多元函数微分法及其应用.doc

第八章多元函数微分法及其应用
一、本章教学目标：
1.使学生掌握多元函数的基本概念
2.使学生掌握多元函数的微分求解关系
3.使学生掌握多元函数各知识点之间的联系
二、本章基本要求：
1.使学生掌握多元函数连续的计算
2.使学生掌握多元函数微分的计算
三、本章各节的教学内容：
第一节多元函数的基本概念
教学内容：①平面点集，n维空间
②多元函数的概念
③多元函数的极限
④多元函数的连续性
第二节偏导数
教学内容：①偏导数的定义及计算法
②高阶偏导数
第三节全微分
教学内容：①全微分的定义
②全微分在近似计算中的应用
第四节多元复合函数的求导法则
教学内容：①多元复合函数的求导法则
第五节隐函数的求导法则
教学内容：①一个方程的情形
②方程组的情形
第六节多元函数微分学的几何应用
教学内容：①空间曲线的切线与法平面
②曲面的切平面与法线
第七节方向导数与梯度
教学内容：①方向导数
②梯度
第八节多元函数的极值及其求法
教学内容：①多元函数极值、最大值和最小值
②条件极值，拉格朗日乘数法
四、本章教学重点：
1.使学生掌握多元函数的连续
2.使学生掌握多元函数的微分
3.使学生掌握多元函数微分学的应用
五、本章教学内容的深化和拓宽：使学生深化对多元函数知识点间的联系
六、本章教学方式：多媒体
七、本章教学过程中应注意的问题：培养学生用发展变化的观点看待问题
八、本章主要参考书目：
1.同济大学数学教研室主编.1996年.北京：高等教育出版社
2.华东师范大学数学系主编.1990年.北京：高等教育出版社
3.惠淑荣主编.2002年.北京：中国农业出版社
4.李喜霞主编.2003年.北京：中国农业出版社
九、本章思考题：
1.多元函数极限，连续，可微之间的关系
2.多元函数求导的法则及应用
3.多元函数微分学及应用
§8-1多元函数的基本概念
一、区域 1.邻域
设0P 是XOY 平面上的一点，δ是一个正数，与点0P 的距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点0P 的δ邻域。

记作()0,U P δ，即(){}
00,U P
P PP δδ=<，也就是 ()(
{
}
0,,U P x y δδ=
<。

内点；开集；边界点； 开区域； 闭区域； 有界点集； 2.n 维空间
一般地，有序n 元数组()12,,
,n x x x 的全体为n 维空间，而每个有序n 元数组
()12,,,n x x x 称为n 维空间的一个点。

i X 称为该点的第i 个坐标，n 维空间记作n R 。

二、多元函数的概念 1.多元函数的概念
n 维空间内的点集D ，则可类似定义n 元函数()12,,
,n u f x x x =或()u f P =，
这里()12,,
,n P x x x D ∈。

当1n =时，n 元函数就是一元函数，当2n ≥时，n 元函数统
称为多元函数。

多元函数的定义域就是使()u f P =这个算式有确定值u 的变量所确定的点集。

三、多元函数的极限
如果对于任意给定的正数ε
，总存在0δ>，使得对于适合不等式
00PP δ<=<的一切点(),P x y D ∈，都有(,)f x y A ε-<成
立，则称A 为函数(),f x y 当00,x x y y →→时的极限，记作()00
lim ,x x y y f x y A →→=或
()()0,0f x y A PP →→。

二元函数的极限叫做二重极限。

n 元函数。

四、多元函数的连续性
1.定义3 设函数(),f x y 在开区域（或闭区域）D 内有定义，()000,P x y 是D 的内点或
边界点且0P D ∈。

如果()()0
00lim ,,x x y y f x y f x y →→=则称函数(),f x y 在点()000,P x y 连续。

2.性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D 上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值。

性质2（界值定理）在有界闭区域D 上的多元连续函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

性质3（一致连续性定理）在有界闭区域D 上的多元连续函数必定在D 上一致连续。

例1. 求02
sin()
lim
x y xy x →→
例2. 求12
lim
x y x y
xy →→+
例3.
求00
x y →→
§8-2偏导数
一、偏导数的定义及计算法
1.设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量()()0000,,f x x y f x y +∆-，如果
00000(,)(,)
lim
x f x x y f x y x
∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数(),z f x y =在点()00,x y 处对x
的偏导数，记作00
x x y y z x ==∂∂，00
x x y y f
x ==∂∂，00x x x y y z ==或),(00y x f x 。

例1. 求2
2
3z x xy y =++在点()1,2处的偏导数。

例2. 求2
sin 2z x y =的偏导数。

例3. 设()0,1y
z x
x x =>≠，求证：
z y
z
x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂。

例4. 已知理想气体的状态方程PV RT =（R 为常量），求证：1P V T V T P
∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂。

二、高阶偏导数
二阶偏导数：
),()(22y x f x z
x z x xx =∂∂=∂∂∂∂ ),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=
∂∂∂∂ ),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂ ),()(22y x f y
z
y z y yy =∂∂=∂∂∂∂ 例5. 设3
2
3
31z x y xy xy =--+，求22x z ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2，22y z ∂∂及33x
z
∂∂。

