专题(一)等腰三角形性质与判定精美课件
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北师· 数学
类型之三：活用等腰三角形的“三线合一” 8．已知等腰三角形ABC的周长为40 cm，AD为底边上的高， △ABD的周长为30 cm，则AD＝ 10 cm． 9．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC， AB，AC上，BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点 求证：DG⊥EF.
7 解得x＝ 3
80 ，∴△ABD的周长为 3
北师· 数学
14．已知△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D 为 BC 的中点，AE＝CF， 连 DE，EF. (1)如图，若 E，F 分别在 AB，AC 上，求证：EF＝ 2DE； (2)若 E，F 分别在 BA，AC 的延长线上，则(1)中的结论是否仍成立？ 请说明理由．
北师· 数学
12．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，D 为AB边上一点，若AD＝1，BD＝3，求CD的长．
解：连接AE，易证△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°， ∴∠EAD＝90°，DE2＝AD2＋AE2＝AD2＋BD2＝10， CD2＋CE2＝DE2，∴CD＝ 5
北师· 数学
专题训练(一)
等腰三角形性质与判定的运用
wk.baidu.com
类型之一：分类讨论的思想在等腰三角形中的运用 C 1．已知等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角为 ( ) A．80° B．20° C．80°或20° D．80°或40° 2．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰 A 三角形的底角为( ) A．75°或15° B．36°或60°C．75° D．30° 3．若等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，则这个 25 等腰三角形的周长为 ___ cm．
y y＋ ＝12， 2
x＝11， 解得 ∵8＋8＞11，∴此种情况成立； y＝8，
y y＋ ＝15， 2 x＝7， 若 解得 ∵10＋10＞7，∴此种情况成立． y y＝10， x＋ ＝12， 2 答：等腰三角形的底边长为 7 cm 或 11 cm
北师· 数学
类型之二：角平分线＋平行线(或垂线)⇒等腰三角形 5．如图，△ABC中，CD是角平分线且交AB于D，DE∥BC， 交AC于E，若DE＝3 cm，AE＝4 cm，则AC＝ 7cm ____ ． 6．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D， ∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，若AF＝4，BF＝9， 4 ． 则AE＝ ____
第5题图
第6题图 北师· 数学
7．如图，点P是△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP的 交点，PD∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：BD－CE＝DE.
解：∵PD∥BC，∴∠BPD＝∠PBC，∠CPD＝∠PCF，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACF， ∴∠DBP＝∠PBC，∠ECP＝∠PCF， ∴∠BPD＝∠DBP，∠CPD＝∠ECP，∴BD＝PD，CE＝PE， ∴BD－CE＝PD－PE＝DE
解：连接DE，DF，易证△BDE≌△CFD，∴DE＝DF，
又∵G是EF的中点，∴DG⊥EF
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10．如图，在四边形ABDC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC， AD＝BD. 求证：CD⊥AC.
解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD＝BD，∴AB＝2AE， ∵AB＝2AC，∴AE＝AC，易证△AED≌△ACD， ∴∠ACD＝∠AED＝90°，∴CD⊥AC
解：设它的底边长为x cm，腰长为y cm，
若解得∵8＋8＞11，∴此种情况成立； 若解得∵10＋10＞7，∴此种情况成立． 答：等腰三角形的底边长为7 cm或11 cm
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• 4．已知等腰三角形一腰上的中线把三角 形的周长分成12 cm和15 cm两部分，求 它的底边长．
解：设它的底边长为 x cm，腰长为 y cm，若 y x＋2＝15，
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类型之四：等腰三角形与勾股定理的综合运用 11．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB于点A， 若BC＝6 cm，求AB的长．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠ADB＝60°， 又∠CAD＝60°－30°＝30°， ∴∠CAD＝∠C， ∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∠B＝30°， ∴BD＝2AD＝2CD，∵BC＝6 cm， ∴BD＝4 cm，AD＝CD＝2 cm， ∴AB＝＝2 cm
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13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 点D为射线AC上一点，且△ABD为等腰三角形， 求△ABD的周长．
解：AB＝10，分三种情况： ①若AD＝AB＝10，△ABD的周长为20＋4 5 ； ②若BD＝AB＝10，△ABD的周长为32； ③若AD＝BD，设CD＝x，∴x2＋82＝(x＋6)2，
解：(1)连 DF，AD，由等腰三角形的三线合一，可得 1 ∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝45°，AD⊥BC， 2 ∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠C＝45°，∴AD＝CD， 易证△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∴∠EDF＝∠ADE＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF＝∠ADC＝90°， 在 Rt△EDF 中，由勾股定理，得 DE2＋DF2＝EF2， 又 DE＝DF，∴EF＝ 2DE (2)成立，证法同(1)
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类型之三：活用等腰三角形的“三线合一” 8．已知等腰三角形ABC的周长为40 cm，AD为底边上的高， △ABD的周长为30 cm，则AD＝ 10 cm． 9．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC， AB，AC上，BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点 求证：DG⊥EF.
