高中数学必修4第一章1.1.2--弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算ppt课件
3
3).象限角的表示:
1).第一象限角 0 90
S
| k 360
k 360
90 ,
kZ
2).第二象限角 90 180
S | k 360 90 k 360 180 , k Z 角3).第三象限角 180 270
S
| k 360
180
k 360
r
360 2 rad 180 rad
1 rad 0.01745
180
n
n0 __1_80__ rad
11
巩固练习
今后用弧度制表示角时，“弧度”二字 或“rad”通常略去不写，而只写该角所 对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的角.
课本P11 A 2
12
角度制与弧度制互换:
(2)将弧度化为角度：
S 1l•r 1 •r2
2
2
其中l是扇形弧长，r是圆的半径 19
典例解析
例2:在半径为R的圆中，240º的圆心角
所对的弧长为
，面积为2R2的
扇形的圆心角等于
弧度。
解:(1)240º= 4 ，根据l=αR，得 l 4 R
3
3
(2)根据S= 1 lR= 1αR2，且S=2R2
22
4
20
1
(1)理解弧度制的概念; (2)熟练进行角度制与弧度制的换算; (3)能应用弧长公式与扇形面积公式解 决有关问题.
2
复习回顾
1、角的分类:
正角--- 逆时针方向旋转所成角
角 零角--- 不作任何旋转所成角
负角--- 顺时针方向旋转所成角
2、角的表示:
注意：⑴k∈ Z ⑵α任意
1)终边相同的角的集合
5 2 3
最新高中数学人教B版必修四1.1.2《弧度制和弧度制与角度制的换算》课件ppt.ppt
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
• [答案] C
D．214π
[解析] －74π＝－2π＋π4，故选 C．
• 4．将－1 500°化为弧度是________．
[答案] －253π [解析] －1 500°＝－1 500×1π80＝－253π.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
(2)∵β1＝35π＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为 108° ＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与 β2 有相同终例讲练
•弧度制的概念问题
去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先 要认识一种新的角度单位——弧度．
1．弧度制的概念 我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，用符号 rad 表示，读作弧度． 用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
(人教B)高二数学必修4课件：1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 02
记疑点
03 探要点
究所然
当堂测 04
查疑缺
明目标、知重点
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正 确地转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一 一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
明目标、知重点
跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4， ∴l＝4－2R，根据扇形面积公式 S＝12lR， 得 1＝12(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.
明目标、知重点
探究点三 利用弧度制表示终边相同的角 思考1 在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度.利用弧度制表示出终边落在 坐标轴上的角的集合.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.度量角的单位制
(1)角度制
用 度 作单位来度量角的制度叫做角度制，规定1度的
角等于周角的
1 360
.
明目标、知重点
(2)弧度制 ①弧度制的定义 长度等于 半径长 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用 符号 rad 表示，读作弧度.以 弧度 为单位来度量角的制度叫 做弧度制. ②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一个 负数 ； 零角的弧度数是 零 .
明目标、知重点
跟踪训练3 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式， 其中0≤α<2π； 解 ∵－1 480°＝－749π＝－10π＋169π， 又 0<196π<2π，∴－1 480°＝196π＋2×(－5)π.
原创1：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
新课引入
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度等于周角的1/360。 这种用度作为单位来度量角的单位叫做角度制，为了使用方便，数学 上还采用另一种度量角的单位——弧度制
思考：什么是弧度制呢？
新课引入
r
A
B
1rad r
O
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
2
6730' rad 67 1 3 rad
180
28
（2） 把 —3 π 弧度化成度。 5
解： (1)把112º30′化成弧度（用π表示）。
(2)把 8 化为角度。
5
课堂练习
与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数 是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º，
第一章 三角函数 §1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1．了解弧度制的有关概念 2. 记住角度制与弧度制的互化 3. 牢记圆心角、弧长与弧度数之间的关系 4. 学会弧度制的相关应用
新课引入
角度长度是可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千 克、磅等不同的单位制. 不同的单位制能给解决问题带来方便，那么，角的度量是否能用不同 的单制呢？ 不同单位制之间可以进行换算，那么，角的单位制之间是怎样进行互 化的呢？下面我们一起来看看.
