第六章实数复习课件
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3
64,
2.1010010001.
……}；
整数集合：{
分数集合：{
有理数集合：{ 无理数集合： {
……}；
…}；
}。
2、下列说法中，错误的个数是 （ C ） ①无理数都是无限小数；②无理数都是开方开不尽的数； ③带根号的都是无理数；④无限小数都是无理数。 A.1个； A.整数； B.2个； C.3个； C.无理数； D.4个。 D.实数。 3、数轴上的点与（ D ）一一对应。
本章知识结 构图 开平方
算术平方根
乘 方
互为逆运算
开 方
平方根
开立方
立方根
负的平方根
有理数
实数
无理数
1.算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于 a,即 x =a,那么这个正数x叫做a的 算术平方根。a的算术平方根记为 ， a 读作“根号a”，a叫做被开方数。 特殊：0的算术平方根是 0。
2
记作： 0 0
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那 么这个数就叫做a 的平方根（或二次方 根）．
这就是说，如果x = a ，那么 x 就叫做 a 的平方根．a的平方根记为± a
3.平方根的性质： 正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
2
4.立方根的定义：
一般地，如果一个数的立方等于a，那 么这个数就叫做a的立方根，也叫做a的 三次方根．记作 3 . 其中a是被开方数，３是根指数，符号 ３ “ ”读做“三次根号”．
5.立方根的性质：
a
一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。
区别
算术平方根 表示方法
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
6、设a和b互为相反数，c和d互为负倒数，x的绝对值为 5，
4 5 则代数式 x （a b cd）x （ a b 3 cd） ___________
2
1、 9 的平方根是＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ，
m ( a b ) 2、已知 a 3 b 2 (m 21) 0 ，则实数
2
2.求 81的算术平方根。
5.若a、b都是无理数 ，且a+b=2，则a、b的 值可以是 （填一组满足条件的值即可）。
6.写出一个无理数，使它与
7.写出大于
2
的积是有理数
。
13 小于
5的所有整数。
9.已 知a、b为 实 数 ， 下 列 各 式 中 一 定 为 正 值 的 是 （ ） Ａ （a 1 ） 1 B （ a b）
2
（x 2） 3
2
9(3 y) 4
2
1 2 y 2 或y 3 3 3
当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
例2：解下列方程：
x 8
3
x 2
2 x 128
3
x4
y 2
（y 3） 125
3
2 3 27 （x ） 125 0 3
3
已知m n, 求 （m n） （n m） 的值
无限不循环的小数 叫做无理数.
有理数和无理数统称实数.
在实数范围内，相反数、倒数、绝 对值的意义和有理数范围内的相反 数、倒数、绝对值的意义完全一样 在进行实数的运算时，有理数的 运算法则及运算性质同样适用。
实数的分类：
正整数 正实数正有理数 正分数 正无理数 实数 零 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数
B.有理数；
3
1 3 （1） 的倒数是 3 ； 3 （2） －2的绝对值是 2 －
填空
； 3
3或－ 3 。
（3）若 x 1, y 2 ，且xy>0，x+y= (4)
点A在数轴上表示的数为 3 5， 点B在数轴上对应的数为 5， 则A，B两点的距离为
4 5
随堂练习
1.下列说法中，正确的是 （ B ） A -8没有立方根； B -1的立方根是-1； C 27的立方根是±3； Ｄ（-1）2的立方根是-1。
32 2 2 3 2 3
化 简 绝 对 值 要 看 它
是负数 是负数 里 是正数 等于本身 面 等于它的相反数 的 2 3 32 2 2 3 数 3 2 2 2 3 的 符 原式 2 2 3 2 3 （ 3 2） 号
2 2 3 2 3 3 2
4、已知 a 5，b 2 7，且 a +b a b，则a b的值为（
A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12
D ）
5、已知5 7的小数部分是a？ 5 7的小数 部分是b？求a b的值
求a b的相反数的立方根
1
1
变式：已知9 13和9 13的小数部分分别为a和b
（1） 169
14 （ 3） 2 25
（2） 0.16
7 （5） 2 9
2.说出下列各数的立方根：
（1） -0.008
27 （3） 64
（2） 0.512
5 （4） -15 8
例1：解下列方程：
x 196
2
x 14
5 x 2
x 2 3或x 2 3
不 要 遗 漏
4 x 25
2 2
C a b D（a 1 ） | b 2 |
2 2 2
10.如图，在平行四边形ABCO中，已知A、C 两点的坐标分别为A（ 3， 3 ），c（ 2 3， 0 ）。
（1）求B点的坐标。 （2）将平行四边形ABCO向左平移 3 个单 位长度，所得四边形的四个顶点的坐标是多少？ （3）求平行四边形的OABC的面积。
x 1
当方程中出现立方时，一般都有一个解
