同济 流体力学 第三章 流体运动学基础

u= dx = x +t dt dy v = = y + t dt
(a)
求解一阶常微分方程（ 求解一阶常微分方程（a）可得
x = et c1 + ∫ te−t dt = et c1 − (t +1)e−t = c1et −t −1 y = et c2 + ∫ te−t dt = et c2 − (t +1)e−t = c2et − t −1
流体质点的其它物理量：
p = p(a, b, c, t )
ρ = ρ (a, b, c, t )
T = T (a, b, c, t )
§1
描述流体运动方法
2）欧拉法 ）
欧拉法着眼于研究空间固定点的流动情况，即研究流体质点经过某一空间点的 速度、压强、密度等变化的规律， 将许多空间点在不同时刻的流体质点的运动情况 记录下来，就可以知道整个流体的运动规律。显然，欧拉法不研究个别流体质点的 运动规律，对于流体质点从哪里来，又流到何处去，并不加以研究。因此，欧拉法 不能直接给定流体质点的运动轨迹，但很容易测出不同时刻经过该点的质点速度， 所以，欧拉法用速度矢量描述空间点上流体运动的变化。
∂ v ∂ v ∂ v ∇= i + j+ k ∂x ∂y ∂z
§1
描述流体运动方法
Dη ∂η ∂η ∂η ∂η = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
Dη 有两部分组成 两部分组成。 两部分组成 Dt
讨论： 讨论：
1、物理量的质点导数
∂η 2、 项为当地导数、局部导数 时变导数 当地导数、 时变导数。它代表质点在没有空间变位时，物 、 当地导数 局部导数或时变导数 ∂t
ρ = ρ (t )
∇ρ = 0
∂ρ =0 ∂t
随时间变化的均匀密度场 定常均匀密度场，密度不随空间坐标变 化，也不是时间的函数，密度为常数
§1
描述方法
描述流体运动方法
随体法 当地法 拉格朗日法 欧拉法 质点轨迹： 质点轨迹：
r = r(a,b,c,t)
参数分布： 参数分布：B = B（x, y, z, t） （ ）
第八周交第三章作业
目
绪论 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
录
流体及其主要物理性质 对流体运动进行分类； 2、对流体运动进行分类； 流体静力学 流体微团的运动和变形。 3、流体微团的运动和变形。 流体运动学基础 不涉及运动变化的原 流体动力学基础 即力的作用， 因，即力的作用，只研究 其运动过程 相似原理和量纲分析 理想流体不可压缩流体的定常流动 粘性流体流动 定常一元可压缩气流 计算流体力学
d 2 x ∂ 2 x(a, b, c, t ) ax = 2 = = a x (a, b, c, t ) dt ∂t 2
流体质点的加速度： 流体质点的加速度：
dx ∂x(a, b, c, t ) u= = = u (a, b, c, t ) dt ∂t dy ∂y (a, b, c, t ) = v= = v(a, b, c, t ) dt ∂t
p = p ( x, y , z , t )
u = u ( x, y , z , t )
v = v ( x, y , z , t )
ρ = ρ ( x, y , z , t )
w = w( x, y, z , t )
T = T ( x, y , z , t )
x, y, z, t
为欧拉变数
§1
描述流体运动方法
w= dz ∂z (a, b, c, t ) = = w(a, b, c, t ) dt ∂t
d 2 y ∂ 2 y (a, b, c, t ) ay = 2 = = a y (a, b, c, t ) 2 dt ∂t
d 2 z ∂ 2 z (a, b, c, t ) = a z (a, b, c, t ) az = 2 = 2 dt ∂t
随体法 描述方法 当地法 欧拉法 拉格朗日法 质点轨迹： 质点轨迹：r = r(a,b,c,t) 参数分布： 参数分布：B = B（x, y, z, t） （ ）
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描述流体运动方法
来确定质点
1）拉格朗日法 ）
拉格朗日法是利用质点在任意时刻 t 的坐标位置 x、y、z 合所有流体质点的运动后便可得到整个流体的运动规律。 拉格朗日法选取初始时刻 t ，以每一个质点的初始坐标
3）两种描述流动的方法之比较 两种描述流动的方法之比较
拉格朗日法 分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂 不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体微元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的 欧拉法 同时描述所有质点的瞬时参数 表达式简单 直接反映参数的空间分布 适合描述流体微元的运动变形特性 流体力学最常用的解析方法
欧拉法描述速度、密度、温度等物理量时， 欧拉法描述速度、密度、温度等物理量时，这些物理量 都是空间和时间的函数，和空间区域有关， 都是空间和时间的函数，和空间区域有关，可以用场论的 知识进行分析，所以， 知识进行分析，所以，可以将这些物理量在空间的分布用 场的概念进行描述，就形成速度场、密度场、温度场等。 场的概念进行描述，就形成速度场、密度场、温度场等。 在解决工程实际问题时，通常只要知道速度场、压力场 在解决工程实际问题时，通常只要知道速度场、 等物理量的场就可以圆满解决这些问题，所以， 等物理量的场就可以圆满解决这些问题，所以，欧拉法在 流体力学研究中得到广泛的应用。 流体力学研究中得到广泛的应用。
v v r = r (a, b, c, t)
拉格朗日法:
欧拉法 位移
r v a ≠ ∂ v ( x , y, z, t) ∂t
v v ∂ r ( a , b, c, t) 速度 v = ∂t r v a = ∂ v ( a , b, c, t) ∂ t 加速度
空间点上速度随时间的变化率
§1
描述流体运动方法
温度变化： 温度变化：
DT ∂T ∂T ∂T ∂T = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
§1
描述流体运动方法
不可压缩流体的数学表示： D ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
Dρ =0 Dt
不可压缩流体 均匀密度场
∇ρ = 0 ∇ρ = 0
Dρ =0 Dt
0
的运动轨迹流。要研究整个流体流动就必须着眼于每一个流体质点的研究，综
a、b、c