绝对值如何计算？
α=l r
特别注意，α的正负是由角α的终边的旋转方向决定的
探究点2
弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以 “度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度 是圆周 1 所对的圆心角的大小；
高中数学 1-1-2弧度制和弧度制与角度制的换算课件 新人教B版必修4
(2010·新余市高一下学期期末测试)在单位圆中，面积
为1的扇形所对圆心角的弧度数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 设扇形的弧长为l，由题意，
得 S＝12lR＝12l×1＝1，∴l＝2，
∴扇形所对圆心角的弧度数为Rl ＝21＝2.
[例4] 已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多 大时，它有最大面积？
[分析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，则扇形面积可 表示为 S＝12lr，l 与 r 之间还要满足周长为 20，即 l＋2r＝ 20，所以 l＝20－2r，这样 S 就能表示成关于 r 的二次函数， 再利用二次函数的性质求最值即可．
[解析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，由已知条件可 知：l＋2r＝20，即 l＝20－2r.由 0<l<2πr，得 0<20－2r<2πr， ∴π1＋01<r<10.
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式 为：β＝2kπ＋α(k∈Z)．这些角所组成的集合为{β|β＝2kπ＋ α，k∈Z}．
用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合． [解析] 第一象限角的集合：
S1＝α2kπ<α<π2＋2kπ，k∈Z
；
第二象限角的集合：
S2＝απ2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z
rad≈0.01745rad，
1rad＝ (18π0)°≈57.3°＝57°18′.
3．在弧度制下，弧长公式为 l＝θr，扇形面积公式为
S＝
1 2lr .
重点：弧度的概念，角度与弧度的换算，弧长公式． 难点：弧度概念的理解及角度与弧度的换算和弧度制 下弧长与扇形面积公式． 1．关于弧度的理解，主要明确以下几点： (1)和角度制对比，弧度制是以“弧度”为单位来度量 角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位 制． (2)根据圆心角定义，对于任何一个圆心角α，所对弧 长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数．因此，弧 长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变 化，而是一个大小确定的角，可以取为度量角的标准．
高中数学人教B版必修四1.1.2《弧度制和弧度制与角度制的换算》word赛课教案
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标
1．知识目标：
①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
2. 能力目标：
①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.
②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
③通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力.
3．情感目标：使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解. 二、教学重点、难点
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.
难点：弧度的概念及其与角度的关系.
三、教学方法
自学—讨论—讲授—练习
先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.。
高中数学_1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计学情分析教材分析课后反思
弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计一、内容分析：1、教材的地位与作用《弧度制和弧度制与角度制的换算》是普通高中课程标准实验教科书人教B 版必修四第一章第一单元第二节的内容。
本节课起着承上启下的作用——学生在初中已经学习过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课的知识还为后继学习任意角的三角函数等知识做铺垫。
通过本节课的学习，我们很容易找出与角对应的实数并且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。
同时通过本节课学习学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是相互联系、辩证统一的。
2、教学重点和难点教学重点：角度与弧度的换算，弧长公式、扇形面积公式的应用教学难点：弧度制的概念的理解二、目标分析根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：理解弧度制的概念，会进行弧度与角度之间的互化。
2.过程与方法：通过控制变量法以及类比法建立对弧度制概念的理解。
3.情感态度与价值观：通过弧度制的学习，体会不同表象下相同事物的本质。
三、教法分析根据上述教材分析和目标分析，贯彻诱思探究教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为：1、计算机辅助教学借助多媒体教学手段引导学生直观感受当半径不同时，扇形弧长以及弧长和半径的比值，并引导学生进行讨论；利用多媒体向学生展示不同的例题以及课堂练习，使学生能够直观观察。
2、讨论式教学在引入新课时，通过观察表格让学生分组讨论、交流、总结，说出当半径不同时，扇形弧长以及弧长和半径的比值，并给予一定的指导。
在计算特殊角的弧度数时，让学生分组进行，保证每一位学生能够练习到，也保证课堂的进度。
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
[答案]
π 3
[解析] 设扇形的弧长为 l，则 l＝αR＝23π，
∴该扇形的面积 S＝21lR＝12×23π×1＝π3.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
弧度制下终边相同的角的表示方法
将下列各角化成 2kπ＋α(0<α<2π，k∈Z) 的形式，并指出角的终边所在的象限． (1)274π；(2)396π. [解析] (1)∵274π＝6π＋34π， ∴274π与34π终边相同． 又∵34π是第二象限角，∴274π是第二象限角．
• [分析] 正确理解角度制和弧度制的概念， 对每一命题认真分析并作出判断.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
[解析] 根据角度制和弧度制的定义可以知道， A、B 是正确的；1rad 的角是(1π80)°≈57.30°， 即 C 也是正确的；无论是用角度制还是用 弧度制度量角，角的大小都与圆的半径无关， 故 D 错误． • [答案] D
求这个扇形的半径 R 和圆心角 α 的弧度数. [解析] 设扇形的半径为 R(R>2)，
2R＋l＝10
解弧得长为lR＝＝l，43由.题意得12Rl＝6
，
∴圆心角 α＝Rl ＝43(rad)．
故这个扇形的半1径.1.2为弧度制3和，弧度圆制与角心度制角的换算α 的弧度数为43rad.
