第一章 量子力学基础
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2017/11/13 7
E ( , T ) 对 2
1900年，普朗克(M. Planck)量子化假设： ①黑体内分子、原子做简谐振动，称谐振子， 黑体是由不同频率的谐振子组成。谐振子的能 量是不连续的，只能取某一最小的能量单位0 的整数倍，0被称为能量子，它正比于振子频 率： E = n0 0=hγ0
n1=4
普丰德系（Prfund）
2017/11/13
n1=5
n2 =6，7...
远红外区
18
1913年玻尔理论（旧量子论）
①原子存在具有确定能量的状态—定态（能量最低 的叫基态，其它叫激发态），定态不辐射。 ②定态（E2）→定态（E1）跃迁,辐射能量。
1 E2 E1 h ——玻尔频率规则
h 6.6262 1034 10 7 10 m 31 6 m v 9.1 10 1.0 10
这个波长相当于分子大小的数量级，说明分子和原子中电 子运动的波动性显著的。
（2）求1.0×10-3kg的宏观粒子以1.0×10-2m· s-1的速度运 动时的波长。
h 6.6262 1034 29 6 . 6262 10 m 3 2 m v 1 10 1.0 10
这个波长太小，观察不到波动效应。
2017/11/13 27
例3
计算动能为300eV的电子的德布罗意波长. 解: 已知 h=6.62610-27ergsec m=9.1110-28g 1eV=1.60210-12erg 由 2
p T 2m
p 2mT
h
因此
h p
2mT
6.626 1027
2017/11/13 2
结构化学是在原子、分子的水平上，深入到电 子层次，研究物质的微观结构及其宏观性能关 系的科学。 宏观物体的运动可用经典力学解释，微观粒 子的运动遵循量子力学。对高速运动物体的研 究导致了相对论的诞生；对微观体系的运动的 研究导致了量子力学的诞生，相对论与量子力 学是二十世纪物理学的两大支柱。 1927年，海特勒和伦敦运用量子力学成功解 释了氢分子的成因，标志着量子化学的诞生， 使化学由经验科学向理论科学过渡。
既能计算能量分布曲线的极大值，导出维恩位 移定律，推出斯芯潘公式；又能在高温低频时还 原成瑞利-金斯的结果，说明高频时能量密度趋于 零。
2017/11/13 9
2．光电效应与光子学说(光的粒子性) 光电效应：光照在金属表面上，金属发射 出电子的现象。金属中的电子从光获得足 够的能量而逸出金属，称为光电子，由光 电子组成的电流叫光电流。 ①在有两个电极的真空玻璃管两极分别加 上正负电压。当光照在正极上，没有电流 产生；而当光照在负极上则产生电流，光 电流强度与光的强度成正比。
③电子轨道角动量
h h M me vr n n ( = ) n=1,2,3,…… 2 2
2017/11/13 19
2017/11/13
20
2017/11/13
21
当氢原子核外电子在半径为r的圆形轨道上以速度为v运动 时，受到的离心力与核对电子的库仑引力相等。 me 为电子质量 mev 2 e2 0 为真空电容率 r 40 r 2
mee4 RH 2 2.179 1018 J 13.6eV 8 h
4
2017/11/13
23
氢原子的半径和能量都是量子化的。若电子在两能级间跃 迁吸收或发射的电磁波满足：
1 1 hv En2 En1 RH ( 2 2 ) n1 n2 RH 1 1 (1 1) ( 2 2) R H 2 2 hc n1 n2 n1 n2
2017/11/13 4
绝对的黑体是不存 在的，带有一个微 孔的空心金属球， 非常接近于黑体。 进入金属球小孔的辐射，经过多次 吸收、反射，使射入的辐射全部被吸 收。当空腔在吸收能量的同时也不断 从小孔辐射能量，物别是受热时会更 明显。通过小孔逸出的电磁波是一个 连续谱，比同温度下任何其它物体表 面的辐射都强，即为黑体辐射。
莱曼系（Lyman） n1=1 巴尔麦线系（Balmer） n1=2 帕邢系（Paschen） 布拉开系（Brackett）
n2 =2，3... 远紫外区 n2 =3，4... Hα，Hβ，Hγ， Hδ为可见区，其 余为近紫外区 n1=3 n2 =4，5... 近红外区 n2 =5，6... 远红外区
根据光波的经典图象，光波的能量与它 的强度（振幅的平方）成正比，而与频率 无关。因此只要有足够的强度，任何频率 的光都能产生光电效应，而电子的动能将 随着光强的增加而增加，与光的频率无关， 这些经典物理学家的推测与实验事实不符。 1905年爱因斯坦（A. Einstein）依据 普朗克的能量子的思想，提出了光子说， 圆满地解释了光电效应。
2017/11/13
ห้องสมุดไป่ตู้10
Ek
0
ν0
ν
②对于每一种金属电极， 仅当入射光的频率大于 某一频率时，才有电流 产生，称临阈频率，与 金属性质有关。 ③光电效应产生的电子 的初动能随光的频率增 大而增加而与光的强度 无关。 ④入射光照射到金属表 面立即有电子逸出，二 者几乎无时间差。
11
2017/11/13
实物粒子：静止质量不为零的微观粒子。如电子、质子、 中子、原子、分子等。 1924年德布罗意（de Broglie）提出实物粒子也具有波 粒二象性：
