线性代数行列式经典例题22998
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线性代数行列式经典例题
例1计算元素为a ij = | i－j|的n阶行列式.
解方法1 由题设知，
11
a=0，
12
1
a=，
1
,1,
n
a n
=-，故
011
102
120
n
n
n
D
n n
-
-
=
--
1
,1,,2
i i
r r
i n n
-
-
=-
=
011
111
111
n-
--
-
1,,1
j n
c c
j n
+
=-
=12
11
021
(1)2(1)
02
0001
n n
n n n
n
--
--
--
=--
-
-
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．方法2
011
102
120
n
n
n
D
n n
-
-
=
--
1
1,2,,1
111
111
120
i i
r r
i n
n n
+
-
=-
-
--
=
--
1
2,,
100
120
1231
j
c c
j n
n n n
+
=
-
--
=
---
=12
(1)2(1)
n n n
--
--
例2.设a, b, c是互异的实数, 证明:
的充要条件是a + b + c =0.
证明: 考察德蒙行列式:
=
行列式 即为y 2前的系数. 于是 =
所以 的充要条件是a + b + c = 0.
例3计算D n =
12
1
100010n
n n x x a a a x
a ----+
解： 方法1 递推法 按第1列展开，有
D n = x D 1-n +（－1）
1
+n a n
1
11
1
1
n x x x
-----= x D 1-n + a n
由于
D 1= x + a 1，
221
1x
D a x a -=
+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2
D 2-n + a 1-n x + a n =
= x 1-n D 1+ a 2x 2-n + + a 1-n x + a n =1
11n n n n x a x a x a --++
++
方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍， ，第n 列的x
1
-n 倍分别加到第1列上
12
c xc n D +=
2112
1010010000n n n n x x x a xa
a a
x
a -----++
213
c x c += 3
212
12
3
1
01000010
00
10n n n n n n x x
x a xa x a a a a x
a
--------+++
=
=
11
1x f
x
---n r =
按展开
1(1)n f
+
-1
11
1n x x
x
----=
111n n n n x a x a x a --++
++
方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．
D n
21
32
1
111n n c c x c c x
c c x
-+++=
112200
000
00
n n n
n
n n n
x x x a a a a a a k x
x x
---+++
n =
按c 展开
x 1-n k n = x 1-n (
1
-n n x
a + 21--n n x a + +x a 2+a 1+x) =111n n n n a a x a x x --++
++
方法 4 n r n
D =
按展开
1(1)n n
a +-10
00100
1
x x -
--+
21(1)n n a +--
0000100
01x x
-
-+ +21
2
(1)
n a --10000
01
x x
-
-
+21(1)()
n
a x -+1000000
0x x x
-
=（－1）
1
+n （－1）
1
-n a n +（－1）
2
+n （－1）
2
-n a 1-n x
+ +（－1）
1
2-n （－1）a 2x
2
-n +（－1）
n
2( a 1+x) x
1
-n
= 111n n n n a a x a x x --++
++
例4． 计算n 阶行列式：
1121221
2
n
n n n n
a b a a a a b a D a a a b ++=
+ (12
0n b b b ≠)
解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,
,n a a a ，可在保持