第二章 质点动力学
大学物理课件第二章质点动力学
m0g N
N
a’ B mg
联立解得
(m m0 )sin m cos sin a g, a ' g 2 2 m0 m sin m0 m sin
例题2 质量为m的快艇以速率v0行驶，关闭发动 机后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小成 正比，比例系数为k，求关闭发动机后 （1）快艇速率随时间的变化规律； （2）快艇位置随时间的变化规律
B
A
F
B
m0g
A
解：隔离两物体，分别受力分析， aA-地对楔块A N sin m0a
N
F ( N cos m0 g ) 0
N
对物体B（aB地 aB A aA地 ）
B
a
B-A
a
N sin m(aB A cos a)
A-地
mg
N cos mg m(aB A sin 0)
m0 m sin
(m m0 )sin 联立解得 a m cos sin g , aB A g 2 2 m0 m sin
B
A
F A a
解：隔离两物体，分别受力分析， 对楔块A N sin m0a N cos m0 g F 物体B相对楔块A以a’加速下滑
二、牛顿第二定律 1.动量： p mv
2.力的定义： dp d (mv ) F dt dt --牛顿第二定律(质点运动微分方程）
v c 物体质量为常量时：
dv F m ma dt
惯性演示实验
当锤子敲击在一大铁块上时，铁块下的手 不会感到有强烈的冲击；而当用一块木头取代 铁块时，木块下的手会感到明显的撞击。
大学物理课件 第2章,质点动力学
本章题头§2-1 牛顿运动定律英国物理学家, 经典物理学的奠基人.创立了经典力学的 基本体系光学，牛顿致力于光的颜色和光 的本性数学，建立了二项式定理，创立 了微积分牛顿 Issac Newton （1643－1727）天文学，发现了万有引力定律， 创制反射望远镜，初步观察到了 行星运动的规律。
一、牛顿第一定律 (Newton first law)惯性定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
意义惯性以及力的概念 1、定义了物体（质点）的惯性；2、说明了力是物体运动状态改变的原因定义了惯性参考系二、牛顿第二定律 (Newton second law)质点加速度的大小与所受合力的大小成正比 , 与质点自身的质量成反比; 加速度方向与合力方向相同。
牛顿第二定律的数学形式为 Fma 原始形式：F dPd mv dmvm dvdtdtdtdt当 v c 时，m 为常量 Fm dvmadt宏观低速运动时1、瞬时性： 之间一一对应（同生、同向、同变、同灭） n 2、力的叠加性：F F1 F2 Fi Fii =13、矢量性：具体运算时应写成分量式直角坐标系中： Fma maximay jmaz k Fxmaxmdv x dt Fyma ymdv y dt Fzmazmdvz dt 自然坐标系中： Fmam at anF mdv dtFnmv24、说明了质量是物体惯性的量度5、在一般情况下力， F是一个变力常见的几中变力形式：F F x kx常见的几中变力形式：F F t F F v kv弹性力 打击力 阻尼力6、适用对象:质点 7、成立的参考系：惯性系 8、成立的条件：宏观低速10＇T 三、牛顿第三定律(Newton third law)物体A 以力F AB 作用于物体B 时, 物体B 也必定同时以力F BA 作用于物体A , F AB 与F BA 大小相等, 方向相反, 并处于同一条直线上,（物体间相互作用规律）mmT P ＇P 地球F AB = F BA作用力与反作用力：1、它们总是成对出现。
第二章 动量定理质点动力学
m
F1
F F1 F2
dP 更一般有： Fi dt
•力的叠加原理：质点动量对时间的变化率等于作用 在该质点上所有力的矢量和，或者说多个力对质点 的作用等于所有力的矢量和的作用。
一、牛顿运动定律的表述
1、力、力的独立作用原理
•力：力是一物体对另一物体的作用，物体所受的力 可用其动量变化率来量度。
dP d F ( mv ) dt dt
F
v
m
•力的独立作用原理：当有多个力同时作用在一个质 点上时，这些力各自产生自己的效果而不互相影响。
•牛顿第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运 动的状态，直到作用在它上面的力迫使它改变这种 状态为止。——惯性定律。 •牛顿第二定律：质点所受的合力等于质点的质量与 其加速度的乘积。
N2
F f1 f 2 m1a1 N1 N 2 m1 g 0 f 2 m2 a2 , N 2 m2 g 0
代入
f2
N1
m2g
f2
N2
f1 1 N1 , f 2 2 N2
a1
F
m1g
f1
求出
F [ 2 m2 1 ( m1 m2 )]g a1 0 m1 a2 2 g 2.45m / s 2
建立坐标系x 轴水平向左，y 轴竖直向上。列出有关 运动方程
N 2 sin Ma1 , N1 N 2 cos Mg 0 N 2 sin m(a1 a cos), N 2 cos mg ma sin
求出：
大学物理第二章质点动力学PPT课件
•若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻 力将按 f v3 迅速增大。