7 解得x＝ 3
80 ，∴△ABD的周长为 3
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14．已知△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D 为 BC 的中点，AE＝CF， 连 DE，EF. (1)如图，若 E，F 分别在 AB，AC 上，求证：EF＝ 2DE； (2)若 E，F 分别在 BA，AC 的延长线上，则(1)中的结论是否仍成立？ 请说明理由．
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12．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，D 为AB边上一点，若AD＝1，BD＝3，求CD的长．
解：连接AE，易证△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°， ∴∠EAD＝90°，DE2＝AD2＋AE2＝AD2＋BD2＝10， CD2＋CE2＝DE2，∴CD＝ 5
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等腰三角形性质与判定的运用
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类型之一：分类讨论的思想在等腰三角形中的运用 C 1．已知等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角为 ( ) A．80° B．20° C．80°或20° D．80°或40° 2．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰 A 三角形的底角为( ) A．75°或15° B．36°或60°C．75° D．30° 3．若等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，则这个 25 等腰三角形的周长为 ___ cm．
y y＋ ＝12， 2
x＝11， 解得 ∵8＋8＞11，∴此种情况成立； y＝8，
y y＋ ＝15， 2 x＝7， 若 解得 ∵10＋10＞7，∴此种情况成立． y y＝10， x＋ ＝12， 2 答：等腰三角形的底边长为 7 cm 或 11 cm
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类型之二：角平分线＋平行线(或垂线)⇒等腰三角形 5．如图，△ABC中，CD是角平分线且交AB于D，DE∥BC， 交AC于E，若DE＝3 cm，AE＝4 cm，则AC＝ 7cm ____ ． 6．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D， ∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，若AF＝4，BF＝9， 4 ． 则AE＝ ____
第5题图
第6题图 北师· 数学
7．如图，点P是△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP的 交点，PD∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：BD－CE＝DE.
解：∵PD∥BC，∴∠BPD＝∠PBC，∠CPD＝∠PCF，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACF， ∴∠DBP＝∠PBC，∠ECP＝∠PCF， ∴∠BPD＝∠DBP，∠CPD＝∠ECP，∴BD＝PD，CE＝PE， ∴BD－CE＝PD－PE＝DE
解：连接DE，DF，易证△BDE≌△CFD，∴DE＝DF，
又∵G是EF的中点，∴DG⊥EF
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10．如图，在四边形ABDC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC， AD＝BD. 求证：CD⊥AC.
解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD＝BD，∴AB＝2AE， ∵AB＝2AC，∴AE＝AC，易证△AED≌△ACD， ∴∠ACD＝∠AED＝90°，∴CD⊥AC
解：设它的底边长为x cm，腰长为y cm，
若解得∵8＋8＞11，∴此种情况成立； 若解得∵10＋10＞7，∴此种情况成立． 答：等腰三角形的底边长为7 cm或11 cm
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• 4．已知等腰三角形一腰上的中线把三角 形的周长分成12 cm和15 cm两部分，求 它的底边长．
解：设它的底边长为 x cm，腰长为 y cm，若 y x＋2＝15，
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类型之四：等腰三角形与勾股定理的综合运用 11．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB于点A， 若BC＝6 cm，求AB的长．
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠ADB＝60°， 又∠CAD＝60°－30°＝30°， ∴∠CAD＝∠C， ∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∠B＝30°， ∴BD＝2AD＝2CD，∵BC＝6 cm， ∴BD＝4 cm，AD＝CD＝2 cm， ∴AB＝＝2 cm
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13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 点D为射线AC上一点，且△ABD为等腰三角形， 求△ABD的周长．
解：AB＝10，分三种情况： ①若AD＝AB＝10，△ABD的周长为20＋4 5 ； ②若BD＝AB＝10，△ABD的周长为32； ③若AD＝BD，设CD＝x，∴x2＋82＝(x＋6)2，
解：(1)连 DF，AD，由等腰三角形的三线合一，可得 1 ∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝45°，AD⊥BC， 2 ∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠C＝45°，∴AD＝CD， 易证△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∴∠EDF＝∠ADE＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF＝∠ADC＝90°， 在 Rt△EDF 中，由勾股定理，得 DE2＋DF2＝EF2， 又 DE＝DF，∴EF＝ 2DE (2)成立，证法同(1)
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