高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)

圆锥曲线第1讲 椭圆

【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：

平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（

2

12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两

个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。

注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离

2

1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：

（ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。

注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为

a

MF MF 221=+（c a 22>，

c

F F 221=），即

2

121F F MF MF >+.

注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件：

a

MF MF 221=+千万不可忘记。

2. 椭圆的第二定义：

平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<

二、椭圆的标准方程

（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122

2

2=+b y a x （0>>b a ）； （2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122

22=+b x a y （0>>b a ）.

注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。

（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设

其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122

22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦

点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为

12

2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）.

三、椭圆的性质

以标准方程122

22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。

（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-；

（2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称；

（3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2；

（5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2

2

2

c b a +=；

（6）准线方程：c a x 2

±

=； （7）焦准距：c b 2

；

（8）离心率：

a c

e =

且10<

（9）焦半径：若),(00y x P 为椭圆122

22=+b y a x 在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，

有

1ex a PF +=，

2ex a PF -=；

（10）通径长：a b 22

.

注1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点)0,(2c F 和右

准线l ：c a x 2=为例，可求得其焦准距为

c b c c a c c a 2222=-=-. 注2：椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最

短的弦。设椭圆的方程为122

22=+b y a x （0>>b a ），过其焦点)0,(2c F 且垂直于x 轴的直线交该双曲线于A 、B 两点（不妨令点A 在x 轴的上方），则),(2a b c A ，)

,(2

a b c B -，于是该椭圆的通径长为

a b a b a b AB 2

222

)(=--=.

四、关于椭圆的标准方程，需要注意的几个问题

（1）关于椭圆的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值”（指a 、b 、c 的值或它们之间的关系，由这个关系结合2

2

2

b a

c -=，我们可以确定出a 、b 、c 的值）时，我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程；其二，当题目已给出椭圆的标准方程时，我们便能准确地判断出曲线的位置特征，并能得到a 、b 、

c 的值。

（2）椭圆的标准方程中的参数a 、b 、c 是椭圆所固有的，与坐标系的建立无关；a 、b 、

c 三者之间的关系：222b a c -=必须牢固掌握。

（3）求椭圆的标准方程，实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数a 、b 。根据题目已知条件，我们列出以a 、b 为未知参数的两个方程，联立后便可确定出a 、b 的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明椭圆的焦点在x 轴或y 轴上，则以a 、b 为未知参数的方程组只有一个解，即a 、b 只有一个值；若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上，则以a 、b 为未

知参数的方程组应有两个解，即a 、b 应有两个值。

（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为

122=+ny mx ，但此时m 、n 必须满足条件：0>m ，0>n ，且n m ≠.

五、点与椭圆的位置关系

点),(00y x P 与椭圆122

22=+b y a x （0>>b a ）的位置关系有以下三种情形：

（ⅰ）若122

220=+b y a x ，则点),(00y x P 在椭圆上； （ⅱ）若122

022

0>+b y a x ，则点),(00y x P 在椭圆外； （ⅲ）若122

022

0<+b y a x ，则点),(00y x P 在椭圆内；

【例题选讲】

题型1：椭圆定义的应用

1. 平面内存在一动点M 到两个定点1F 、2F 的距离之和为常数a 2（2

12F F a ≥），则点M

的轨迹是（）

A. 圆

B. 椭圆

C. 线段

D. 椭圆或线段 解：由题意知，2

1212F F a MF MF ≥=+

（ⅰ）当212F F a >时，点M 的轨迹是椭圆； （ⅱ）当

2

12F F a =时，点M 的轨迹是线段21F F .

故点M 的轨迹是椭圆或线段

2. 已知圆C ：

36)1(22=+-y x ，点)0,1(-A ，M 是圆C 上任意一点，线段AM 的中垂线l 和直线CM 相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为__________.