•常见的正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复 力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看， 都属于电磁相互作用。
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12
五、牛顿定律的应用
•应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：
如在直角坐标系中：
在自然坐标系中：
Fn
man
mv2
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6
三、牛顿第三定律
物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用
力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，
分别作用在两个物体上。
F21F12
第三定律主要表明以下几点：
（1）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总 是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同时消 失，在同一条直线上，大小相等而方向相反。
（4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式 是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直 角坐标系X、Y轴上的分量式为 ：
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Fx mxamddxvtmdd22xt Fy myamddyvtmd d22yt
在处理曲线运动问题时，还常用到沿切线方向 和法线方向上的分量式，即：
Ft
mat
mdv dt
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1983年第17届国际计量大会定义长度单位用真空中 的光速规定：
c = 299792458 m/s
因而米是光在真空中1299,792,458秒的时间间 隔内所经路程的长度。
❖其它所有物理量均为导出量，其单位为导出单位
如：速度 V=S/ t， 单位：米/秒（m/s）
加速度a=△V/t，单位：米/秒2（m/s2）
•摩擦力：两个相互接触的物体在 沿接触面相对运动时,或者有相对 运动趋势时,在接触面之间产生的
大学物理课件第二章质点动力学
目 录
• 质点动力学的物理模型 • 质点运动的基本规律 • 牛顿运动定律的应用 • 动量与动量守恒定律 • 能量与能量守恒定律 • 质点的角动量与角动量守恒定律
CHAPTER 01
质点动力学的物理模型
质点模型
质点模型的定义
01
质点是一个具有质量的点，用于简化实际物体的运动，忽略其
直线运动
匀速直线运动
物体在直线方向上保持恒定的速度，不受外力作 用时，将一直保持匀速直线运动。
匀加速直线运动
物体在直线方向上以恒定的加速度加速运动，速 度随时间线性增加。
匀减速直线运动
物体在直线方向上以恒定的加速度减速运动，速 度随时间线性减小。
曲线运动
01
02
03
圆周运动
物体围绕一个固定点做圆 周运动，速度方向始终垂 直于运动轨迹的切线。
坐标系的分类
坐标系分为直角坐标系、极坐标系、球坐标系等，用于描述物体在 空间中的位置和运动。
参考系与坐标系的选择
选择合适的参考系和坐标系可以简化物体的运动，便于分析和计算 。
时间和空间的测量
时间测量的历史
时间测量是物理学中一个重要的基本概念，经历了从天文观测到 现代精确计时技术的发展过程。
空间测量的方法
角动量守恒定律的意义
揭示了物体运动的基本规律，是理解和分析复杂运动的基础。
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通过分析合外力的冲量和质点动量的 变化，可以确定质点的运动状态和运 动规律。
动量守恒定律
动量守恒定律
在没有外力作用或合外力为零的系统中，系统的总动量保持不变。
动量守恒定律的应用
第二章 质点动力学
第二章 质点动力学质点动力学的任务研究物体之间的相互作用，以及由于这种相互作用所引起的物体运动状态变化的规律，它的研究对象是质点和可以当作质点对待的质点系。
牛顿在1687年发表著作《自然哲学的数学原理》，在伽利略、开普勒等人工作的基础上，建立了牛顿三定律和万有引力定律，从牛顿运动定律出发可以导出刚体、流体、弹性体等的运动规律，从而建立起整个经典力学的体系。
一、牛顿第一定律 (1) 定律表述任何物体若不受其他物体对它的作用（或所受合力为零）将继续保持其静止的或匀速直线运动的状态。
数学形式：0F =∑ 时，=恒矢量v 。
第一定律是大量观察与实验事实的抽象与概括，它给出了物体机械运动状态改变的原因，即物体受到力的作用（合外力不为零），物体的机械运动状态（瞬时速度矢量）发生改变。
(2) 惯性和力的概念惯性的概念：任何物体保持原有运动状态不变的能力，是物质运动不灭性的表现，物体的惯性大小与参考系有关，或者说与所处时空性质有关。
牛顿第一定律也称为惯性定律。
