中考复习因式分解PPT课件
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北师大中考数学总复习《整式及因式分解》课件
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
(1)同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相同； 第二，相同字母的指数相同．两者缺一不可。 (2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程 (组)是解此类题的一般方法。
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►
探究二
整式的运算
命题角度： 1．整式的加、减、乘、除运算； 2．乘法公式．
例2 [2013·泸州] 下列各式计算正确的是( D ) A．(a7)2＝a9 B．a7· a2＝a14 C．2a2＋3a3＝5a5 D．(ab)3＝a3b3
解 析 A．利用幂的乘方运算法则计算得到结果；B.利用 同底数幂的乘法法则计算得到结果；C.原式不能合并；D.利 用积的乘方运算法则计算得到结果．
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加，即(m＋ n)(a＋b)＝ma ＋mb＋na＋nb
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考点聚焦
归类探究
整式 的除 法 乘法 公式
把系数与同底数幂分别相除，作为商 单项式除以单 的因式，对于只在被除式里含有的字 项式 母，则连同它的指数作为商的一个因 式 多项式除以单 先把这个多项式的每一项分别除以这 项式 个单项式，然后把所得的商相加 a2－b2 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝________
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例3
[2013·娄底] 先化简，再求值：
3 3
3 (x＋y)(x－y)－(4x y－8xy )÷ 2xy，其中 x＝－1，y＝ . 3
解
原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2. 3 当 x＝－1，y＝ 时， 3 3 2 2 2 2 －x ＋3y ＝－(－1) ＋3× 3 ＝－1＋1＝0.
(1)同类项必须符合两个条件：第一，所含字母相同； 第二，相同字母的指数相同．两者缺一不可。 (2)根据同类项概念——相同字母的指数相同列方程 (组)是解此类题的一般方法。
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►
探究二
整式的运算
命题角度： 1．整式的加、减、乘、除运算； 2．乘法公式．
例2 [2013·泸州] 下列各式计算正确的是( D ) A．(a7)2＝a9 B．a7· a2＝a14 C．2a2＋3a3＝5a5 D．(ab)3＝a3b3
解 析 A．利用幂的乘方运算法则计算得到结果；B.利用 同底数幂的乘法法则计算得到结果；C.原式不能合并；D.利 用积的乘方运算法则计算得到结果．
先用一个多项式的每一项乘另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加，即(m＋ n)(a＋b)＝ma ＋mb＋na＋nb
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整式 的除 法 乘法 公式
把系数与同底数幂分别相除，作为商 单项式除以单 的因式，对于只在被除式里含有的字 项式 母，则连同它的指数作为商的一个因 式 多项式除以单 先把这个多项式的每一项分别除以这 项式 个单项式，然后把所得的商相加 a2－b2 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝________
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例3
[2013·娄底] 先化简，再求值：
3 3
3 (x＋y)(x－y)－(4x y－8xy )÷ 2xy，其中 x＝－1，y＝ . 3
解
原式＝x2－y2－2x2＋4y2＝－x2＋3y2. 3 当 x＝－1，y＝ 时， 3 3 2 2 2 2 －x ＋3y ＝－(－1) ＋3× 3 ＝－1＋1＝0.
中考复习课件因式分解
课前热身
1.(2004年· 南京)分解因式：3x2-3= 3(x+1)(x-1) 2.(2004· 河北)分解因式： X2+2xy+y2-4= (x+y+2)(x+y-2) .
.
3.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B ) A.x2-y B.x2+2x C.x2+y2 D.x2-xy+y2 4.(2004年· 济南)分解因式：a2-4a+4= (a-2)2 .
2.不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原. 如:(a2+b2)２-4a2b2 =(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab) =(a+b)2(a-b)2 =［(a+b)(a-b)］2 =(a2-b2)2 =a4-2a2b2+b4 实际该题到第2个等于号就分解到底了，不能再向下 计算了!