作为标记，用 ( a 、 b 、 c) 的不同值区分不同的质点。
§1
描述流体运动方法
v v r = r (a, b, c, t)
流体质点的坐标可以表示为时间 t 及初始位置 a、b、c 的函数，即： 用位置矢量描述: 用直角坐标描述:
同济大学 Tongji University
汽车学院
流体力学
第三章 流体运动学基础
上海地面交通工具风洞中心 Shanghai Automotive Wind Tunnel Center
第三章
第三章 作业
流体运动学
3-1，3-2，3-3，3-6； ， ， ， ； 3-7，3-8，3-13，3-16； ， ， ， ；
§1
描述流体运动方法
3）物理量的质点导数（物质导数） 物理量的质点导数（物质导数）
运动中的流体质点所具有的物理量 η （例如速度、压强、密度、温度、质量、 动量、动能等）对时间的变化率为物理量的质点导数（随体导数或物质导数）。
dη ∆η = lim dt ∆t →0 ∆t
按照该公式，拉格朗日法和欧拉法描述的结果是不同的。P45
x = x(a, b, c, t )
y = y(a, b, c, t )
z = z (a, b, c, t )
a、b、c
t
叫拉格朗日变数
§1
描述流体运动方法
y = y(a, b, c, t )
流体质点的坐标： 流体质点的坐标：
x = x(a, b, c, t )
流体质点的速度： 流体质点的速度：
z = z (a, b, c, t )
v v v v v DV ∂V a= = + (V • ∇ )V Dt ∂t
ax =
Du ∂u ∂u ∂u ∂u = +u + v + w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z Dv ∂v ∂v ∂v ∂v ay = = +u +v + w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
az = Dw ∂w ∂w ∂w ∂w = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
P45
欧拉法中的描述方法：
流体质点 M 在瞬时 t 从某一空间点 A(x, y, z ) 以瞬时速 v v v v 度 v (x ) = u (t )i + v(t ) j + w(t )k 携带某个物理量 η = η ( x, y, z, t ) 在流场中流动， 时间， 在流场中流动，经过 ∆t 时间，质点到达 B(x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z ) 点，由于流场的非定常性和非均匀性，质点 M 所具有 由于流场的非定常性和非均匀性， 的物理量 η 在运动中不仅经历了 ∆t 时间的变化， v v v 而且也经历了空间 ∆s = ∆xi + ∆yj + ∆zk 的变化。
具有质量、密度、温度、压强、还具有速度、加速度、动量、 具有质量、密度、温度、压强、还具有速度、加速度、动量、动能等等
流体质点的形状可以任意划定。 d) 流体质点的形状可以任意划定。
对这些量的描述就着眼于质点和质点通过的空间点
两种描述流体运动的观点和方法
§1 描述流体运动方法
描述流体流动的方法有两种： 描述流体流动的方法有两种： 1）拉格朗日法 ） 2）欧拉法 ）
[跟踪]
[跟踪追击]
[布哨]
[守株待兔]
[例1] 由速度分布求质点轨迹 已知: 已知: 求： 解：
u = x +t 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 v = y + t
0时刻位于点 a,b）的流体质点的运动轨迹。 时刻位于点（ 在t = 0时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。 对某时刻t位于坐标点上(x,y)的质点 对某时刻t位于坐标点上(x,y)的质点 (x,y)
§1
描述流体运动方法
压强变化： 压强变化：
4、各物理量的随体导数
v v v v v ∂V ∂V ∂V v DV ∂V 加速度： a = = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
Dp ∂ p ∂p ∂p ∂p = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
密度变化： 密度变化：
D ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
理量
η
在某一空间点上对时间的变化率，反映流场的非定常性 非定常性。 非定常性
∂η ∂η ∂η u +v + w 3、 ∂x ∂y 项为位变导数、对流导数 迁移导数 位变导数、 迁移导数。它代表质点经过 、 位变导数 对流导数或迁移导数 ∂z 非均匀性。 非均匀性 dt 时间处于不同位置时，物理量 η 对时间的变化率，反映流场的非均匀性
§1
描述流体运动方法
∆s 这种空间的变化量即与质点的位移有关，也与 ∆t 时间有关，故流体质点 M
所具有的物理量 η 是 的质点导数： η
t 的复合函数，必须按多元复合函数求导法求物理量
dη ∂η ∂η dx ∂η dy ∂η dz = + + + dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt
§1
描述流体运动方法
Dη ∂η ∂η dx ∂η dy ∂η dz = + + + Dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt
dx =u dt
dy =v dt
dz =w dt
Dη ∂η ∂η ∂µ ∂η = +u +v +w Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
Dη ∂η v = + ( v ⋅∇ )η Dt ∂t
1、流体运动的数学描述方法 和几何描述方法； 和几何描述方法；
第三章
流体运动学
§1 描述流体运动方法 §2 流场的几何描述 §3 流动的分类 §4 流体微团的运动分析
§1 描述流体运动方法
在第一章中已定义了连续介质模型： 组成流体的最小物理实体是流体质点而不是流体分子，即：流 体是由无穷多个、无穷小的、紧密毗邻、连绵不断的流体质点所组 成的一种绝无间隙的连续介质。 流体质点的四个特点： 流体质点的宏观尺寸非常小。 a) 流体质点的宏观尺寸非常小。 流体质点的微观尺寸足够大。 b) 流体质点的微观尺寸足够大。 流体质点是包含有足够多分子在内的一个物理实体， c) 流体质点是包含有足够多分子在内的一个物理实体，具有一定的 宏观物理量。 宏观物理量。如：