(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考) 已知扇形所在圆的半径为 1，圆心角的弧度数为23π，
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
• 将－1 485°表示成α＋2kπ，k∈Z的形式， 且0≤α<2π.
[解析] ∵－1 485°＝－5×360°＋315°， ∴315°＝315×1π80＝74π， ∴－1 485°＝74π－10π.
人教B版数学必修四讲义：第1章 1.1 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 Word版含答案
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1．角度制与弧度制的定义(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．2．角的弧度数的计算在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为α rad ，则α＝lr . 3．角度与弧度的互化4．一些特殊角与弧度数的对应关系思考1：某同学表示与30°角终边相同的角的集合时写成S ＝{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }，这种表示正确吗？为什么？[提示] 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z或{α|α＝k ·360°＋30°，k ∈Z }． 5．扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则思考2：在弧度制下的扇形面积公式S ＝12lr 可类比哪种图形的面积公式加以记忆？[提示] 此公式可类比三角形的面积公式来记忆．1．1 080°等于( ) A ．1 080 B ．π10 C ．3π10D ．6πD [1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π.] 2．与角23π终边相同的角是( ) A ．113πB ．2k π－23π(k ∈Z ) C ．2k π－103π(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )C[选项A中11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A项错；2kπ－23π，k∈Z，当k＝1时，得[0,2π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B项错；2kπ－103π，k∈Z，当k＝2时，得[0,2π)之间的角为23π，与23π有相同的终边，故C项对；(2k＋1)π＋23π，k∈Z，当k＝0时，得[0,2π)之间的角为53π，故D项错．]3．圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________．6π[扇形的面积为12×62×π3＝6π.]A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC．1 rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[思路探究]由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．D[根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C 项均为真命题．]弧度制与角度制的区别与联系1．下列各说法中，错误的说法是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 [答案] D【例2】 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角35π，－73π； (2)终边相同的角的表示．解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k ·360°(k ∈Z )的形式．[解] (1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2k π＋α0(k ∈Z,0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．α1＝－570°＝－196π＝－4π＋56π， α2＝750°＝256π＝4π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限． (2)β1＝3π5＝108°，设θ＝β1＋k ·360°(k ∈Z )， 由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k ·360°<0°， ∴k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.角度制与弧度制的转换中的注意点(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键.由它可以得：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数. (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.(3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2k π＋30°，k ∈Z 是不正确的写法.(4)判断角α终边所在的象限时，若α[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2k π＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.2．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[解] 因为30°＝π6 rad,210°＝7π6 rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z.1.用公式|α|＝lr 求圆心角时，应注意什么问题？[提示] 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．【例3】 (1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1 radB ．2 radC ．3 radD ．4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路探究] (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解．(1)B [设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得⎩⎨⎧2r ＋l ＝8，12l ·r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝lr ＝2 rad.](2)解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)． ∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2. 此时α＝l r ＝20－2×55＝2 rad.∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.