方差分析包括三因素

（4）由样本观察值计算出F （5）若F > F (m 1, m(n 1)) ，则拒绝H0。 （说明因素A各水平间有显著性差异）
（6）若F F (m 1, m(n 1)) ，则接受H0。（说明因素A各水平间无显著性差异）
三、计算的简化
1、 对Q、QE、QA计算简化。（给出一个简化的计算公式和数据简化的方法）
6
一般形式：
结果
水平
A1 A2
。 。
A3
序号
1
2 …… …
X11 X12 … … … X21 X22 … … …
Xm1 Xm2 … … …
n
X1n X2n
Xmn
假定：数据满足正态性、独立性、方差齐性。 （进行方差分析的条件） 要检验因素A对指标是否显著影响，就是检验假设： H0： 1=2=…=m 接受H0：即认为来自同一总体，差异由随机因素所造成。 若拒绝H0：表明它们之间差异显著，差异有因素水平的改变所引起。
用公式概括为：
各因素引起
由个体差异 引起（误差）
总变异=组间变异+组内变异
种类：常用方差分析法有以下4种 1、完全随机设计资料的方差分析（单因素方差分析） 2、随机区组设计资料的方差分析（二因素方差分析） 3、拉丁方设计资料的方差分析（三因素方差分析） 4、R*C析因设计资料的方差分析（有交互因素方差分析）
做法：为了检验假设H0，要从总的误差中将系统误差和随机误差分开。
7
二、离差平方和的分解与显著检验
记：
X i
1 n
n
X ij
j 1
X
1 mn
m i 1
n
X ij
j 1
将Q进行分解：
mn
Q ( Xij X )2 i1 j1
m n
Q
( X ij X i ) ( X i X ) 2
17)
-22
-2 5 1 -11
5 6 Ti
1 -20 -80 14 7 14
6
X
'2 i
j 1
1454 396
A3
20 31 19 12 35 27 144 3820
由表中数据可算出
36
X '2 ij
离差平方和 QA QE Q
自由度 m-1 m(n-1) mn-1
F值
QA
F
(m 1) QE
[m(n 1) ]
F0.05 F0.01
显著性
12
例：前例题 1、对数据的简化 得下表：
X
' ij
10( X ij
17)
冲击强力 浓度
A1 A2
序号
12 3 4
-8
X
-19
Βιβλιοθήκη Baidu' ij
1-01(2X ij
m i 1
n j 1
X
2 ij
T2 mn
11
同样可推出：
QE
m i 1
n j 1
X
2 ij
1 n
m
Ti 2
i 1
QA
1 n
m
Ti 2
i 1
T2 mn
2、数据的简化： 试验数据经过变换
X
' ij
b( Xij
a)
数据简化后对F值的计算没有影响，不会影响检验的结果 四、方差分析表
方差来源 因素A 试验误差 总误差
日常生活中经常发现，影 响一个事物的因素很多， 希望找到影响最显著的因 素
如某种农作物的收获量受作物品种、 肥料种类及数量等的影响；选择不同 的品种、肥料种类及数量进行试验，
1
看哪一个影响大？并需要知道 起显著作用的因素在什么时候 起最好的影响作用。
方差分析就是解决这 些问题的 一种有效方法。
2
第一节 概述
QE
2
2 (m(n 1))
QA
2
2 (m 1)
相互独立
9
方法：（检验方法）
（1）当H0：1=2=…=m 成立时。
（2）统计量： QA
2
F (m 1) F (m 1, m(n 1)) QE
2
m(n 1)
QA
即：
F
(m 1) QE
F (m 1, m(n 1))
[m(n 1)]
10
（3）给定显著性水平 ，查表得临界值 F (m 1, m(n 1))
i1
j 1
i1
8
故：
mn
mn
Q
( X ij X i )2
(Xi X )2
i 1 j 1
i 1 j 1
mn
m
( X ij X i )2 n ( X i X )2
i1 j 1
i 1
下面通过比较QE和QA来检验假设H0。 在假设H0成立的条件下，可以证明：
Q
2
2 (mn 1)
i 1 j 1
mn
mn
mn
( X ij X i )2
(Xi X )2 2
( X ij X i )( X i X )
i1 j1
i1 j1
i1 j1
mn
由于
( X ij X i )( X i X )
i 1 j 1
m
n
m
( X i X ) ( X ij X i ) ( X i X )(nX i nX i ) 0
A2
16.8 17.5 17.1 15.9 18.4 17.7
A3
19.0 20.1 18.9 18.2 20.5 19.7
方差分析就是把总的 试验数据的波动分成
1、反映因素水平改变引起的波动。 然后加以比较进行统
2、反映随机因素所引起的波动。
计判断，得出结论。
4
方差分析的基本思想：把全部数据关于总均值的离差平方和 分解成几部分，每一部分表示某因素诸水平交互作用所产生 的效应，将各部分均方与误差均方相比较，从而确认或否认 某些因素或交互作用的重要性。
令：
n
Ti X ij
j 1
mn
m
T X ij Ti
i1 j 1
i 1
mn
mn
Q
( X ij X )2
(
X
2 ij
2 X ij X
X
2)
i1 j 1
i1 j 1
m i 1
n
X
2 ij
mnX
2
j 1
m i 1
n j 1
X
2 ij
1 mn
(
m i 1
n
X ij )2
j 1
因素（因子）—— 可以控制的试验条件 因素的水平 —— 因素所处的状态或等级 单（双）因素方差分析——讨论一个（两个） 因素对试验结果有没有显著影响。
3
例如：某厂对某种晴棉漂白工艺中酸液浓度（g/k）进 行试验，以观察酸液浓度对汗布冲击强力有无显著影 响。
冲击强力 序号
1
浓度
2 3 4 56
A1
16.2 15.1 15.8 14.8 17.1 15.0
5
第二节 单因素方差分析
一、假设检验 设：A1、A2、A3、为三个总体X1、X2、X3，每个总体有6个样
本Xi1、Xi2、…、Xi6 ( i=1,2,3 )。 注：要判断酸液浓度的3种水平对汗布的冲击强力是否有显著影响，实 质上就是检验3种不同水平所对应的3个总体是否有显著差异的问题。即 检验3个总体数学期望是否相等。 以后就是求解问题，为了说明一般解的公式（方法），如下作一般分析。