[第7章]离散傅里叶变换的特性及应用

下线性关系
a1x1
(n)
a2
x2
(n)
DFT N
a1
X1
(k
)
a2
X
2
(k
)
14
序列的圆周对称特性
➢长度为L≤N的有限长序列x(n)的N点DFT等于周
期为N的周期序列xp(n)的N点DFT 其中xp(n)是x(n)的周期延拓
15
➢对x(n)进行周期延拓，得到：
xp (n) x(n lN) l
1
N 1
j2 kn
X(k)e N ,
n 0,1, , N 1
N n0
➢ N：离散傅里叶变换区间长度，且要求N≥L
4
DFT : IDFT:
N 1
j 2 kn
X (k) x(n)e N ,
n0
x(n)
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N ,
N n0
现定义：WN e j2/ N
可以写成：
k 0,1, , N 1 n 0,1, , N 1
对N求余
17
xp (n) x(n lN) l
x'
(n)
x' 0,
p
(n),
0 n N 1 otherwise
18
x'(n) x(n k)N
x'(n) x(n 2)4
x'(0) x(2)4 x(2)
x'(1) x(1)4 x(3)
x'(2) x(0)4 x(0)
X()
sinL sin /
/ 2 2
e
j(
L1)
/
2
X(k)
sinkL / N sink / N
e
jk
( L 1)
/
N
,
k 0,1, , N 1
6
L=10时，幅度和相位角特性
7
L=50，100时，幅度和相位角特性
➢线
8
7.1.3 DFT的线性变换
➢ DFT – IDFT 对序列x(n)和X(k)的线性变换 ➢ 定义： xN ：序列x(n)的N点矢量
x'(3) x(1)4 x(1)
19
DFT的对称性
➢现有序列 xn xR n jx I n, 0 n N 1
Xk XR k jX I k, 0 k N 1
➢DFT
X R
k
N 1 n0
x
R
ncos 2kn
N
x I nsin
2kn N
X I
k
N 1
n0
x R
n s in
2kn N
xI
ncos 2kn
N
➢IDFT
x R n
1 N
N 1 k0
X
R
k
c
os
2kn N
XI ksin
2kn N
x I k
1 N
N1
k0
X
R
k
sin
2kn N
X
I
k
c
os
2kn N
20
实值序列
➢如果序列x(n)是实数
XN k X k X k
因此，可以写成
XN k Xk
≮ XN k ≮ Xk
➢若将xp(n)向右移位k个单位，得到：
x'p (n) xp (n k) x(n k lN ) l
➢取x’p(n)的主值区(一个周期),得到：
x'(n) 0x,'p (n),
0 n N 1 otherwise
16
➢序列的圆周移位(循环移位) ➢ x’p(n)是x(n)在圆周上的移位
➢IDFT的矩阵形式：
xN
1 N
WN X N
➢定义： WN* 表示 WN 的复共轭
x
1 N
1 N
WN
10
7.1.4 DFT与其他变换的关系
➢与周期序列傅里叶级数系数的关系
X (k) Nck
➢与非周期序列傅里叶变换的关系
X (k ) X () |2k / N
➢与z变换的关系
X (k ) X (z) |ze j 2kn/ N
21
实值偶序列
➢如果x(n)是实值且是偶数
xn xN n, 0 n N 1
➢DFT:
Xk N1 xncos 2kn ,
n0
N
➢IDFT:
0 k N 1
xn 1 N1 Xkcos 2kn , 0 n N 1
N k0
N
22
实值奇序列
➢如果x(n)是实值且是奇数
xn xN n, 0 n N 1
第7章 离散傅里叶变换的特性及应用
延边大学工学院 电子信息通信学科
许一男
7.1.1 离散时间信号的频域采样和重建
➢对离散时间信号进行频域分析：时域序列转换
成频域表达式来分析
➢频域采用方式：离散傅立叶变换(DFT) ➢DTFT - DFT
2
傅立叶变换的频域采样
➢非周期离散时间信号x(n)的傅立叶变换：
X xnejn n
➢连续样本的间隔：rad
3
7.1.2 离散傅里叶变换
➢DFT的定义：
设序列x(n)的长度为L，
定义x(n)的N点DFT和IDFT为(式7.1.20-21)
N1
j2 kn
DFT : X(k) x(n)e N ,
k 0,1, , N 1
n0
逆变换： I DF T :
x(n)
DFT : IDFT:
N 1
X (k) x(n)WNkn, n0
k 0,1, , N 1
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn,
n0
n 0,1, , N 1
5
例 7.1.2 (pp 337)
➢长为L的有限长序列为
x(n)
1, 0,
0 n L 1 otherwise
计算该序列的N点DFT
➢N点DFT的符号表示：
x
n
DFT
Xk
N
12
7.2.1 周期性、线性和对称性
➢ 周期性： ➢ 如果x(n)和X(k)是N点DFT对，那么对所有的n
满足以下关系式
x(n N) x(n)
X (k N) X (k)
13
线性
➢如果
wk.baidu.com
DFT
x1n X1k
，并且
DFT
x 2 n X2 k
N
N
那么，对于任何实值或复值常数a1和a2满足以
XN ：频率样本的N点矢量
WN ：N x N矩阵，线性变换、逆矩阵
x0
xN
x1
,
xN 1
x0
XN
x1
xN 1
1 1
1
1
1 WN
WN
1
WN2
WN2
WNN1
WN4
WN2N1
1 WNN1 WN2N1 WNN1N1
9
➢N点DFT的矩阵形式： X N WNN ➢IDFT的表达形式：x N WN1X N
➢DFT:
Xk
N 1
j
xn
sin
2kn
,
n0
N
➢IDFT:
0 k N 1
xn
j
1
N1
Xk s in
2kn
,
0 n N 1
N k0
N
23
纯虚数序列
➢现有序列 xn jx I n
(7.1.33) (7.1.34) (7.1.39)
11
7.2 DFT的性质
➢若定义 j 2 WN e N
➢ DFT和IDFT为：
DFT : IDFT:
N 1
X (k) x(n)WNkn, n0
x(n)
1 N
N 1
X (k)WNkn,
n0
k 0,1, , N 1 n 0,1, , N 1