(变条件)弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr ；(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式； (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.(教师用书独具)1．释疑弧长公式及扇形的面积公式(1)公式中共四个量分别为α，l ，r ，S ，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用： ①l ＝α·r ，α＝l r ，r ＝l α；②S ＝12αr 2，α＝2Sr 2. 2．角度制与弧度制的比较1．把56°15′化为弧度是( ) A.5π8 B.5π4 C.5π6D.5π16D[56°15′＝56.25°＝2254×π180＝5π16.]2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为()A.403π B.203πC.2003π D.4003πA[240°＝240×π180rad＝43π rad，∴弧长l＝α·r＝43π×10＝403π，选A.]3．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．－10π＋74π[由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.]4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．[解]设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则2r＋l＝4. ①由扇形的面积公式S＝12lr，得12lr＝1. ②由①②得r＝1，l＝2，∴α＝lr＝2 rad.∴扇形的圆心角为2 rad.。
人教版高中必修4(B版)1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计
人教版高中必修4(B版)1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计一、教学目标1.知道角度、弧度的概念和联系，掌握它们之间的换算方法；2.能够根据题目要求选用适当的换算方法；3.加强学生对角度、弧度的理解，培养建立与弧度制有关的三角函数的意识。
二、教学重难点1.教学重点：弧度制和角度制的概念及它们之间的换算方法；2.教学难点：三角函数与弧度制的联系。
三、教学思路1. 学生已经掌握的知识和技能学生已经通过初中的数学学习了基本的角度概念以及相关的计算方法，为了更好地教授高中数学中的相关知识，教师应该让学生复习和回顾初中阶段与角度相关的内容。
2. 教学安排和教学过程2.1 引入教师可以让学生举一些实际生活中与角度相关的例子，比如说，做偏差角的机翼、运动员完成规定道路的转弯等。
从而让学生感受到角度这个概念的实际应用价值。
2.2 角度制与弧度制的概念通过引入，让学生明白角度的概念一种量度方式。
接着，教师带领学生了解弧度制，之后让学生进行弧度制与角度制之间的换算。
2.3 弧度制和角度制的换算方法在明白弧度制和角度制的概念之后，学生已经能够知道弧度和角度之间的关系，接下来教师应该发放一些练习题让学生进行实践操作，通过多次进行代入计算，让学生掌握角度与弧度之间的换算方法。
2.4 弧度制与三角函数关系在学生掌握了角度制与弧度制的换算方法之后，再教授三角函数，让学生通过计算角度的办法计算弧度，再用计算的弧度进行三角函数的计算，从构建关系的角度全方面地帮助学生理解弧度制与三角函数关系。
四、教学方法1.课堂教学法：以多种形式进行讲解和演示，激发学生的思考和互动；2.讨论和探究法：通过学生的自主探究和合作探究，让学生加深对知识的理解；3.练习和测试法：让学生在课堂和课后进行练习，加深对知识的掌握。
五、教学评估1.通过课堂练习和作业批改来检查学生对知识的掌握情况；2.通过课后作业的布置，能够让学生巩固知识、深化理解；3.通过课后反馈，了解学生的学习进展和困难。
人教版高中数学必修四弧度制和弧度制与角度制的换算公开课教学课件共18张PPT
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2、
-144o
3、－25º 4、 所求扇形的中心角的弧度数为
小结
圆周角度360
换
算 等价
六十进制 区别
十进制
圆周弧度2
角度制
弧度制
角的度量
三角函数
温故而知新
1、角度制：初中时我们用角度制度量角，1度的角 等于周角的1/360。
周角的 1/360
1°
n° l R
1弧度的概念
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
探究1：深化弧度的概念
思考1：1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小 是否有关？为什么？
B’ B l=R
1弧度
1弧度l=r O r R A A’
思考2：如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心旋转 到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？
2rad
2r
B
r
A O
思考3：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
探究2：角度与弧度的换算
解的？
正角
正实数
零角
零
十进制
负角
负实数
探究3：与扇形有关的公式
思考1：角度制下，扇形的圆心角是n°,则扇形的面积是？
思考2：类比思考1，在弧度制下，若扇形的圆心角是 弧 度，则扇形的面积是？还有其它的表示方法么？
A
r
OS l B
例题讲解
例1 把
解：∵ ∴
化成弧度。
例2 把 化成度。
解：∵ 1rad=
人教版高中数学必修四 弧度制和弧度制与角度 制的换算公开课教学课
数学人教b版必修4课件1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
RB ·数学
教 学 教 法 分 析
必修4
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
●教学流程
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
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菜 单
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【提示】 利用 1 弧度角的定义进行换算．
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(1)角度制与弧度制的换算
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●教学建议 首先通过类比引出弧度制，给出 1 弧度的定义，然后通 过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出弧度与角度的换算 方法．在此基础上，通过具体例子，巩固所学概念和公式， 进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入 弧度制，并让学生在探究和解决问题的过程中，更好地形成 弧度概念，建立角的集合与实数集的一一对应关系，为学习 任意角的三角函数奠定基础．
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课件4：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
l 2
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝ ＝ ＝2rad.