定理 如果函数(),z f x y =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2和y
x z
∂∂∂2在区域D 内连续，那么
在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等
例6. 验证函数2
2
ln y x z +=满足方程22x z ∂∂+220z
y
∂=∂。

例7. 证明函数r u 1
=满足方程22x z ∂∂+22y z ∂∂+220z z
∂=∂，其中222z y x r ++=。

§8-3全微分及其应用
一、全微分的定义
1.如果函数(),z f x y =在点(),x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为
()+ +z A x B y o ρ∆=∆∆，其中,A B 不依赖于x ∆、y ∆而仅与,x y 有关，
ρ=
(),z f x y =在点(),x y 可微分，而+A x B y ∆∆称为函数(),z f x y =在点(),x y 的全微分，记作dz ，即+dz A x B y =∆∆。

2.定理1（必要条件）如果函数(),z f x y =在点(),x y 处可微分，则该函数在点(),x y 的
偏导数
x z ∂∂、y z ∂∂必定存在，并且函数(),z f x y =在点(),x y 的全微分为z z
dz x y x y
∂∂=∆+∆∂∂。

3.定理2（充分条件）如果函数(),z f x y =的偏导数x z ∂∂、y
z
∂∂在点(),x y 连续，则函数
在该点可微分。

例1. 计算函数2
2
z x y y =+的全微分 例2．计算函数xy z e =在点()2,1处的全微分
例3．计算函数sin 2yz
y u x e ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
的全微分
§8-4多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数的求导法则
1.定理 如果函数()(),u t v t ϕψ==在点t 都可导，函数(),z f u v =在对应点(),u v 具有连续偏导数，则复合函数()(),z f t t ϕψ=⎡⎤⎣⎦在点t 可导，且其导数可按如下公式计算：
dt
dv
v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂=； x
v
v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ， y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂
x
w
w z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ， y w w z y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ x
f
x u u f x z ∂∂+
∂∂∂∂=∂∂ ， y f y u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 例1．设sin ,,u
z e v u xy v x y ===+，求x z ∂∂和y
z ∂∂
例2．设()222
2,,,sin x y z u f x y z e z x y ++===，求x u ∂∂和y
u ∂∂
例3．设sin ,,cos t
z uv t u e v t =+==，求dt
dz
例4．设(),w f x y z xyz =++，f 具有二阶连续偏导数，求x w ∂∂和z
x w
∂∂∂2
例5．设(),u f x y =的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标系中的形式
(1)22)()(
y
u x u ∂∂+∂∂ (2)2222y
u x u ∂∂+∂∂
§8-5 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
1.隐函数存在定理1 设函数(),F x y 在点),(00y x p 的某一邻域内具有连续偏导数，且
()00,0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(),0F x y =在点()00,x y 的某一邻域内能唯一确
定一个单值连续且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件()00y f x =，并有
y
x F F dx dy
-=。

如果(),F x y 的二阶偏导数也连续，也可以求2
2dx y d ，经过计算得公式22dx y
d =3
222y
x yy y x xy y xx F F F F F F F F +--。

例1. 验证方程2
2
10x y +-=在点()0,1的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导
数，当0x =时1y =的隐函数()y f x =，并求这函数的一阶及二阶导数在0的值。

2.隐函数存在定理2 设函数(),,F x y z 在点),,(0000z y x p 的某一邻域内具有连续偏导数，且()000,,0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(),,0F x y z =在点（000,,z y x ）的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数(),z f x y =，它满足条
件()000,z f x y =，并有z x F F x z -=∂∂，z
y F F y z
-=∂∂。

例2．设2
2
2
40x y z z ++-=，求22x
z
∂∂
二、方程组的情形
1.隐函数存在定理3 设设函数(),,,F x y u v 和(),,,G x y u v 在点),,,(0000v u y x p 的某一邻域内具有连续偏导数，又()0000,,,0F x y u v =，()0000,,,0G x y u v =，且由偏导数所组成的行列式（或Jacobi 行列式）
J=)
,(),(v u G F ∂∂=v
G u G v F
u F ∂∂∂∂∂∂∂∂在点),,,(0000v u y x p 不等于零，则方程组(),,,0F x y u v =，
(),,,0G x y u v =在点),,,(0000v u y x p 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有
连续偏导数的函数()(),,,u u x y v v x y ==,它们满足条件
()()000000,,,u u x y v v x y ==，并有 J x u 1-
=∂∂),(),(v x G F ∂∂=J 1-v
G x G
v F
x
F
∂∂∂∂∂∂∂∂，J y u 1-=∂∂),(),(v y G F ∂∂=J 1-v
G y G
v F
y F ∂∂∂∂∂∂∂∂， J x v 1-
=∂∂),(),(x u G F ∂∂=J 1-x
G u
G
x F
u
F
∂∂∂∂∂∂∂∂。