力的概念：物体间的相互作用，在力的作用下物体的运动状态——瞬时速度矢量v 会发生改变。
(3) 惯性参考系牛顿第一定律的意义在于它表明一定存在着这样一类的参考系，在该系中所有不受力的物体都保持自己的速度不变。
这类参考系，称为惯性参考系，或称惯性系，不能成立的参考系称为非惯性系。
牛顿第一定律可作为判断一个参考系是惯性系还是非惯性系的理论依据。
通过力学实验可以判定一个参考系中牛顿第一定律是否成立，是不是惯性系。
对一般力学现象来说，地面参考系是一个足够精确的惯性系，可以应用牛顿运动定律求解质点动力学问题。
对于大量天文现象，以太阳中心为坐标原点、以指向任一恒星的直线为坐标轴建立的坐标系中，太阳系是一个惯性系。
牛顿定律只有在惯性系中才成立。
二、牛顿第二定律 (1) 定律表述物体受到合外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，并与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
力学讲义-2质点动力学
K dr
≠
0
势能：保守力所作的功等于势能函数的减少（即势能增量的负值），即
重力势能为
A = −ΔEP
Ep = mgh （以 h = 0 处为势能零点）
弹性势能为
EP
=
1 2
kx2
万有引力势能为
（ k 为劲度系数，以弹簧原长处为势能零点）
EP
=
−G
m′m r
（以 r = ∞ 处为势能零点）
机械能守恒定律：若作用于系统的外力和非保守内力都不对系统作功或作功之和为
以摩擦力作功为变力作功，而从开始到链条离开
桌面，可由功能原理求得离开桌面的动能，从而求得速率。
解
（1） 建立坐标如图 2-3(b)所示，设任意时刻，链条下垂长度为 x，则摩擦力大小为
f = μ m (l − x)g l
摩擦力的方向与位移方向相反，故整个过程中摩擦力作功为
（1）
6
∫ ∫ Af
=
l f cos180o dx =
⋅
l 2
Ek
=
1 mυ 2 2
Ek0 = 0
将（3）、（4）、（5）、（6）、（7）代入（2）得
− μmg (l − a)2 = −mg l + 1 mυ 2 + mg a 2
2l
22
2l
解得
（4） （5） （6） （7）
υ = [l 2 − a 2 − μ (l − a)2 ]g L
（8）
【方法要略】 此题的关键是正确写出变力作功的表达式，求得摩擦力作的功；然后应
【知识扩展】 由上式结论知，当 t → ∞ ，υ → 0 ，其原因为，摩擦力与正压力 N 成正
比，而 N 与速度平方成正比，随着 t 增大，速度越来越小，但正压力也变小，随之摩擦力变
第二章质点动力学
v0
0
L
m k
v0
第9页
第二节 力的时间积累效应 动量守恒定律
将一个实际问题（对应一个有限过程）分解为无限多个无限小的过 程（元过程），通过对其中一个一般的元过程的研究得到结论，并 将该结论对整个有限的过程进行叠加（积分），从而得到问题的 解，这是物理学研究问题的一般方法。
一、质点的动量定理
将牛顿第二定律改写为： Fdt dp
动量(momentum)：p＝mv
F d(mv) dp dt dt
理解牛顿第二定律的要点：
（1） 质点 惯性系 （2） 瞬时性 矢量性 （3） m 不变时，F ma
（4）力为合力， F F1 F2 Fn
第4页
牛顿第三定律（Newton's third law）： “每一个作用总有一个相等的反作用与它对抗；或者说，两个物体 之间的相互作用永远相等，并且指向对方。”
I
x
t
t0 Fxdt px p0x mvx mv0x
I
y
t
t0 Fydt py p0 y mvy mv0 y
I
z
t
t0 Fzdt pz p0z mvz mv0z
冲力（impulsive force） ：
F
t2 Fdt
t1
p2
p1
t2 t1 t2 t1
平均冲力常用来估算碰撞、冲击过程 中的作用力。
设水的阻力与轮船的速率成正比，比例系数为k，求轮船在发 动机停机后所能前进的最大距离。
第8页
解：
m dv kv （式中负号表示力和速度的方向相反 ） dt
作如下变换 ： m dv ds mv dv kv ds dt ds
分离变量后两边积分，并设所能前进的最大距离为L：
大学物理第二章-质点动力学
3）忽略绳或线质量时，绳内部各处的张力都相等
4）弹（性）力：由胡克定律 f ，kkx为决定于弹簧本身结构的常数；负
号表示弹力的方向总是指向要恢复它原长的方向
3、摩擦力 相互接触的物体在沿接触面相对运动时，或有相对运动趋势时，在接触
面之间产生一对阻止相对运动的力。（静摩擦力、动摩擦力（滑动摩擦力、 滚动摩擦力等））
m m
车 u上
mv1
mv2
v1 v2
t2
Fdt
t1
mv2
mv1
地上
t
2
Fdt
t1
m(v1
m(v2
u)
u)
m (v2
m(v1
u) u) mv2
mv1
[例2]一质点受合外力作用，外力为
F 10ti 2(2 t ) j 3t 2k (SI)
求此质点从静止开始在2s内所受合外力的冲量和质点在
I z P2z P1z mv2z mv1z
说明：
1）一维问题、力作用时间很短时，
F
常引入平均冲力
F
F
t2 Fdt
t1
p2 p1
t2 t1 t2 t1
t1 t2 t
2）I的方向一般不是
F的(t方) 向，而
I
是微分冲量 的矢F量d和t 的方向。
Fdt
3）物体的动量相对于不同的惯性系是不同的，但动量定律不 变。