R 1
即扇形的圆心角为2rad.
例3
把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指
出是第几象限角.
(1)－1 500°；
23
(2) ；
6
(3)－4.
解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°，
∴－1
5
500°可化成－10π＋ ，是第四象限角．
3
23
11
(2)∵ ＝2π＋ ，
6
6
23 11
∴ 与 终边相同，是第四象限角．
6
6
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)， <2π－4<π，
2
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
跟踪训练3 将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形
45rad.
(2)弧度转化为角度：
360°
180°
2πrad＝____；πrad＝____；
1
180
rad＝(___)°
≈57.30°＝57°18′.
6.弧度制下的扇形弧长公式和面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，
l
l=αr
(1)由公式 α = 可得弧长公式______.
2 1 2
rad，故选B.
2.若α＝－3，则角α的终边在( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵α＝－3rad＝－3×57°18′＝－171°54′，
而－171°54′为第三象限角，∴α＝－3为第三象限角．
2018-2019版高中数学人教B版必修四课件：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
13
要点二
例2
用弧度制表示终边相同的角
把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是
第几象限角：
23π (1)－1 500° ； (2) 6 ； (3)－4.
解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
5π ∴－1 500° 可化成－10π＋ 3 ，是第四象限角.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
5
[预习导引]
1.弧度制
(1)弧度制的定义
长度等于 半径长 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad 表示，读作弧度.以 弧度 作为单位来度量角的单位制叫做
弧度制.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
6
(2)任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一个 负数 ；零角 的弧度数是 零 . (3)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α
扇形的弧长及面积公式的应用
例3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
18
π β2＝－3＝－60° ，设 γ＝－60° ＋k· 360° (k∈Z)，
则由－720°≤－60°＋k· 360°<0°，得k＝－1，或k＝0.
故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
19
要点三
第一章——
1.1 1.1.2
任意角的概念与弧度制
弧度制和弧度制与角度制的换算
[学习目标]
课件1：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
是多少？
答案
半径R=10㎝时，扇形的面积最大，最大值为
100㎝²。此时圆心角为2rad
题型三
自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此
由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过
的角是多少度？多少弧度？（三维）
题型三
解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的
式可得解。
解析(1)因为α=120°=2/3πrad, R=6
所以，AB的弧长为 l=2/3π×6=4π
(2)因为S扇形OAB=1/2lr=1/2×4π×6=12π
S
=1/2R²×sin2/3π=1/2×6²×√3/2=9√3
三角形ABO
S弓形OAB=S扇形OAB－S三角形OAB=12π－9√3
已知一扇形的周长为 ，当它的半径和圆心角
式中。
考点分析：
1、弧度制与实数的集合之间建立一种一一对
应的关系。
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应值应
该记住。但值得注意的是，用“度”为单位度
量时，“度”不能省略。
3、今后在具体运算时，“弧度”二字和单位
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad 。sinπ表
示πrad角的正弦。
总结提炼
（1）
式有诸多优越性，但是如果已知的角是以“度”
为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这
样可避免计算过程或结果出错。
要点阐释
3.与 终边相同的角的一般形式为
+ ∗ º, ∈
注意以下四点：
① k∈Z；②是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成
k·360º+(－30º)；
高一数学人教B版必修4课件：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
知识点 3 扇形的弧长公式与面积公式 设扇形的半径为 r，弧长为 l，α 为其圆心角，则
度量单位类别 扇形的弧长 扇形的面积
α 为角度制 l＝πr·1α80 S＝πr2·3α60
α 为弧度制 l＝r|α|
S＝12r2|α|＝12rl
2 说方法·分类探究 类型一 弧度制的概念 【例 1】 下列命题中，假命题是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．一度的角是周角的3160，一弧度的角是周角的21π C．1 弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的 一种度量单位 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半 径长短有关
弧度数分别是正数、负数和零.
讲重点 角度制与弧度制的比较 (1)弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以 “度”为单位度量角的制度． (2)1 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或弧)的大小， 而 1°是圆的3160所对的圆心角(或弧)的大小． (3)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一个与半径大小无关的定值． (4)以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略 不写．如 π＝180°是指 π 弧度＝180°，但如果以度(°)为单位表示 角时，度(°)不能省去．
(7)用角度制和弧度制来度量零角，虽然单位不同，但量数 相同，对于其他非零角度，由于单位不同，量数也就不同了.