13.比较大小 (1) 35与6 2 ( 2) 5 1与 2
a a=
2
a
a
3
3
2
a
a
0
a 0 a 0
a 0
(a 0)
a a
3
2
3
a 为任何数 a a
3
a为任何数
3 2
3
已知a o, 求 a a 的值
2
的相反数是
。
2.如 果3 2a 1与3 8 a互 为 相 反 数 ， 求aΒιβλιοθήκη Baidu 3a 4的 值 。
2
3 为任意实数 3.当x 时，3 x有意义。
4.如 果A a 2b 3 a 3b 是a 3b的 算 术 平 方 根 ， B
2 a b 1 2 2
1 a 为1 a 的 立 方 根 ， 求 A B的 平 方 根 。
4 2 3
2 2 2 2 3 3 3
学以致用
1.如图，数轴上点P表示的数可能是（ B）
A
7
B
7 C -3.2
0 1 2
D
10
P -3 -2 -1
3 4
2.如下图，数轴上表示 A -2 -1 B 0 1 2
3
C 3 4
B 的点是______
5
3.假设上图中的A、B、C三个点都表示无理数， A 其中最小的无理数可能是_____
平方根
立方根
3
a的取值
性 质
正数 0 负数
a≥
0
a
0
≠
a a≥ 0
0 没有
a
a 是任何数
0 负数（一个）
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
没有
开
方 是本身
0,1
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方 0 0,1,-1
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
1、写出一个无理数，使它与 2 的积是有理数：
有限小数及无限循环小数
整数
分数
有理数
实 数
正整数 0 负整数 正分数 负分数
自然数
无理数
无限不循环小数
一般有三种情况
正无理数 负无理数
(1)、
2、 “
”， “
3
”开不尽的数
(3)、 类似于0.0100100010 0001
复习回顾
把下列各数填在相应的大括号内： 5 1, , , 3.14, 0 , 3. 3 3 3, 3, 7
11.下列各组数中互为相反数的一组是 （C ）
1 A. 2与 B. 2与3 8 2
2
C. 2与 （ 2 ） D. | 2 | 与2
12.设a、b互为相反数，c和d互为倒数， m的倒数等于本身， 化简 cd （ a b） m | m |
m
思考： 1下列各式哪些有意义，哪些没 有意义？ 3 （1）（ 2 ） 4 4 2 （3） 3 （4） 3
64,
2.1010010001.
……}；
整数集合：{
分数集合：{
有理数集合：{ 无理数集合： {
……}；
…}；
}。
2、下列说法中，错误的个数是 （ C ） ①无理数都是无限小数；②无理数都是开方开不尽的数； ③带根号的都是无理数；④无限小数都是无理数。 A.1个； A.整数； B.2个； C.3个； C.无理数； D.4个。 D.实数。 3、数轴上的点与（ D ）一一对应。
本章知识结 构图 开平方
算术平方根
乘 方
互为逆运算
开 方
平方根
开立方
立方根
负的平方根
有理数
实数
无理数
1.算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于 a,即 x =a,那么这个正数x叫做a的 算术平方根。a的算术平方根记为 ， a 读作“根号a”，a叫做被开方数。 特殊：0的算术平方根是 0。
2
记作： 0 0
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那 么这个数就叫做a 的平方根（或二次方 根）．
这就是说，如果x = a ，那么 x 就叫做 a 的平方根．a的平方根记为± a
3.平方根的性质： 正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
2
4.立方根的定义：
一般地，如果一个数的立方等于a，那 么这个数就叫做a的立方根，也叫做a的 三次方根．记作 3 . 其中a是被开方数，３是根指数，符号 ３ “ ”读做“三次根号”．
5.立方根的性质：
a
一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。
区别
算术平方根 表示方法
你知道算术平方根、平方根、立方根联 系和区别吗？
6、设a和b互为相反数，c和d互为负倒数，x的绝对值为 5，
4 5 则代数式 x （a b cd）x （ a b 3 cd） ___________
2
1、 9 的平方根是＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ，
m ( a b ) 2、已知 a 3 b 2 (m 21) 0 ，则实数
2
2.求 81的算术平方根。
5.若a、b都是无理数 ，且a+b=2，则a、b的 值可以是 （填一组满足条件的值即可）。
6.写出一个无理数，使它与
7.写出大于
2
的积是有理数
。
13 小于
5的所有整数。
9.已 知a、b为 实 数 ， 下 列 各 式 中 一 定 为 正 值 的 是 （ ） Ａ （a 1 ） 1 B （ a b）
2
（x 2） 3
2
9(3 y) 4
2
1 2 y 2 或y 3 3 3
当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
例2：解下列方程：
x 8
3
x 2
2 x 128
3
x4
y 2
（y 3） 125
3
2 3 27 （x ） 125 0 3
3
已知m n, 求 （m n） （n m） 的值
无限不循环的小数 叫做无理数.