物体在竖直方向运动，建立坐标系oy
y
T
ar
ar
a1 m1 a2
m2
m1
o
m1g
T
m2
m2 g
(1)电梯匀速上升，物体对电梯的加速度等于它们对
地面的加速度。A的加速度为负，B的加速度为正， 根据牛顿第二定律，对A和B分别得到：
第二章--质点动力学2
W W1 W2
o
r
r1 dr r2
（3）功是过程量：功总是和质点旳某个运
动过程相联络
W dW F dr F cos d r
2、重力、引力、弹性力旳功
（1）重力作功
物体m沿途径 A 过B程中重力
旳功
W
B
dW
B mg dr
y2 mgdy
W
A
mgy2A
mgy1
y1
t1
i1 若 Fi合 0
i 1 n
则 P
mivi
恒矢量
i 1
动量守恒定律：
当系统合外力为零时，系统
旳总动量保持不变。t2
nn
讨论：
Fi合dt mivi mivi0
t1
i 1
i 1
（1）合外力为零或不受外力作用系统总
动量保持不变。
（2）合外力不为零，但合力在某方向分量 为零，则系统在该方向上旳动量守恒。
W mgy2 mgy1 重力势能 Ep mgh
W
G
m'm rB
G
m'm rA
W
1 2
kx22
1 2
kx12
引力势能 弹性势能
Mm
Ep G r
Ep
1 2
kx2
所以能够得到保守力旳功与势 能旳关系式
W Ep2 Ep1 Ep
（2）势能旳讨论 势能是属于存在保守内力旳系统旳， 具有保守力才干引入势能旳概念。 势能是状态旳函数。 势能值旳相对性与势能差旳绝对性。
式
（2）直角坐标系中，定理分量式 t2
I x Fxdt px2 px1
t1 t2
I y Fydt py2 py1
大学物理第2章_质点动力学_知识框架图和解题指导和习题
第2章 质点动力学一、基本要求1．理解冲量、动量，功和能等基本概念；2．会用微积分方法计算变力做功，理解保守力作功的特点；3．掌握运用动量守恒定律和机械能守恒定律分析简单系统在平面内运动的力学问题的思想和方法。
二、基本内容（一）本章重点和难点：重点：动量守恒定律和能量守恒定律的条件审核、综合性力学问题的分析求解。
难点：微积分方法求解变力做功。
（二）知识网络结构图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧公式只有保守内力做功条件能量守恒定律公式合外力为条件动量守恒定律守恒定律动能定理动量定理基本定理能功冲量动量基本物理量)()0(（三）容易混淆的概念： 1.动量和冲量动量是质点的质量与速度的乘积；冲量是合外力随时间的累积效应，合外力的冲量等于动量增量。
2.保守力和非保守力保守力是做功只与始末位置有关而与具体路径无关的力，沿闭合路径运动一周保守力做功为0；非保守力是做功与具体路径有关的力。
(四)主要内容： 1．动量、冲量动量：p mv =u r r冲量：⎰⋅=21t t dt F I ϖϖ2．动量定理：质点动量定理：⎰∆=-=⋅=2112t t v m P P dt F I ϖϖϖϖϖ 质点系动量定理：dtPd F ϖϖ=3．动量守恒定律：当系统所受合外力为零时，即0=ex F ϖ时，或in ex F F u r u r ? 系统的总动量保持不变，即：∑===n i i i C v m P 1ϖϖ4．变力做功：dr F r d F W BAB A⎰⎰=⋅=θcos ϖϖ（θ为)之间夹角与r d F ϖϖ直角坐标系中：)d d d ( z F y F x F W z y BAx ++=⎰5．动能定理：（1）质点动能定理：k1k221222121E E mv mv W -=-=（质点所受合外力做功等于质点动能增量。
）（2）质点系动能定理:∑∑==-=+ni ni E E W W1kio1ki inex（质点系所受外力做功和内力做功之和等于质点系动能增量。
第二章 质点动力学
.3.
§2-1 牛顿运动定律
(Newton’s Law of Motion)
惯性定律) 一、牛顿第一定律(惯性定律 牛顿第一定律 惯性定律
如果物体没有受到力的作用， 如果物体没有受到力的作用，都将保持原有的静止 或匀速直线运动状态. 或匀速直线运动状态. 1. 定义了惯性参考系 2. 定性了物体的惯性和力 力可改变物体运动状态，而保持运动状态不需力. 力可改变物体运动状态，而保持运动状态不需力.
xm
v v
v F
v v ∫ F ⋅ dx = E末 − E初
0
1 即 ∫ − kx dx = 0 − mv 2 2 0 2 k 4 1 2mv 1 4 2 − x m = − mv ) ∴ xm = ( 4 2 k
3
x o x
m
Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m
.12.
§2-3 保守力的功 势能
(The Work of Conservative Force, Potential Energy)
选参考点(势能零点 ， 选参考点 势能零点)，设 EP末 = 0 则 EP初 = A保守力 势能零点 1.重力势能 EP = mgh (常选地面为零势能 常选地面为零势能) 重力势能 常选地面为零势能 1 2 弹簧原长度为零势能) 弹簧原长度为零势能 2.弹性势能 E p = kx (弹簧原长度为零势能 弹性势能 2 mM 3.万有引力势能 E p = −G (无限远为零势能 无限远为零势能) 万有引力势能 无限远为零势能 r
.2.
