小升初奥数专题训练

第一讲数的整除问题

数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进一步深入学习数论至关重要.

本讲需要教授的内容有：

1、掌握并熟练运用能被

2、

3、

4、

5、

6、9、11等整除的自然数性质，这类知识在（Ⅰ、Ⅱ类）题中运用很多.

2、训练学生对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（111、1001等）的分解情况对于解决（Ⅲ类）有很大的帮助.

3、自然数乘法末位数规律.

4、基础好的学生还应该掌握分式的化简方法.

1．整除——约数和倍数

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b = c，即整数a除以整数b（b≠0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b︱a。否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或因数）。

2．数的整除性质

性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

3．数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是

11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减

小）能被7（11或13）整除。

4.部分特殊数的分解

111=3×37； 1001=7×11×13； 11111=41×271； 10001=73×137；

1995=3×5×7×19； 1998=2×3×3×3×37； 2007=3×3×223； 2008=2×2×2×251；

2007+2008=4015=5×11×73; 10101=3×7×13×37.

【例1】（全国希望杯数学邀请赛）若四位数9a8a能被15整除，则a代表的数字是．

【例2】把三位数3ab接连重复地写下去，共写1993个3ab，所得的数33 (3)

(19933)

ab ab ab

ab

个

恰是91的倍数，求ab=

【例3】如果有一个九位数A1999311B 能被72整除，试求A、B两数的差(大减小)．

【例4】(2003年祖冲之杯小学数学邀请赛)三个连续自然数的和能被13整除,且三个数中最大的数被9除余4,那么符合条件的最小的三个数是_____,________,_______

【例5】要使15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分别是多少

【例6】求能被26整除的六位数___________ 1991

x y。

【例7】(2005年全国小学数学奥林匹克竞赛)如果20052005 (200501)

n个2005能被11整除,那么n最小值是_____.

【例8】(1998年香港圣公会小学数学奥林匹克竞赛)一个六位数,前四位是2857,即2857

,这个六位数能被11

和13整除,请你算出后两位数.

【例9】(2001年全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)在算式+91=☺中,已知盖住的是一个能被9整除的两位数,☺盖住的是7的倍数,问☺盖住的数是多少

【例10】（香港圣公会小学数学奥林匹克）这个199位整数：19910010010011001位被13除，余数是多少

分数裂项求和方法总结

（一） 用裂项法求1(1)

n n +型分数求和 分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1)

n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：

111(1)1n n n n =-++ 【例1】 求

111 (101111125960)

+++⨯⨯⨯的和。 111111()()......()101111125960

111060

112

=-+-++-=-=

（二） 用裂项法求1()

n n k +型分数求和 分析：1()

n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()()

n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++

【例2】 计算11111577991111131315++++⨯⨯⨯⨯⨯

111111*********()()()()()25727929112111321315

=

-+-+-+-+- 11111111111[()()()()()]2577991111131315=-+-+-+-+- 111[]2515115

=-= （三） 用裂项法求()

k n n k +型分数求和 分析：

()

k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()

k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k

-+ 【例3】 求2222 (1335579799)

++++⨯⨯⨯⨯的和 1111111(1)()()......()335579799

1199

9899

=-+-+-++-=-=