有理数和无理数统称实数.
在实数范围内，相反数、倒数、绝 对值的意义和有理数范围内的相反 数、倒数、绝对值的意义完全一样 在进行实数的运算时，有理数的 运算法则及运算性质同样适用。
实数的分类：
正整数 正实数正有理数 正分数 正无理数 实数 零 负整数 负有理数 负实数 负分数 负无理数
B.有理数；
3
1 3 （1） 的倒数是 3 ； 3 （2） －2的绝对值是 2 －
填空
； 3
3或－ 3 。
（3）若 x 1, y 2 ，且xy>0，x+y= (4)
点A在数轴上表示的数为 3 5， 点B在数轴上对应的数为 5， 则A，B两点的距离为
4 5
随堂练习
1.下列说法中，正确的是 （ B ） A -8没有立方根； B -1的立方根是-1； C 27的立方根是±3； Ｄ（-1）2的立方根是-1。
32 2 2 3 2 3
化 简 绝 对 值 要 看 它
是负数 是负数 里 是正数 等于本身 面 等于它的相反数 的 2 3 32 2 2 3 数 3 2 2 2 3 的 符 原式 2 2 3 2 3 （ 3 2） 号
2 2 3 2 3 3 2
4、已知 a 5，b 2 7，且 a +b a b，则a b的值为（
A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12
D ）
5、已知5 7的小数部分是a？ 5 7的小数 部分是b？求a b的值
求a b的相反数的立方根
1
1
变式：已知9 13和9 13的小数部分分别为a和b
（1） 169
14 （ 3） 2 25
（2） 0.16
7 （5） 2 9
2.说出下列各数的立方根：
（1） -0.008
27 （3） 64
（2） 0.512
5 （4） -15 8
例1：解下列方程：
x 196
2
x 14
5 x 2
x 2 3或x 2 3
不 要 遗 漏
4 x 25
2 2
C a b D（a 1 ） | b 2 |
2 2 2
10.如图，在平行四边形ABCO中，已知A、C 两点的坐标分别为A（ 3， 3 ），c（ 2 3， 0 ）。
（1）求B点的坐标。 （2）将平行四边形ABCO向左平移 3 个单 位长度，所得四边形的四个顶点的坐标是多少？ （3）求平行四边形的OABC的面积。
x 1
当方程中出现立方时，一般都有一个解
13.比较大小 (1) 35与6 2 ( 2) 5 1与 2
a a=
2
a
a
3
3
2
a
a
0
a 0 a 0
a 0
(a 0)
a a
3
2
3
a 为任何数 a a
3
a为任何数
3 2
3
已知a o, 求 a a 的值
2
的相反数是
。
2.如 果3 2a 1与3 8 a互 为 相 反 数 ， 求aΒιβλιοθήκη Baidu 3a 4的 值 。
2
3 为任意实数 3.当x 时，3 x有意义。
4.如 果A a 2b 3 a 3b 是a 3b的 算 术 平 方 根 ， B
2 a b 1 2 2
1 a 为1 a 的 立 方 根 ， 求 A B的 平 方 根 。
4 2 3
2 2 2 2 3 3 3
学以致用
1.如图，数轴上点P表示的数可能是（ B）
A
7
B
7 C -3.2
0 1 2
D
10
P -3 -2 -1
3 4
2.如下图，数轴上表示 A -2 -1 B 0 1 2
3
C 3 4
B 的点是______
5
3.假设上图中的A、B、C三个点都表示无理数， A 其中最小的无理数可能是_____
平方根
立方根
3
a的取值
性 质
正数 0 负数
a≥
0
a
0
≠
a a≥ 0
0 没有
a
a 是任何数
0 负数（一个）
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
没有
开
方 是本身
0,1
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方 0 0,1,-1
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
1、写出一个无理数，使它与 2 的积是有理数：
有限小数及无限循环小数
整数
分数
有理数
实 数
正整数 0 负整数 正分数 负分数
自然数
无理数
无限不循环小数
一般有三种情况
正无理数 负无理数
(1)、
2、 “
”， “
3
”开不尽的数
(3)、 类似于0.0100100010 0001
复习回顾
把下列各数填在相应的大括号内： 5 1, , , 3.14, 0 , 3. 3 3 3, 3, 7
11.下列各组数中互为相反数的一组是 （C ）
1 A. 2与 B. 2与3 8 2
2
C. 2与 （ 2 ） D. | 2 | 与2
12.设a、b互为相反数，c和d互为倒数， m的倒数等于本身， 化简 cd （ a b） m | m |
m
思考： 1下列各式哪些有意义，哪些没 有意义？ 3 （1）（ 2 ） 4 4 2 （3） 3 （4） 3