第二章 质点动力学
(The Particle Dynamics)
§2-1 牛顿运动定律 §2-2 功 动能 动能定理 §2-3 保守力的功 势能 §2-4 质点系的机械能守恒定律 §2-5 冲量 动量 动量定理 §2-6 质点系动量守恒定律 §2-7 质点的角动量 §2-8 质点系对定轴的角动量
第二章 质点动力学(功与能)
北京邮电大学理学院物理部1?第一部分力学第2章质点动力学北京邮电大学理学院物理部2结构框图重点:概念：动能，功，保守力，势能规律：动能定理，功能原理，机械能守恒定律难点：变力的功，一对力的功，势能曲线，复杂问题的分阶段求解力对空间的积累牛顿第二定律p F t =r r d d 功势能保守力动能定理功能原理机械能守恒定律能量守恒定律北京邮电大学理学院物理部31. 恒力作功A F S =⋅r r r F A rr Δ⋅=§2 功与能2.变力作功一、功力对空间累积ϕF v sv F v中学cos A F S ϕ=⋅⋅微元分析法：取微元过程以直代曲以恒代变再求和a boF r r vd s d r v r ′v θP P 北京邮电大学理学院物理部4a b o F rr v d s d r v r ′v θP P 元功：sF r F r F A d cos cos d d d θθ=⋅⋅=⋅=v vv zF y F x F r F A z y x d d d d d ++=⋅=v v 直角坐标系：ˆˆˆx y z F F i F j F k=++v ˆˆˆd d d d r xi yj zk =++r 总功：r F s F A A bab a b a vv ∫∫∫⋅===d d cos d θ()∫++=baz y x z F y F x F d d d北京邮电大学理学院物理部51）功是标量（代数量）A 总=A 1+A 2+…….A >0 力对物体做功A <0 物体反抗阻力做功A =0 力作用点无位移力与位移相互垂直讨论∫⋅=)()(b a r f A rr d 摩擦力作功一定是负的吗？正负：取决于力与位移的夹角北京邮电大学理学院物理部62）功是过程量与作用点的位移相关一个力所做的功与参考系的选择相关，是相对量。
例如图中地面系：A G ≠0；电梯系：AG =0h vmg例：2ˆˆ2(SI)F yi x j =+r 125 JOAC OA AC F dr F dr F dr ⋅=⋅+⋅=∫∫∫r r r r r r50 JOBC OB BC F dr F dr F dr ⋅=⋅+⋅=∫∫∫r r rr r r 2ˆˆˆˆ(2)()66.7 JOC OC F dr yi x j dxi dy j ⋅=+⋅+=∫∫r r北京邮电大学理学院物理部7a)质点a b s r d 1f r 2friL i i i i i s f A i L r rd ⋅=∑∫∑s f b a i i r r d ⋅=∫∑)()()(∫∑⋅==)()(b a i i s F A A r rd 合对质点:各力作功之和等于合力作的功思考：写这个等号的条件？3）功的计算中应注意的问题中学时似乎熟视无睹北京邮电大学理学院物理部8N 个质点组成的系统--研究对象b)质点系1m 2m 3m 12F r 21F r 13F r 31F r32F r 23F r外1F r外3F r外2F r内力——质点系内质点间的相互作用力∑=ii F F 外外rr 质点系内质点间的内力总是成对出现，因此必有i iF f =≡∑r r 内内注意：同一力对某一系统为外力，而对另一系统则可能为内力。
第2章_质点动力学
重点掌握变力的问题!
