振动力学作业题解

第02章 单自由度系统的振动

2.1 一根抗弯刚度72=3610Ncm EI ⨯的简支架，两支承间跨度l 1=2m ，一端伸臂l 2=1m ，略去梁的分布质量，试求悬臂端处重为Q =2548 N 的重物的自由振动频率。

【提示：22123()EJ k l l l =+，2212()3st Ql l l EI δ+=

，11.77n ω=L 1/s 】 2.2 梁AB 其抗弯刚度72=910Ncm EI ⨯，A 端与B 端由弹簧支承，弹簧刚性系数均为k =52.92 kN/m ，如图所示。略去梁的分布质量，试求位于B 端点左边1米处，重为Q =4900 N 的物块自由振动的周期。

【解法1：通过计算静变形求解。 A ，B 弹簧受力为

3

Q 和23Q ，压缩量为3Q k 和23Q k ，则由弹簧引起的静变形为159Q

k δ=；利用材料

力学挠度公式求出梁变形引起的静变形222212(321)4619Q Q

EI EI

δ⋅⋅--==

⋅。

周期为：22 1.08n

T π

ω=

==s 。

解法2：通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。

A ，

B 弹簧相对Q 处的等效刚度为（产生单位变形需要的力，利用解法1中计算的静变形结果）

195k k =

；利用材料力学挠度公式求出梁相对Q 处的等效刚度294

EI k =；总等效刚度为：12111

eq k k k =+。

周期为22 1.08n

T π

ω=

==s 。】 2.4 一均质刚杆重为P ，长度为L 。A 处为光滑铰接，在C 处由刚性系数为k 的弹簧使杆在水平位置时平衡。弹簧质量不计，求杆在竖直面内旋转振动时的周期。

【解：利用定轴转动微分方程：

21()32st P l l P k a a g ϕϕδ=--&&，2

st l

k a P δ=， 得：

2

2103P l k a g

ϕϕ+=&&，

22n T π

ω===

题 2-1 图

B

A

Q

题 2-2 图

Q

k

k

A

B 题 2-4 图

2.8一个重为98 N的物体，由刚性系数为k=9.8 kN/m的弹簧支承着（简化为标准m-k-c振动系统），在速度为1 cm/s时其阻力为0.98 N。求10周振幅减小比为多少？

【解：

0.98

98

0.01

c==Ns/m

，

9800

31.3

98

n

k g

m

ω===1/s，

0.157

2

n

c

m

ξ

ω

==，11

2

111

11

ln ln

101

n

X X

n X X

δ

ξ

+

==≈

-

，2

1

1

11

20416

X

e

X

ξ-

==】

2.10 题2.10图所示振动系统，物块质量为25 kg，弹簧

刚度为2 N/mm，E＝210 GPa，悬臂梁长250 mm，梁横截面

宽20 mm，高3 mm，求固有频率。梁的分布质量不计。

【解：梁的参数

3

11

4.510

12

bh

I-

==⨯m4。

解法1：通过计算静变形求解。

3

0.258

3

mg mgl

k EI

δ=+=m，固有频率 6.17

n

g

ω

δ

==1/s。

解法2：通过通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。

3

12

1111

3

eq

l

k k k k EI

=+=+，固有频率 6.17

eq

n

k

m

ω==1/s。】

2.13 求题2.13图所示系统的固有频率。

【提示：利用定轴转动微分方程或能量法。注意重力的影响。

2

12

n

ka mgl

ml

ω

+

=，

2

22

n

ka mgl

ml

ω

-

=，

2

32

n

ka

ml

ω=】

2.14 求题2.14图所示系统的固有频率。

【解法1：通过计算静变形求解。

22

mg kδ

=，

11

mgl k a

δ

=

21

st

l

a

δδδ

=+，固有频率

2

12

22

12

()

n

st

k k a

g

m k a k l

ω

δ

==

+

。

解法2：利用牛顿定律。

22222

()

mx mg k x k x

δ

=-+=-

&&，

而：

111222

()()

k x a k x l

δδ

+=+

利用

22

mg kδ

=，

11

mgl k a

δ

=得

1122

k x a k x l

=

题2.13图

题2.10图

题2.14图