知识点 2 角度与弧度的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝1π80rad≈0.01745 rad 1 rad＝1π80°≈57.30°
(2)用弧度表示顶点在原点，终边落在阴影部分内的角的集 合(不包括边界，如图所示)．
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
3r 若 l = 3r，则∠AOB= =3弧度 l 3r
B O
l 2r
A
2rad
3rad
r
r
O
r
A
B
-3弧度
l 3r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧 的长为3r，则∠AOB是几弧度？
l 3 ∠AOB的弧度数的绝对值是 r l 即AOB 3rad r
弧度定义：
弧度制下的扇形面积公式：
• 利用弧度制证明下列关于扇形的 公式： 其中: R 是半径， (1) l R
1 2 (2) S R 2 1 (3) S lR 2
l 是弧长，
(0 2 ) 是圆心角，
S 是扇形的面积。
扇形面积公式
1 S lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
2.弧度与角度的换算:
思考：周角的弧度数是多少?
l l 2r , 则AOB 2rad r
此角为周角 即为360°
l 2r
O
2π弧度
r
（B） A
2.弧度与角度的换算:
360°= 2π 弧度
180°= π 弧度
1
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系：
B
B
A
o
A
当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长不相等。
弧长/cm 半径/cm 弧长与半径之比
0.80 0.93 0.86
0.86 1.21 1.00 1.40 0.86 0.86
2.35 2.71 0.86
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人大附中分校高一数学导学学案
题目 1.1.2 弧度制和弧度
制与角度制的换算
课型 新授课 教材
数学B 版必修4 §1.1.2 学 习 要 求
1．知识目标：
① 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算
② 认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深
2. 能力目标：
①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.
②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. ③ 通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力.
重 点 难 点
重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念及其与角度的关系.
导 学 学 案
一．学生自学课本第7、8页.通过自学回答老师提出的以下问题：
① 角的弧度制是如何引入的？
② 为什么要引入弧度制？好处是什么？ ③ 1弧度是如何定义的？
④ 角度制与弧度制的区别与联系。
1．弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
2．平角、周角的弧度数：平角=π rad 、周角=2π rad
3．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 4．角α的弧度数的绝对值 r
l
=α（l 为弧长，r 为半径） 二．角度制与弧度制的换算：
1．∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad ； ∴ 1︒=
rad rad 01745.0180
≈π
'185730.571801ο
οο
=≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛=πrad
2．用弧度制表示弧长及扇形面积，公式： ① 弧长公式：α⋅=r l ，由公式：⇒=
r l α α⋅=r l 比公式180
r n l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积。
②扇形面积公式 lR S 2
1
=，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。
o R S
l
1.1.2 弧度制与角度值的换算参考答案
例题
例1：（1）把11230'o
化成弧度（精确到0.001）；（2）把11230'o
化成弧度（用π表示） 解：（1）α=1.969 rad （2）
58
π； 例2： 把3
rad 5π化成度 解：33 rad 18010855
π=⨯=o o
例4：直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴3
⑵ ο
165 解： cm r 10= ⑴ )(3
401034cm r l ππα=⨯=⋅=; ⑵ rad rad 12
11)(165180
165π
π
=
⨯=
ο
例5： 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm 2
，求扇形中心角的弧度数．
解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l ，半径为r ，
由题意：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+62
1102r l r l ⇒0652
=+-r r ∴ ⎩⎨⎧==62l r 或⎩⎨⎧==43l r ∴ r l =α=3 或34
随堂练习
1．下列命题中，真命题是( )
A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧
B ．1弧度是长度为半径的弧
C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和
D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 解析：选D.根据1弧度的定义，对照各选项，可知D 为真命题． 2．把－8π
3
化成角度是( )
A ．－960°
B ．－480°
C ．－120°
D ．－60°
解析：选B.－8π3＝－8
3
×180°＝－480°.
3．把－300°化为弧度是( )
A ．－4π3
B ．－5π3
C ．－7π4
D ．－7π6
解析：选B.－300°＝－300×π
180＝－53π.
4．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π12
的扇形面积是________ cm 2
.
解析：S ＝12|α|r 2＝12×π12×62
＝32π. 答案：32
π。