全国中考数学相似的综合中考真题汇总

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：

（1）∠OAE=∠OBE；

（2）AE=BE+ OE．

【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，

∴OB⊥AC，

∴∠AOB=90°，

∵∠AEB=90°，

∴A，B，E，O四点共圆，

∴∠OAE=∠OBE

（2）证明：在AE上截取EF=BE，

则△EFB是等腰直角三角形，

∴，∠FBE=45°，

∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，

∴∠ABO=45°，

∴∠ABF=∠OBE，

∵，

∴，

∴△ABF∽△BOE，

∴ = ，

∴AF= OE，

∵AE=AF+EF，

∴AE=BE+ OE．

【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90°，可得出A，B，E，O四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。

（2）在AE上截取EF=BE，易证△EFB是等腰直角三角形，可得出BF与BE的比值为，再证明∠ABF=∠OBE，AB与BO的比值为，就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△BOE，可证得AF= OE，由AE=AF+EF，可证得结论。

2．已知二次函数y＝ax2＋bx－2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(4，0)，且当x＝－2和x＝5时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数a，b的值；

（2）如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF.

①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

【答案】（1）解：由题意得：，解得：a= ，b=

（2）解：①由（1）知二次函数为 .∵A（4，0），∴B（﹣1，0），C （0，﹣2），

∴OA=4，OB=1，OC=2，∴AB=5，AC= ，BC= ，∴AC2+BC2=25=AB2，

∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°．

∵AE=2t，AF= t，∴ .

又∵∠EAF=∠CAB，

∴△AEF∽△ACB，∴∠AEF=∠ACB=90°，

∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；

由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF= AE=t．

假设△DCF为直角三角形，当点F在线段AC上时：

ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2，

∴AE= AB= t= ÷2= ；

ⅱ）若D为直角顶点，如图3．

∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°．

∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°，

∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．

∵OC⊥BD，

∴OD=OB=1，

∴AD=3，

∴AE= ，

∴t= ；

当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形．

综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t= 或t= ．

②ⅰ）当0＜t≤ 时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，∴S= ×2t×t=t2；

ⅱ）当＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，过点G作GH⊥BE于H，

设GH=m，则BH= ，DH=2m，∴DB= ．

∵DB=AD﹣AB=4t﹣5，∴ =4t﹣5，∴m= （4t﹣5），

∴S=S△DEF﹣S△DBG= ×2t×t﹣（4t﹣5）× （4t﹣5）= ；ⅲ）当2＜t≤ 时，重叠部分为△BEG，如图5．

∵BE=DE﹣DB=2t﹣（4t﹣5）=5﹣2t，GE=2BE=2（5﹣2t），

∴S= ×（5﹣2t）×2（5﹣2t）=4t2﹣20t+25．

综上所述：．

【解析】【分析】（1）根据已知抛物线的图像经过点A，以及当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等两个条件，列出方程组求出待定系数的值即可。

（2）①由x=0及y=0时，求出点A、B、C三点的坐标，以及线段OA、OB、OC的长，利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，用含t的代数式表示出线段AD、AE、AF （即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，可证得△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角三角形，可分成三种情况讨论：

i）点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；

ii）点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；

iii）、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意．

②此题需要分三种情况讨论：

i）当点E在点A与线段AB中点之间时，即当0＜t≤，两个三角形的重叠部分是整个△DEF；

ii）当点E在线段AB中点与点O之间时，即＜t≤2时，重叠部分是个不规则四边形，根据S=S△DEF﹣S△DBG可求解。

iii）当点E在线段OB上时，即2＜t≤时，重叠部分是个小直角三角形，根据三角形的面积公式，即可求解。

3．如图，在△ABC中，已知AB=AC=10cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，点E、F分别从B、C 两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA、AB向终点B运动，速度为5cm/s，设它们运动的时间为x（s）．

（1）求x为何值时，△EFC和△ACD相似；

（2）是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x