八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 19.2 菱形 19.2.1 菱形的性质 第1课时 菱

第19章矩形、菱形与正方形

19.2.1.1 菱形的性质

1．如图，在菱形ABCD中，∠ADB与∠ABD的大小关系是( )

A．∠ADB＞∠ABD

B．∠ADB＜∠ABD

C．∠ADB＝∠ABD

D．无法确定

2．如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线．若∠BAC＝50°，则∠ABC的度数为( )

A．40°

B．50°

C．80°

D．100°

3．[xx·淮安]如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )

A．20

B．24

C．40

D．48

4．如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点

O，连结BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )

A．28°

B．52°

C．62°

D．72°

5．[菏泽]在菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24 cm，则菱形的面积为____cm2.

6．[xx·黔三州]已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为23，则这个菱形的面积是____．

7．[xx·柳州]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2.

(1)求菱形ABCD的周长；

(2)若AC＝2，求BD的长．

8．[自贡]如图，点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.

∴∠ABF＝∠CBE.

9．[xx·潮安区期末]如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连结AE、CF，求证：△ADE≌△CDF.

10．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB，交AB的延长线于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F.求证：DF＝BE.

11．[xx·昌平区期末]如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，求菱形的面积及线段DH的长．

12．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连结CE.

(1)求证：BD＝EC；

(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．

13．[xx·开福区校级期末]如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC的中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G.

(1)求菱形ABCD的面积；

(2)求∠CHA的度数．

参考答案

1． C 2． C 3． A 4． C 5． 18 3 6． 2 3

7．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2. ∴菱形ABCD 的周长为8. (2)∵四边形ABCD 是菱形，

∴OA ＝OC ＝1

2

AC ＝1，OB ＝OD ，且∠AOB ＝90°，

∴在Rt △AOB 中，OB ＝AB 2

－OA 2

＝22

－12

＝3，∴BD ＝2OB ＝2 3. 8．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠A ＝∠C ，AB ＝CB . 在△AFB 和△CEB 中，

⎩⎪⎨⎪

⎧AF ＝CE ，∠A ＝∠C ，AB ＝CB ，

∴△AFB ≌△CEB ， ∴∠ABF ＝∠CBE .

9．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD .

∵点E 、F 分别为边CD 、AD 的中点， ∴AD ＝2DF ，CD ＝2DE ， ∴DE ＝DF .

在△ADE 和△CDF 中，

⎩⎪⎨⎪

⎧AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDF ，DE ＝DF ，

∴△ADE ≌△CDF (SAS )．

10．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝BC ，∠ABC ＝∠ADC . ∴∠CBE ＝∠CDF . ∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ， ∴∠CFD ＝∠CEB ＝90°. 在△CBE 和△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪

⎧∠CEB ＝∠CFD ，∠CBE ＝∠CDF ，CB ＝CD ， ∴△CEB ≌△CFD ， ∴DF ＝BE .

11．解：∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝24，BD ＝10， ∴S 菱形ABCD ＝1

2·AC ·BD ＝120，AO ＝12，OD ＝5，AC ⊥BD ，

∴AD ＝AB ＝52

＋122

＝13. ∵DH ⊥AB ， ∴AO ·BD ＝DH ·AB ， ∴12×10＝13×DH ， ∴DH ＝12013

.

12．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD . 又∵BE ＝AB ， ∴BE ＝CD ，BE ∥CD ，

∴四边形BECD是平行四边形，

∴BD ＝EC .

(2)∵四边形BECD 是平行四边形， ∴BD ∥CE ，

∴∠ABO ＝∠E ＝50°.

又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， ∴∠BAO ＝90°－∠ABO ＝40°. 13．解：(1)如答图，连结AC ， ∵E 为BC 的中点，AE ⊥BC ， ∴AB ＝AC . 又∵AB ＝BC ，

∴△ABC 是等边三角形， ∴AE ＝

32AB ＝3

2

×4＝23， ∴S 菱形ABCD ＝BC ·AE ＝4×23＝8 3. (2)在等边三角形ABC 中，∵AE ⊥BC ， ∴∠CAE ＝12∠BAC ＝1

2×60°＝30°，

同理∠CAF ＝30°，

∴∠EAF ＝∠CAE ＋∠CAF ＝30°＋30°＝60°. ∵AE ∥CG ，

∴∠CHA ＝180°－∠EAF ＝180°－60°＝120°.

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