3.注意解题的技巧的应用，不能死算. 如：分解因式(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9 =［(x+1)(x+7)］［(x+3)(x+4)］-9 =(x2+8x+7)(x2+8x+15)-9 =［(x2+8x)+7］［(x2+8x)+15］-9 =(x2+8x)2+22(x2+8x)+105-9 =(x2+8x)2+22(x2+8x)+96 =(x2+8x +6)(x2+8x +16) =(x2+8x+6)(x+4)2
【例4】 求证：对于自然数n，2n+4-2n能被30整除. 解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1. ∵n为自然数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
中考数学复习《分解因式》教学课件
【预测5】 图(1)是边长为(a＋b)的正方形，将图(1)中的阴 影部分拼成图(2)的形状，由此能验证的式子是 ( )
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
B．(a＋b)2－(a2＋b2)＝2ab
C．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
D．(a－b)2＋2ab＝a2＋b2 解析 图 1 中大正方形的面积为(a＋b)2，图 1 的中间空白部 分的正方形的边长为 a2＋b2，所以它的面积为 a2＋b2，所 以图 1 中阴影部分的面积可表示为：(a＋b)2－(a2＋b2)；图 2 是对角线长分别为 2a 和 2b 的菱形，面积为12×2a×2b＝2ab. 答案 B
【预测4】 已知实数a，b满足a＋b＝3，ab＝1.求代数式 a2b＋ab2的值． 解 a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝1×3＝3.
对接点四：拼图与因式分解
常考角度：通过图形的变化验证代数式的变化，培养数形
结合的思想．
甲图中阴影部分面积 【例题 4】 (2013·杭州)如图，设 k＝乙图中阴影部分面积(a＞
【即时应用1】 把a2－4a多项式分解因式，结果正确的是
()
A．a(a－4)
B．(a＋2)(a－2)
C．a(a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
答案 A
因式分解的基本方法 1．提公因式法：ma＋mb＋mc＝_m_(_a_＋__b_＋__c_)； 2．运用公式法
(1)平方差公式：a2－b2＝_(_a_＋__b_)(_a_－__b_)； (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝_(a_±__b_)_2．
解析 A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6右边不是整式积的形式， 故不是分解因式，故本选项错误； B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)是整式积的形式，且左右两 边相等，故是分解因式，故本选项正确； C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6是整式的乘法，故不是分解 因式，故本选项错误； D．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，故本选项错误． 答案 B
专题03 因式分解(课件)2023年中考数学一轮复习(全国通用)
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
知识点梳理
1. 一般方法： （1）提公因式法： 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式 与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 用字母表示：ma＋mb＋mc＝ m(a＋b＋c) ． 公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂． ①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. ②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. ③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
典型例题
知识点1 ：因式分解的概念
【例2】（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左
到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
知识点1 ：因式分解的概念
典型例题
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
几种方法的综合运用
【例14】（2分）（2021•北京10/28）分解因式：5x2﹣5y2＝
．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】提公因式后再利用平方差公式即可． 【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y）， 故答案为：5（x+y）（x﹣y）． 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是 正确应用的前提．
【答案】C．
典型例题
知识点2 ：因式分解的方法与步骤
利用十字相乘法分解因式
【例10】（2022•内江）分解因式：a4－3a2－4＝
．
2020年四川省成都地区中考数学第一部分系统复习第二讲因式分解(共37张PPT)
四位数等均可以用此记法，如a__ b__ c__ ＝100a＋10b＋c.
【基础训练】
(1)解方程填空：
______ ______
2
①若2x＋x3＝45，则 x＝____；
4 ————
————
②若 7 y － y 8 ＝26，则 y＝____；
7 ③若—t9—3—＋5——t8—＝13t1，则 t＝____；
课堂精讲
因式分解的应用 例 7 如图 1，有足够多的边长为 a 的小正方形(A 类)、长为 a，宽为 b 的长方形(B 类)以及边长为 b 的大正方形(C 类)，发现利用图 1 中的三种 材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图 2 可以解释为： (a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2.
