相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法

在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种:

一、添加平行线构造“A”“X”型

例1:如图,D就是△ABC的BC边上的点,BD:DC=2:1,E就是AD的中

点,求:BE:EF的值、

解法一:过点D作CA的平行线交BF于点P,则

∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE:EF=5:1、

解法二:过点D作BF的平行线交AC于点Q,

∴BE:EF=5:1、

解法三:过点E作BC的平行线交AC于点S,

解法四:过点E作AC的平行线交BC于点T,

∵BD=2DC ∴∴BE:EF=5:1、

变式:如图,D就是△ABC的BC边上的点,BD:DC=2:1,E就是AD的中

点,连结BE并延长交AC于F,求AF:CF的值、

解法一:过点D作CA的平行线交BF于点P,

解法二:过点D作BF的平行线交AC于点Q,

解法三:过点E作BC的平行线交AC于点S,

解法四:过点E作AC的平行线交BC于点T,

例2:如图,在△ABC的AB边与AC边上各取一点D与E,且使AD＝AE,

DE延长线与BC延长线相交于F,求证:

(证明:过点C作CG//FD交AB于G)

例3:如图,△ABC中,AB

分析:证明等积式问题常常化为比例式,再通过相似三角形对应

边成比例来证明。不相似,因而要通过两组三角形相似,运用中

间比代换得到,为构造相似三角形,需添加平行线。、

方法一:过E作EM//AB,交BC于点M,则△EMC∽△ABC(两角对应

CE

BD

CF

BF

=

，

1

=

=

AE

DE

FE

PE

,

2

=

=

DC

BD

PF

BP

，

则2

=

=

EA

DA

EF

DQ

,3

=

=

DC

BC

DQ

BF

，

EF

EF

EF

EF

DQ

EF

BF

BE

5

6

3=

-

=

-

=

-

=

，

则DC

CT

DT

2

1

=

=

；

TC

BT

EF

BE

=，

DC

BT

2

5

=

相等,两三角形相似)、

方法二:过D 作DN//EC 交BC 于N 、

例4:在△ABC 中,D 为AC 上

的一点,E 为CB 延长线上的

一点,BE=AD,DE 交AB 于F 。

求证:EF ×BC=AC ×DF

证明:过D 作DG ∥BC 交AB 于G,则△DFG 与△EFB 相似,

∴ ∵BE ＝AD,∴ 由DG ∥BC 可得△ADG 与△ACB 相似,∴ 即 ∴EF ×BC ＝AC ×DF 、

例5:已知点D 就是BC 的中点,过D 点的直线交AC 于E,交

BA 的延长线于F,

求证: 分析:利用比例式够造平行线,通过中间比得结论 、

(或利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四

条线段分别构成两个三角形、)

例6:已知:在等腰三角形ABC 中,AB=AC,BD 就是高,求

证:BC 2=2AC ·CD

分析:本题的 重点在于如何解决“2”倍的 问题;让它归属一条线段,找到这一线段2倍就是哪一线段、

例7: 如图,△ABC 中,AD 就是BC 边上中线,E 就是

AC 上一点,连接ED 且交AB 的延长线于F 点、求

证:AE:EC=AF:BF 、

分析:利用前两题的 思想方法,借助中点构造中位

线,利用平行与2倍关系的 结论,证明所得结论、

找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似、 例8:在∆ABC 中,AB=AC,AD 就是中线,P 就是AD 上一点,过C 作CF ∥AB,延长BP 交AC 于E,交CF 于F,求证:BP ²=PE ·PF

分析:在同一直线上的三条线段成比例,可以通过中间比转化,也可以通过线段相等,把共线的线段转化为两个三角形中的线段,通过相似证明、另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关

系,有利于证明、

二、作垂线构造相似直角三角形

例9:如图从 ABCD 顶点C 向AB 与AD 的

延长线引垂线CE 与CF,垂足分别为E 、F,

求证: 证明:过B 作BM ⊥AC 于M,过D 作DN ⊥AC

于N

∴ AM:AE=AB:AC EC AE BF AF =2

AC AF AD AE AB =⋅+⋅DG DF BE EF =DG DF AD EF =DG AD BC AC =DG BC AD AC =AM AC AE AB ⋅=⋅