J y v 1-=∂∂),(),(y u G F ∂∂=J 1-y G
u G y F u F ∂∂∂∂∂∂∂∂， 例3．设0,1xu yv yu xv -=+=，求x u ∂∂,x v ∂∂,y u ∂∂,y
v
∂∂。

例4．设函数()(),,,x x u v y y u v ==在点(),u v 的某一邻域内连续且有连续偏导数，又
0)
,()
,(≠∂∂v u y x 。

(1)证明方程组⎩
⎨⎧==),()
,(v u y y v u x x 在点(),,,x y u v 的某一邻域内唯一确定一组单值连续且具有
连续偏导数的反函数()(),,,u u x y v v x y ==；
(2)求反函数()(),,,u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数。

§8-6 微分法在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面 1.空间曲线
曲线在点M 处的切线方程：
)
()()(00
0000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-
法平面的方程为：)(0t ϕ'(x -0x )+)(0t ψ'(y -0y )+)(0t ω'(z -0z )0=。

例1．求曲线2
3
,,x t y t z t ===在点()1,1处的切线及法平面方程。

例2．求曲线⎩⎨⎧=++=++0
6
222z y x z y x 在点()1,2,1-处的切线和法平面方程。

二、曲面的切平面与法线
曲面∑在点M 处的切平面方程为：
),,(000z y x F x )(0x x -+),,(000z y x F y )(0y y -+),,(000z y x F z )(0z z -0= 通过点M (000,,z y x )而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。

法线方程为：
),,(0000z y x F x x x -=),,(0000
z y x F y y y -=)
,,(0000z y x F z z z -
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。

向量
{}000000000(,,),(,,),(,,)x y z n F x y z F x y z F x y z =就是曲面∑在点M 处的一个法向量。

例3．求球面2
2
2
14x y z ++=在点()1,2,3处的切平面及法线方程。

例4．求旋转抛物面2
2
1z x y =+-在点()2,1,4处的切平面及法线方程。

§8-7 方向导数与梯度
一、方向导数
极限为函数(),f x y 在点P 沿方向l 的方向导数，记作l
f
∂∂，即 0(,)(,)lim f f x x y y f x y l ρρ
→∂+∆+∆-=∂ 1.定理 如果函数(),z f x y =在点P 是可微分的，则函数在该点沿任一方向l 的方向导数
都存在，且有
cos sin f f f
l x y
ϕϕ∂∂∂=+∂∂∂，其中ϕ为x 轴正向到方向l 的转角。

例1．求函数y
xe
z 2=在点P ()1,0处沿从点P ()1,0到点Q ()2,1-的方向的方向导数。

例2．设由原点到点(),x y 的向径为r ，x 轴到r
的转角为θ，x 轴到l 的转角为ϕ，求l
r
∂∂，其中22y x r r +==
（0≠r ）。

二、梯度
1.设函数(),z f x y =在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点(),P x y D
∈都可定义出一个向量i x
f ∂∂+j y f
∂∂，这个向量称为函数(),z f x y =在点(),P x y 的梯度，记作()grad ,f x y 。

即()grad ,f f f x y i j x y
∂∂=+∂∂。

例3．求22
1
grad x y +
例4．设()222,,f x y z x y z =++，求()grad 1,1,2f -。

§8-8 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最大值、最小值
1.设函数),(y x f z =在点(00,y x )的某一邻域内有定义，对于该邻域内异于(00,y x )的点
),(y x ：
如果都适合不等式),(y x f ()00,f x y <，则称函数在点(00,y x )有极大值f (00,y x )； 如果都适合不等式),(y x f >f (00,y x )，则称函数在点(00,y x )有极小值f (00,y x )。

极大值和极小值统称为极值。

使函数取得极值的点称为极值点。

例1．函数2
2
43y x z +=在点()0,0取得极小值。

例2．函数22y x z +-=在点()0,0取得极小值。

例3．函数xy z =在点()0,0取得极小值。

2.定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点(00,y x )具有偏导数，且在点(00,y x )处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：x f (00,y x )0=，y f (00,y x )0=。

3.二元函数的驻点：使(,)0x f x y =，(,)0y f x y =同时成立的点(00,y x )称为函数
),(y x f z =的驻点。

4.定理2（充分条件）设函数),(y x f z =在点(00,y x )的某一邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又x f (00,y x )0=，y f (00,y x )0=，令
00(,)xx f x y A =，00(,)xy f x y B =，00(,)yy f x y C =，
则),(y x f 在点(00,y x )处是否取得极值的条件如下：
（1）20AC B ->时具有极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值； （2）20AC B -<时没有极值；
（3）2
0AC B -=时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

例4．求函数3
3
2
2
(,)339f x y x y x y x =-++-的极值
例5．某厂要用铁板做成一个体积为23
m 的有盖长方体水箱。

问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。

例6. 有一宽为24cm 的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 二、条件极值、拉格朗日乘数法
1.无条件极值 对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，并无其他条件的极值称为无条件极值。

2.条件极值 这种对自变量有附加条件限制的极值称为条件极值。

例7．求表面积为2
a 而体积为最大的长方体的体积。