课堂精讲
(1)取图1中的若干个(三种图形都要取到)拼 成一个长方形，使其面积为(2a＋b)(a＋2b)，在 如图4虚线框中画出图形，并根据图形回答(2a＋ b)(a＋2b)＝____________________； (2)若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼 成一个长方形，使其面积为a2＋5ab＋6b2. ①你画的图中需C类材料________张； ② 可 将 多 项 式 a2 ＋ 5ab ＋ 6b2 分 解 因 式 为 ____________________；
【分析】首先把 a2－b2－b 化成(a＋b)(a－b)－b，然后把 a－b＝12代入，求出算 式的值是多少即可．
【答案】14
课堂精讲
例5 四边形的四边顺次为a，b，c，d，且满 足a2＋b2＋c2＋d2＝2(ab＋cd)，则这个四边形一 定是( )
A．对角线互相垂直的四边形 B．两组对角分别相等的四边形 C．平行四边形 D．对角线长相等的四边形 【分析】首先把a2＋b2＋c2＋d2＝2(ab＋cd)变形
2024年中考数学总复习课件第一部分第一章：2 整式与因式分解(共27张PPT)
4 851
[北师大七上P99习题3.8 T1改编] 下图是一组有规律的图案，它由若干大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片， .依此规律，第
个图案中有_________（用含的代数式表示）个白色圆片．
1.多项式各项的公因式是( )
续表
考点二 列代数式与代数式求值
1.用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 2.代数式求值 （1）直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式，并按原来的运算顺序计算可求值. （2）整体代入法：先对比已知定值关系式与所求代数式，找出两个式子间共同的部分作为切入点，再对已知关系式与所求代数式进行变形（一般会用到提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法），最后将已知定值关系式或变形后的式子整体代入计算可求值.
体验2 [2023·白山一模] 为了调研大众的低碳环保意识，小刚在某超市收银台出口统计后发现：一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的2倍少4人．如果使用超市塑料袋的有人，那么使用自带环保袋的有__________（用含的代数式表示）人．
考点三 幂的运算性质
幂的运算（，，为正整数） 同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即______. 同底数幂相除：底数______，指数______，即______. 幂的乘方：底数不变，指数______，即_____. 积的乘方：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂______，即______.体验3 [2023·锦州] 下列运算中正确的是( )
（1） 已知实数，，满足,，则的值为___．（2） 分解因式：___________________.
6
类型三 规律探索
[北师大七上P99习题3.8 T1改编] 下图是一组有规律的图案，它由若干大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片， .依此规律，第
个图案中有_________（用含的代数式表示）个白色圆片．
1.多项式各项的公因式是( )
续表
考点二 列代数式与代数式求值
1.用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 2.代数式求值 （1）直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式，并按原来的运算顺序计算可求值. （2）整体代入法：先对比已知定值关系式与所求代数式，找出两个式子间共同的部分作为切入点，再对已知关系式与所求代数式进行变形（一般会用到提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法），最后将已知定值关系式或变形后的式子整体代入计算可求值.
体验2 [2023·白山一模] 为了调研大众的低碳环保意识，小刚在某超市收银台出口统计后发现：一小时内使用自带环保袋的人数比使用超市塑料袋人数的2倍少4人．如果使用超市塑料袋的有人，那么使用自带环保袋的有__________（用含的代数式表示）人．
考点三 幂的运算性质
幂的运算（，，为正整数） 同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即______. 同底数幂相除：底数______，指数______，即______. 幂的乘方：底数不变，指数______，即_____. 积的乘方：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂______，即______.体验3 [2023·锦州] 下列运算中正确的是( )
（1） 已知实数，，满足,，则的值为___．（2） 分解因式：___________________.
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类型三 规律探索
2024年中考数学复习专题课件★★代数式、整式与因式分解
2．已知 a＋b＝5，ab＝3，则 a2＋b2＝1199 ，(a－b)2＝1133 . 3．已知 x2＋y2＝10，xy＝3，则 x＋y＝±±44；
x－y＝±±22. 4．若 x2＋4x－4＝0，则 3(x－2)2－6(x＋1)(x－1)＝6 . 5．当 x＝－6，y＝16时，x2 y 022 2 023 的值为6161 .
2024年中考数学复习专题课件★★ 代数式、整式与因式分解
重难点1：整式的运算
1．计算：
(1)a·a2＝a 33； (2)(a2)4＝a 88； (3)x6÷x2＝x 44； (4)(m2n)3＝mm66n3n3； (5)(－2m2)3＝－88mm6 6； (6)－2ab＋ab＝－ aabb； (7)8a＋2b＋(－5a＋b)＝33aa＋＋33bb； (8)(ab－3b)－3(a2－b)＝aabb－－33aa22； (9)(x＋y－1)(x－y＋1)＝xx22－yy22＋＋2y2－y－1 1.
解：a(1＋a)－(a－1)2 ＝a＋a2－(a2－2a＋1) ＝a＋a2－a2＋2a－1 ＝3a－1.