11
例：一根长为L，质量为M的柔软的链条，开始时链条 静止，长为L－l 的一段放在光滑的桌面上,长为l 的一段 铅直下垂。(1)求整个链条刚离开桌面时的速度；(2)求 链条由刚开始运动到完全离开桌面所需要的时间。 M dv dv dx dv xg 解： F xg Ma , a v L dt dt dx L dx
（1） F合 ma （2） a a a0
在加速平动参照系中： F惯 ma0 此时，F F惯 ma （4）
（4）式就在形式上与牛顿第二定律保持一致。
18
在加速平动参照系中：F惯 ma0
惯性力大小： 运动质点的质量m与非惯性系加速度 a的乘积。
*2.1.4 非惯性系 惯性力 非惯性系：相对于惯性系做加速运动的参考系。
在非惯性系内牛顿定律不成立。 1.平动加速系
设有一质点质量为m，相对于某一惯性系S，根据 牛顿第二定律，有： （1） F ma
合
设有另一参照系S/，相对于惯性系S以加速度
动，在S/参照系中，质点的加速度为
由运动的相对性，有：a a a0
2
牛顿第二定律：物体受到外力作用时，它所获得的加 速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成 反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
数学形式：F ma 或 F m dv dt
在直角坐标系Oxyz中： 在自然坐标系中 ：
Fix max Fiy ma y Fiz maz
在匀角速转动参考系中应用牛顿定律， 必须设想物体又受到另外一个与拉力大小相 等但方向相反的惯性力的作用，
2 Fi mω r
第2章质点动力学
• 该状态的条件：作用于质点上所有力的 合力等于零。
牛顿第二定律
某时刻作用在质点上所有力的合力等于该时刻
质点动量对时间的变化率。
F
d
mv
ma
dt
F1 ma1
F2 ma2
F F1 F2 ma
1、瞬时性： 力和加速度同时存在、同时改变、同时消失。
t1
对所有质点求和
n
n
t2 n
n
pi2 pi1 ( Fi fi )dtiFra bibliotek1i 1
t1 i1
i 1
t2 n
t2 n
Fidt 0fidt
t1 i1
t1 i1
合内力的冲量为零
质点系的动量定理
大小分别为： fk= kN 及 fsmax=sN。
其中N为二物体间垂直接触面的正压力。
相对运动
滑
动
v
摩
擦
力
fk k N
相对静止，
静
有相对运动趋势
摩
擦 力
F
fs F fsm s N
弹力： 发生形变的物体，由于力图恢复原状，对与
它接触的物体产生的作用力。如压力、张力、 拉力、支持力、弹簧的弹力。
——过程量，力对时间的积累
在 t 时间间隔内，若 F 可视为恒力，则：
I
Ft
p
平均冲力
t2
F (t )dt
F t1
t2 t1
p2 p1 t2 t1
质点组的动量定理
n 个质点组成质点系
外力 Fi
fij fji 0
i
内力 f i
大学物理 质点动力学
a物惯 a物A a A惯
解方程
3.列方程
大学 物理学
例2.1 一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬 有质量为m1 和 m2的物体( m1 ＜ m2 )，如图2.2所示.设滑轮和 绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加速度以 及悬挂滑轮的绳中张力.
m2 定滑轮为研究 解 分别以 m1 ， 对象，其隔离体受力如图所示.
T1 T2 T， a1 a2 a
m2 m1 a g， m1 +m2
解①和②两式得
2m1m 2 T g. m1 +m2
由牛顿第三定律知：T1' T1 T， T2' T2 T ，又考虑到定滑轮质量不 计，所以有
容易证明
4m1m2 T 2T g m1 +m2
1 7.3 10 rad s
5
1
由于地球的自转， 地球上的物体有法向 加速度。
大学 物理学
大量的事实和实验表明：
地球不是一个严格的惯性系。
傅科摆 河岸冲刷 赤道附近的信风 强热带风暴漩涡 落体偏东
地球自转：科里奥利加速度
Rse
Rse 1.5 108 km 1Au
a自转 3 6 g , a公转 g 1000 10000
明朝1644年灭亡，康熙皇帝：1654-1722
大学 物理学
动力学：研究作用于物体上的力和
物体机械运动状态变化之间的关系。
• 本章主要内容： • §2.1 牛顿运动定律 • §2.2 动量 动量守恒定律 • §2.2 功 动能 势能 机械能守 恒定律 • §2.2 角动量 角动量守恒定律
大学 物理学
对 m1，它在绳子拉力 T1 及重力 m1 g 的作用下以加速度 a1向上运动，取 向上为正向，则有
02_第二章 质点动力学
F 0 时， 恒矢量
惯性和力的概念
如物体在一参考系中所受合外力为零时，而 保持静止或匀速直线运动状态，这个参考系就 称为惯性参考系，简称惯性系。
3
大学物理学
第二章
质点动力学
2. 牛顿第二定律 物体受到外力时，它获得的加速度的大小与 物体所受的合外力成正比，与物体的质量成反 比，加速度的方向与合外力的方向相同。
