用拉氏变换求解线性微分方程

两边做拉氏变换 微分定理及线性性质 解出V（s）进行反变换
V
(t)
L1 V (s)
L1
1 s(ms
f
)
计算机控制技术课程讲义
3
拉氏变换表： f (t) 1 eat F(s) a s(s a)
f
V (t)
L1
1 s(ms
f
)
L1
1 f
m s(s
f
)
m
V(t)
V (t)
F
V
m dV fV F F dt
m
系统输入：力
阻尼器 Fz
给定系统的输入和初始条件： F（t） = 1（t）、V（0） = 0
则有：
m dV fV 1(t) dt
求 : V（t）
计算机控制技术课程讲义
2
m dV fV 1(t) dt
msV (s) fV (s) 1 s
V (s) 1 s(ms f )
计算机控制技术课程讲义
5
线性系统微分方程的通式：
设定：y(t)、Y（s）为系统输出及其拉普拉氏变 换 x(t)、X（s）为系统输入及其拉普 拉氏变换
a0 yn (t) aa1、ynb1为(t实) 常数... an1y'(t) an y(t)
b0xm (t) b1xm1(t) ... bm1x'(t) bmx(t)
2.3.6 用拉氏变换求解线性微分方程
步骤： 1、给定系统的输入和必要初始条件。（输出的 响应函数必然在某种输入激励条件下产生） 2、对微分方程两边进行拉氏变换，变微分运算 为代数运算。 3、在S域中解出系统输出的拉氏变换表达式，应 用拉氏反变换求得其时域解。
计算机控制技术课程讲义
1
例：前例3力学系统，系统输出：速度 V
传递函数G(s) 1 T：积分时间常数 Ts
4、微分环节： Ty'(t) y(t) Tx'(t)
微分方程
G(s) Ts
传递函数
Ts 1
T：微分时间常数
计算机控制技术课程讲义
9
5、振荡环节：
微分方程（略）n
：振荡角频
率
：阻尼比
G(s)
传递函数
s2
n2 2ns
n2
6、延迟环节： y(t) x(t )
微分方程
G(s) es
传递函
数
计算机控制技术课程讲义
：
10
2.4.3 方框图
2.4.3.1 方框图的组成
1、信号线：用矢量标明信号流向，用时域函数或 拉氏变换标明信号。
v(t)
V(s)
2、分支点：表示信号分两路传输，这两路信号均 与原信号相同，无能量分配。
V(s)
V(s)
V(s)
计算机控制技术课程讲义
11
3、相加点：表示两路信号相加减，运算符在信号 线端点边标出，通常可省略 + 号。
V1(s)
V1(s) V2(s)
V2(s)
4、环节：用方框表示信号处理环节，在方框中标 出该环节的传递函数。
G(s)
计算机控制技术课程讲义
12
2.4.3.2 方框图的建立
步骤：物理过程分析 ===> 微分方程 ===> 传递函数 ===> 方框图
计算机控制技术课程讲义
6
导出线性系统传递函数的通式为：
G(s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 ... bm1s a1sn1 ... am1s
bm am
传递函数的特点： 反映系统内部运动特征、与输入输出取值无关 与系统内部结构、研究对象选择有关 由于系统惯性普遍存在，总有 n >= m 传递函数的拉氏反变换即为系统的单位脉冲响应
计算机控制技术课程讲义
7
2.4.2 典型系统的传递函数
1、比例环节：
微分方程y(t) Kx(t)
传递函数G(s) K
K：常数
2、惯性环节： Ty'(t) y(t) x(t)
微分方程
G(s) 1
传递函数
Ts 1
T：惯性时间常数
计算机控制技术课程讲义
8
3、积分环节：
微分方程Ty'(t) x(t)
1
(1 e
ft
m)
1/f
f
0
t
计算机控制技术课程讲义
4
2.4 传递函数和方框图
2.4.1 传递函数定义
线性系统的传递函数是在零初始条件下，系统输 出的拉普拉氏变换与系统输入的拉普拉氏变换 之比。记为：G（s）
G(s) Y(s) X (s)
其中：Y（s）系统输出的拉普拉氏变换 X（s）系统输入的拉普拉氏变换
例子：水位系统中的水槽
给水
Q in
阀门
H
水槽
计算机控制技术课程讲义
用水
Q out
13
水位系统中水槽的方框图： 系统输出：H 系统输入：Q in 并假定用水流量与水位成正比： Q out = aH
Q in (s)
H (s) 1/ks
a Q out (s)
计算机控制技来自百度文库课程讲义
14
感谢下 载
感谢下 载