE/AD=AO/AC 即AE/AO=AD/AC

∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE+∠BAC=90° ∴∠ACF+∠BAC=90° ∴CF⊥AB

三角形的垂心的性质

1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外

2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心

3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上

4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF

5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC

8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半

径之和的2倍。

11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）

从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上

五、欧拉线

非等边三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。其中，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

欧拉线的证法1

作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’

∵ BD是直径

∴ ∠BAD、∠BCD是直角

∴ AD⊥AB，DC⊥BC

∵ CH⊥AB，AH⊥BC

∴ DA‖CH，DC‖AH