yb
例2.6 质量为 m 的质点沿曲线从 a 点运动到 b 点，已知 a 点离地面的高度为 ya ，b 点离地面 的高度为 yb，求此过程中重力对质点的做功。 y a y
a
W mg d y mg ( ya yb )
ya
重力做功只与质点的始末位置 有关，与运动路径无关。重力 是保守力。
7
大学物理学
第二章
质点动力学
二、 牛顿运动定律的应用 1. 问题分类 ①运动情况→受力情况； ②受力情况→运动情况； ③部分运动、受力情况→其余运动、受力情况。 2. 解题基本步骤 确定研究对象→隔离物体→受力分析→建立坐 标系→列方程→解方程→结果讨论
8
大学物理学
第二章
质点动力学
例2.1 求图所示物体组的加速度及绳子的张力。 已知斜面夹角为30°，物体 A 的质量为 3m ， 物体 B 的质量为 m ，绳子不可伸长，绳子与滑 轮的质量及所有摩擦力均不计。
例2.8 摩托艇在水面上以速度 0 作匀速运动。 当关闭发动机后，它受到的水的阻力与速率成 正比。求：关闭发动机后，摩托艇行走距离 x 时阻力所作的功。
23
大学物理学
第二章
质点动力学
阻力做功 W
x
0
x
k x d x
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d t
d t
F m a v a d t r v d t r t
物体受力的几种情况：
力是常数
F k
如：
力是位置的函数 F F x F kx
弹性力
力是时间的函数 F F t F A cos t 策动力
力是速度的函数 F F v F kv
阻尼力
2、解题步骤：
（1）隔离物体 将所研究的物体从周围的物体中隔离出来，单独画出
即 F G m1m2
G 6 .6 7 2 5 9 1 0 1 1 m 3k g 1s 2
r2
地球内的物体 m 所受地球的引力为
F
G
m m r2
P
r O
m 为地球上以地心为圆心的半径为 r 的球的质量。
重力：地球表面附近的物体因地球吸引而受到的力，
方向竖直向下。 忽略地球自转，则
p2 y
p1y
注意：动量为状态量，冲量为过程量。
2.4.2 动量定理的应用
冲力的特点：作用时间极短，作用 力极大而且变化很快，如图所示。 因此，动量定理主要解决打击、碰 撞一类问题 ，这里重点强调其矢量 性。
F
F
Ｏ ｔ１
ｔ２ ｔ
平均冲力： 根据动量定理，质点动量的改变主要是由
碰撞过程中的冲量来决定。为了估计冲力的大小，引入
牛顿第一定律： 一个质点，如果没有受到其他物体的作用，就将保持其
静止或匀速直线运动状态。 或者说 一个自由粒子永远静止或作匀速直线运动。
牛顿第一定律 指明了任何物体都具有保持其原有运动 状态不变的特性――惯性，因此又称第一定律为惯性定 律。实际上第一定律所描述的是力处于平衡时物体的运 动规律。
它定性地阐明了力的涵义，力是改变物体运动状 态的原因。
可 见
力对时间的积累作用导致物体动量的变化。因此，冲量 的方向与动量增量的方向一致。如果力的方向不变，冲量的 方向才与力的方向一致。显然，当质点所受的合外力为零时， 动量守恒，它意味着质点作匀速直线运动。
动量定理的分量式： （对于二维运动）
Ix
t2 t1
Fxdt
p2x
p1x
Iy
t2 t1
Fydt
I y F y d m t2 s3 v i n m 0 1 s4 i v n F 5 y t
t 0.v 1 0 1 m 1 0s 2 v / 2 s m 0 m /2 s.5
研究人造地球卫星和远程导弹的运动，地心参考系是近 似程度相当好的惯性系。
在研究地球表面附近物体的运动时，地面系（或固定在 地面上的物体）就是近似程度相当好的惯性系。
Z 地面系
日心系
oY
X 地心系
2.1.2 力的概念
引力：存在于任何两个物体间的吸引力。是长程力。
电磁力：存在于静止电荷间的电性力及存在于运动电荷 间的电性力和磁性力，总称为电磁力。也是长程力。
它的受力图。
（2）受力分析 按重力、弹力、摩擦力的顺序分析物体的受力情况，画 出受力图。
（3）选取坐标系 根据物体的运动情况，选取适当的坐标系。若不知
轨道，取直角坐标系；若已知运动轨道，可取自然坐标 系；若物体作有心运动，取极坐标系。
（4）列方程，求解（对二维运动）
直角坐标系：
F xm axm d d v tx, F ym aym d d vty
自然坐标系：
Fmamd dvt, Fnmanmv2
极坐标系：
Fr
mar
d 2r
m
dt
2
r
d
dt
2
F
ma
mr
d 2
dt 2
2 dr d
dt dt
例2-1：计算一小球在水中竖直沉降的速度 ，已知
小的球阻质力量为为Ｒm＝ ，水－ 对v， 小Ｋ 式球中的K是浮一力常为量B，。水对小球运动
T
T
B 图2
在绳中任取一段l ，其质量
为 m ，如图3所示，根据牛顿第
二定律：
T1
l
T2T1ma
T2 图3
可见：重绳加速运动时，绳中各处的张力不等。 忽略绳的质量时，各点的张力才会相等。
（3）弹簧的弹力：又称弹性恢 复力。在弹性限度内，遵守胡 克定律：
F k x
F
k
o
x
x
4、摩擦力
滑动摩擦力：当物体间发生相对滑动时，在接触面上出现 的阻止物体间相对滑动的力。