命题点3：因式分解(近6年考查24次) 6．(2023·贵州第13题4分)因式分解： x2－4＝((xx＋＋22))(x－(x－2)2)． 7．(2022·贵阳第13题4分)因式分解： a2＋2a＝aa((aa＋＋2)2)． 8．(2022·黔东南州第12题3分)因式分解：2 022x2－4 044x＋2 022＝ 22 022((xx－－11))22.
重难点 2：因式分解
6．下列因式分解中正确的是 A．a2＋b2＝(a＋b)2 B．a2＋2ab＋b2＝(a－b)2 C．a2－a＝a(a＋1) D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
（D ）
中考数学复习《1.2整式与因式分解》课件
2023 ． 8．若 a ＋a－5＝0，则 2a ＋2a＋2013 的值为________
9．先化简，再求值：[(x－y) ＋(x＋y)(x－y)]÷x，其中 x＝ 1 －1
1 解：原式＝2x－2y，当 x＝－1，y＝ 时，原式＝－3 2
积 把一个多项式化为几个整式的________ 的形式 定义 叫做因式分解 提公因 m(a＋b＋c) ma＋mb＋mc＝________ 式法 方法 a＋b)(a－b) a2－b2＝(________ 公式法 (a± b )2 a2±2ab＋b2＝________ (1)一提：如果多项式各项有公因式，应先提取 公因式； (2)二套： 尝试使用公式法来分解因式； 步骤 (3)三查：要检查多项式因式是否能继续分解， 要分解到每个多项式不能再分解为止
6．下列式子中是完全平方式的是( D ) 2 2 2 A．a ＋ab＋b B．a ＋2a＋2 2 2 2 C．a －2b＋b D．a ＋2a＋1
7．下列计算结果正确的是( C ) 2 3 3 4 A．－2x y ·2xy＝－2x y 2 2 2 B．3x y－5xy ＝－2x y 4 2 3 C．28x y ÷7x y＝4xy 2 D．(－3a－2)(3a－2)＝9a －4
2
2
(1)三角形的周长为 4x ＋3 (2)19
2
mn a a ·a ＝________ ；(a ) ＝________； a n n 幂的 m m－n n n a b a a ÷a ＝________( a≠0)；(ab) ＝________. 运算
m
n
m＋n
m n
整式 的乘 法
相同字母 相乘，对 把________ 、________ 系数 单项式乘 于只在一个单项式里含有的字 以单项式 母， 则连同它的指数作为积的一 个因数 多项式乘 am＋bm＋cm (a＋b＋c)m＝____________ 以单项式 多项式乘 am＋an＋bm＋bn (a＋b)(m＋n)＝____________ 以多项式
中考复习第2课时整式及因式分解课件
am
＋n
(m，n 都是正整数)
amn (m，n 都是正整数)
anbn (n 是正整数)
am
－n
积的乘方 同底数幂 的除法
am÷an＝
(a≠0，m，n 都是
正整数，且 m＞n)
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第2课时┃ 整式及因式分解
考点2
乘法公式
B．x2＋8x＋16 D．x2＋4x＋16
(a＋b)2＝ a2＋2ab＋b2，
2 2 a － 2 ab ＋ b (a－b) ＝
2
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第2课时┃ 整式及因式分解
考点 3
整式的运算
1．计算－2x2＋3x2 的结果为( D ) A．－5x2 B．5x2 C．－x2 D．x2
2．计算 3x3÷x2 的结果是( C ) A．2x2 B．3x2 C．3x D．3
x2－1 .
1．下列二次三项式是完全平方式的是( B ) A．x2－8x－16 C．x2－4x－16
2．计算：(x＋1)(x－1)＝
3．若 x2＋y2＝3，xy＝1，则 x－y＝
± 1
.
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第2课时┃整式及因式分解
【归纳总结】 平方差公式 完全平方公式 (a＋b)(a－b)＝
a2－b2
3．下列各式中， 计算结果是 x2＋7x－18 的是( D ) A．(x－1)(x＋18) C．(x－3)(x＋6) B．(x＋2)(x＋9) D．(x－2)(x＋9)
考点聚焦
豫考探究
当堂检测
第2课时┃整式及因式分解
【归纳总结】 同类项 整式的 合并同 加减 类项 添(去) 括号 所含 字母 也相同 将同类项的系数相加减，字母及指数不变 对于“＋”号而言，添(去)括号都不改变符号； 对于“－”号而言，添(去)括号都要 符号
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=(x-1)2-(2y)2 =(x-1+2y)(x-1-2y)
.
