第五章时间序列的模型识别汇总

截尾性，进而由此可以给出模型的初步识别。首先，我们需要给出样本的自相关系数 ˆk 和
偏自相关系数 ˆkk 的定义。
设平稳时间序列Xt 的一个样本 x1, , xT 。则样本自协方差系数定义为
ˆk
1 T
T k j 1
xj x
xjk x , 1 k T 1
(5.1)
ˆk ˆk , 1 k T 1
ˆkk
Dˆ k Dˆ
,
k 1, 2,
,T
(5.4)
其中
1 ˆ1
ˆ k 1
1 ˆ1
ˆ1
Dˆ ˆ1 1
ˆk2 , Dˆk ˆ1
1
ˆ2
ˆk1 ˆk2
1
ˆk1 ˆk2
ˆk
关于样本的自相关系数ˆk 的统计性质，我们将在下一章给予讨论。
Quenouille 证明， ˆkk 也满足 Bartlett 公式，即当样本容量 T 充分大时，
T
1 k
T k j 1
xj x
xjk x , 1 k T 1
(5.3)
ˆk ˆk , 1 k T 1
在上述两种估计中，当样本容量T 很大，而 k 的绝对值较小时，上述两种估计值相差不 大，其中由(5.1)定义的第一种估计值的绝对值较小。根据前面章节的讨论，因为 AR( p )，
MA( q )或者 ARMA( p, q )模型的自协方差系数 k 都是以负指数阶收敛到零，所以在对平
ˆkk ~ N 0, 1 T
这样根据正态分布的性质，我们有
（5.5）
P
ˆkk
1
68.3%
T
（5.6）
P
ˆkk
2
95.5%
T
（5.7）
这样，关于偏自相关系数 kk 的截尾性的判断，转化为利用上述性质（5.6）或者（5.7），
可以判断 ˆkk 的截尾性。具体方法为对于每一个 p>0，考查p1, p1 ， p2, p2 ，…， pM , pM
稳时间序列的数据拟合 AR( p )，MA( q )或者 ARMA( p, q )模型时，希望实际计算的样本自
协方差系数ˆk 能以很快的速度收敛。因此，我们一般选择由(5.1)定义的第一种估计值作
为 k 的点估计。
根据第三章偏自相关系数的计算，利用样本自相关系数 ˆk 的值，定义样本偏自相关
系数 ˆkk 如下：
对于线性平稳时间序列模型来说，模型的识别问题就是确定 ARMA(p,q)过程的阶数， 从而判定模型的具体类别，为我们下一步进行模型的参数估计做准备。所采用的基本方法主 要是依据样本的自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）初步判定其阶数，如果利用 这种方法无法明确判定模型的类别，就需要借助诸如 AIC、BIC 等信息准则。我们分别给 出几种定阶方法，它们分别是（1）利用时间序列的相关特性，这是识别模型的基本理论依 据。如果样本的自相关系数（ACF）在滞后 q+1 阶时突然截断，即在 q 处截尾，那么我们 可以判定该序列为 MA(q)序列。同样的道理，如果样本的偏自相关系数（PACF）在 p 处截 尾，那么我们可以判定该序列为 AR(p)序列。如果 ACF 和 PACF 都不截尾，只是按指数衰 减为零，则应判定该序列为 ARMA(p,q)序列，此时阶次尚需作进一步的判断；（2）利用数 理统计方法检验高阶模型新增加的参数是否近似为零，根据模型参数的置信区间是否含零来 确定模型阶次，检验模型残差的相关特性等；（3）利用信息准则，确定一个与模型阶数有关
拖尾
拖尾
但是，在实际中 ACF 和 PACF 是未知的，对于给定的时间序列观测值 x1, x2 , , xT ，我们
需要使用样本的自相关系数 ˆk 和偏自相关系数 ˆkk 对其进行估计。然而由于ˆk 和
ˆkk 均是随机变量，对于相应的模型不可能具有严格的“截尾性”，只能呈现出在某步之后
围绕零值上、下波动，因此，我们需要借助 ˆk 和 ˆkk 的“截尾性”来判断k 和kk 的
第五章 时间序列的模型识别
前面四章我们讨论了时间序列的平稳性问题、可逆性问题，关于线性平稳时间序列模型， 引入了自相关系数和偏自相关系数，由此得到 ARMA(p, q)统计特性。从本章开始，我们将 运用数据开始进行时间序列的建模工作，其工作流程如下：
1. 模型识别 用相关图和偏相关图识别模型 形式（确定参数 p, q）
其中 x
1 T
T
x j 为样本均值，则样本自协方差系数ˆk 是Xt 的自协方差系数 k 的估
j 1
计。样本自相关系数定义为
ˆk ˆk ˆ0 , k T 1
(5.2)
是Xt 的自相关系数k 的估计。
作为Xt 的自协方差系数 k 的估计，根据数理统计知识，样本自协方差系数还可以
写为
2 / 17
ˆk
内容，一个比较直观的方法，就是通过观察自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）
可以对拟合模型有一个初步的识别，这是因为从理论上说，平稳 AR、MA 和 ARMA 模型的
ACF 和 PACF 有如下特性：
模型（序列）
AR(p)
MA(q)
ARMA(p,q)
自相关系数（ACF） 拖尾
q 阶截尾
拖尾
偏自相关系数（PACF） p 阶截尾
2. 参数估计 对初步选取的模型进行参数估计
3. 诊断与检验 包括参数的显著性检验和 残差的随机性检验
模型是否可取
吗 可取
停止
不可取
图 5.1 建立时间序列模型流程图
在 ARMA(p,q)的建模过程中，对于阶数(p,q)的确定，是建模中比较重要的步骤，也是比较 困难的。需要说明的是，模型的识别和估计过程必然会交叉，所以，我们可以先估计一个比 我们希望找到的阶数更高的模型，然后决定哪些方面可能被简化。在这里我们使用估计过程 去完成一部分模型识别，但是这样得到的模型识别必然是不精确的，而且在模型识别阶段对 于有关问题没有精确的公式可以利用，初步识别可以我们提供有关模型类型的试探性的考 虑。
1 / 17
的准则函数，既考虑模型对原始观测值的接近程度，又考虑模型中所含待定参数的个数，最 终选取使该函数达到最小值的阶数，常用的该类准则有 AIC、BIC、FPE 等。实际应用中， 往往是几种方法交叉使用，然后选择最为合适的阶数(p,q)作为待建模型的阶数。
§5.1 自相关和偏自相关系数法
在平稳时间序列分析中，最关键的过程就是利用数据去识别和建模，根据第三章讨论的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