大小：mv 方向：速度的方向 单位：kg ·m/s 量纲：MLT－1
2、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量） I
方向：速度变化的方向
单位：N·s
量纲：MLT－1
（1） 常力的冲量
I Ft
（2） 变力的冲量
F2 t2
Fi ti
F1 t1
Fn tn
I
I F 1 t 1 F 2 t 2 F n t n F i t i i
惯性系： 满足牛顿第一定律的参照系
非惯性系：牛顿第一定律不成立的参考系
a
甲
A
乙
甲看A:满足第一定律 乙看A:不满足第一定律
甲是惯性系， 乙是非惯性系
一个参考系是不是惯性系,只能由实验确定。
天体运动的研究指出：以太阳中心为原点,以指向某些恒 星的直线为坐标轴,则所观察到的天文现象都与 牛顿定律和 万有引力定律推出的结论相符合,因此,这样的日心参考系是 惯性系。
由于分子或原子都是由电荷组成的，它们之间的作用 力属于电磁力。
强相互作用力：强相互作用力存在于核子、介子、超子 等粒子之间的一种相互作用力，作用范围约在10-15米量 级, 比库仑力大约102 量级。
弱相互作用力：粒子之间的另一种作用力，力程短、力 弱，约为强相互作用的10－13 量级.弱相互作用导致衰 变。
2 2.2 力学中常见的力
行星
.21、开普勒行星三定律:
太阳
（1）行星的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
（2）行星的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。
（3）行星公转周期的平方与它们轨道半长径的立方成正比。
即
T2 a3
恒量
（恒量值决定于中心天体的质量 ）
2、万有引力和重力
万有引力：存在于任何两个物体之间的吸引力。
转动稳定后，桶内水面为一凹面，试确定水面的形
状。
解：如图所示 F m2x tan
mg mg
由水面构成的曲面满足：
tan d y
dx
Y
N
F
mg X
因此有 d y 2 x d x
g
积分得：
y 2 x2 2g
水面为一旋转抛物面
2 2.4 质点的动量定理 . 2.4.1 动量定理 41、动量 （描述质点运动状态，矢量） P mv
平均冲力的概念。
F
1
t2
Fdt
t2 t1 t1
解题步骤：
1）确定研究对象（质点） 2）进行受力分析 3）应用动量定理列方程：采用几何法，利用（1）式求 解；或采用解析法，利用（2）式求解。
例2.4.1、质量为2.5g的乒乓 球以10 m/s 的速率飞来，被 板推挡后，又以 20 m/s 的速 率飞出。设两速度在垂直于 板面的同一平面内，且它们 与板面法线的夹角分别为 45o 和30o，求：（1）乒乓 球得到的冲量；（2）若撞 击时间为0.01s，求板施于球 的平均冲力的大小和方向。
接触是产生弹性力的必要条件，而不是充分条件。
例：如图所示，试
分析静止圆球所受
N
的力。
圆球和斜面虽有接触但球与
斜面之间无相互作用的弹力。
G
（2）拉力：绳或线对物体的拉
力f ，其方向总是沿着绳而指向
P
f
绳要收缩的方向 ，如图1所示。
图1
绳被拉紧时， 绳的内部各段
之间的相互作用力T称为张力。如
A
图2 所示，绳中P点的张力T为A和 B两部分之间的相互作用力 。
解 ：受力分析如图所示： 根据牛顿第二定律，有
G－B－R＝ｍa
即a： ＝ ｄ ｄ vt＝ mｇ－ m B－ Kv
令： vＴ＝mｇK－B
Ｂ Ｒ
x
a
Ｇ
分离变量得：
vＴｄ－vv＝Ｋmｄt
初始条件：t=0 时 v=0
积分得：
v d v t K d t
0 vT v 0 m
lnvT v Kt
vT
m
Kt
质点动力学研究的是质点运动与力的关 系。本章学习的基本规律是牛顿定律以及由 此推出的三个质点运动定理：动量定理、动 能定理和角动量定理。重点学习这些基本规 律的应用。
自然和自然规律隐藏在黑暗之中，上帝 说“让牛顿降生吧”，一切就有了光明； 但是，光明并不久长，魔鬼又出现了，上 帝咆哮说：“让爱因斯坦降生吧”，就恢 复到现在这个样子。
实验表明： fk k N
F
方向与相对滑动的方向相反。
f
静摩擦力：当两个物体相对静止但有相对滑动趋势时，接 触面间产生的摩擦力。
实验表明，最大静摩擦力为
说明：
fmax sN
（1） 静摩擦力在达到最大值之前，其大小始终与外力相等，
而且随外力的变化而变化。 （2）擦系数 取决于接触面的材料和表面的粗糙程度。
三百年前，牛顿站在巨人的肩膀上，建
立了动力学三大定律和万有引力定律。若没
有后者，就不能充分显示前者的光辉。海王
星的发现，把牛顿力学推上荣耀的顶峰。
魔鬼的乌云并没有把牛顿力学推跨，她 在更加坚实的基础上确立了自己的使用范围。 宇宙时代，给牛顿力学带来了又一个繁花似 锦的春天。
2.1 牛顿运动定律
2.1.1 惯性定律和惯性参考系
2.1.3 牛顿第二定律
一般表述：物体受到外力作用时，所获得的加速度的大 小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，其方