10
（5）.求根公式法 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
因式分解：4x2+8x－1
解：令4x2+8x－1=0，
解得，x1= 2
2
5
，x2=
2
2
5
，
∴4x2+8x－1=4（x－ 2
2
）5 （x－ 2
2
5）
=（2x+2－ 5 ）（2x+2+ 5 ）
把下列各式分解因式： １
(1) 4x2-16y2
(2)81a4-b4
２
⑶ -x3y3-2x2y2-xy (4)(2x+y)2-2(2x+y)+1
(5) x2y2+xy-12
(6) a2b2acbc
(7)2x2-5x+2
(8) (x+1)(x+5）+4
.
13
模块三：综合应用
（1）若9x2+mxy+16y2是完全平方式，那么m的值
分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去
1、分组后可以提公因式
2、分组后可以运用公式
练习：把下列各式分解因式 a3a2a1
① 3x+x2-y2-3y
② x2-2x-4y2+1
解：原式=(x2-y2)+(3x-3y) 解：原式=x2-2x+1-4y2
=(x+y)(x-y)+3(x-y) =(x-y)(x+y+3)
。
方法 3.十字相乘法
。
4.分组分解法
思想方法：
5.求根公式法
转化思想，分类讨论思想
.
15
过程：一提、二套
要注意检查结果中 的每个因式是否还 能继续分解。
.
8
⑶十字相乘法
公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
1
a
1
b
练习：把下列各式分解因式
① X2-5x+6
② a2-a-2
1
-2
1
-3
1
1
1
-2
解：原式=（x-2)(x-3) 解：原式=(a+1)(a-2)
.
9
⑷分组分解法：
.
6
（2）运用公式法：
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ] ② a2 ±2ab＋ b2 ＝（a±b）2 [ 完全平方公式 ]
练习：把下列各式分解因式
①x2－4y2
② 9x2-6x+1
③16-8（x-y）+(x-y)2
.
7
将下列各式分解因式
（ 1） 2x2 8
（2）2a2－4a＋2 （3）3m(2x－y)2－3mn2
练习：因式分解x2-4x-1
.
11
因式分解的基本步骤
一提 • ① 对任意多项式分解因式，都必须首先考
虑提取公因式。
二套 ② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。
对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相 乘法、求根公式法分解。
三分 ③再考虑分组分解法
四查 ④检查：特别看看多项式因式是否
分解彻底
.
12
.
3
模块一：
即：一个多项式 →几个整式的积
例1：判断下列各式从左到右哪些是因式分解? 为什么？ (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) x2+4x+4=(x+2)2 (4) (a-3)(a+3)=a2-9
.
4
模块二： 分解因式的方法：
1.提公因式法 2.运用公式法 3.十字相乘法 4.分组分解法 5.求根公式法 二次三项式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
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5
（1）、提公因式法： 公因式的确定：
系数取所有系数的最大公约数，
ma + mb + mc = m（a+b+c）
字母取相同的字母，
指数取最低指数。
练习：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2
②p（y-x）-q（x-y）
解：原式=3x2y2(2x-3y+1) 解：原式=p(y-x)+q(y-x) =(y-x)(p+q)
《 因式分解》 复习课
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1
复习目标：
了解因式分解的定义， 理解因式分解与整式乘法的关系。 掌握因式分解的五种基本方法并能灵活应用。 能利用因式分解解决综合性题目。
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2
自主复习
复习八年级上册第二章的因式分解部分，完成 下面的知识结构图。
定义：
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1.
法： 怎样提取公因式？
因
。
式
2.运用公式法
分
。
解 方法
是
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（2）计算： 12 1 2 13 1 2 19 1 2 11120
（3）若a，b，c是三角形三边的长，则代数式
a2+b2－c2－2ab的值（ ）
A．大于零
B．小于零
C．大于或等于零 D．小于或等于零
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归纳总结
知识总结：
定义：
。
因
式 分
1.
法： 怎样提取公因式？
解
2.运用公式法