h h p mv
h
λ为物质波的波长，P为粒子的动 量，h为普郎克常数, ε为粒子能 量，γ为物质波频率。
2017/11/13
25
2.物质波的实验证实—电子衍射
m
m0
1 (v / c )
2
对于光子ν=c，所以静止质量m0为0，光子无静止质量。
2017/11/13 13
④光子有动量P
mc 2 h h P mc c c
⑤光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒。
1 2 h W Ek h 0 m 2
——光电方程或爱因斯坦关系式
2017/11/13 5
5 4
E( v,T)10-9J.m-2
max
2000K
3 2 1
1000K
①随着温度（T）的增加， 总辐射能量E（即曲线下的面积） 急剧增加。 E T 4 ( 5.67 108W m2 K 4 )
——斯芯蕃公式
1500k
0
1
v/1014s-1
2
3
1.097373 107 m 1 R H
玻尔理论不仅成功地解释了当时 已知的氢原子光谱n1=2,3,4,…的 巴尔麦线系、帕刑线系、布喇开 线系，而且还预测到n1=1的赖曼线 系的存在。1915年赖曼线系在远 紫外区被发现。1922获诺贝尔物 理学奖。
2017/11/13 24
二、实物粒子的波粒二象性 1.德布罗意假说(粒子的波动性)
γ0为谐振子的频率，h为普朗克（planck）常数
h = 6.624×10-27erg.sec = 6.624×10-34 J.s
2017/11/13 8
②谐振子的能量变化不连续，能量变化是0的整 数倍。 E=n20-n10=（n2-n1）0 普朗克用瑞利-金斯相同的方法推导出：
8 h 3 d E ( , T )d h / kT 3 c e 1
0 h 2 2 2 r n 52.9 n ( pm) 2 mee
n=1，2，3，...
当n=1,r=52.9pm为氢原子基态的半径，称为玻尔半径(a0)
2017/11/13
22
氢原子的总能量：
mev 2 e2 E T V 2 40 r
me e 1 E 2 2 RH 2 8 h n n
2017/11/13 3
§1-1量子力学产生的背景
一、经典物理学的困难与旧量子论的诞生 1.黑体辐射与普朗克（ planck）的量子论 任何物体都能受激吸收能量，又能自发辐射能量。 物体在低温时能吸收什么波长的电磁波，在高温时 就会发射同样波长的电磁波。吸收光的本领越强的 物体就越黑，高温时发光的本领就越强，因而越白。 黑体：一种能100%吸收照射到它上面的各种波长 的光，同时也能发射各种波长光的物体。
2017/11/13
1
教学要求: 1.掌握微观粒子的运动特征、量子力学基本假设。 2.掌握一维势箱中粒子的Schrodinger方程及其解。 3.掌握微观粒子的波粒二象性、德布罗意关系式和 测不准关系。 4.掌握波函数的合格条件和正交归一性；波函数的 物理意义。 5.掌握常见物理量的算符形式、算符的本征函数、 本征值、本征方程的概念； 6.掌握平均值公式及其简单应用。 7.掌握定态薛定谔方程的直角坐标形式及物理意义。 8.掌握一维势箱粒子的概念、势函数、薛定谔方程 及其解的应用，了解一维势箱结果对三维势箱的 简单扩展。
2017/11/13
12
0 h 。 ①光的能量是量子化的，最小能量单位是光子， ②光为一束以光速运动的光子流，光的强度I正比于光子 的密度ρ，ρ为单位体元内光子的数目。
I h
③光子具有质量m，根据质能联系定律：
h h m 2 c c
光子的质量与光的频率或波长有关，但光子没有静止质 量，根据相对论原理：
2 9.11 1028 300 1.602 1012 7.08 109 (cm)
2017/11/13 28
实物微粒波代表什么物理意义呢？
1926年，玻恩（Born）提出实物微粒波的统计解释。空间 任何一点上波的强度（振幅绝对值的平方）和粒子出现的几 率成正比，称为几率波。 机械波是介质质点的振动，电磁波是电场和磁场的振动在 空间的传播，而实物微粒波的强度反映粒子几率出现的大小， 称几率波。较强的电子流可在短时间内得到电子衍射照片， 但用很弱的电子流，让电子先后一个一个地到达底片，只要 时间足够长，也能得到同样的衍射图形。电子衍射不是电子 之间相互作用的结果，而是电子本身运动的所固有的规律性。 电子的波性是和微 粒行为的统计性联 系在一起的。
8 2 kT E ( , T )d d 3 c
作图应为一抛物线，在长波处很接近 实验曲线，在短波长处与实验结果（能量趋于零） 显著不符（紫外灾难）。Wein（维恩）用经典热 力学进行解释，假设辐射按波长的分布类似于 Maxwell的分子速率分布，所得公式在短波处与实 验比较接近，但长波处与实验曲线相差很大。
2017/11/13 15
3．氢原子光谱与玻尔的氢原子模型 当原子被电火花、电弧或其它方法激发 时，能够发出一系列具有一定频率（或波 长）的光谱线，这些光谱线构成原子光谱。
2017/11/13
16
2017/11/13
17
1 1 1 RH 2 2 n2 n1 H为里德堡常数， R H = 1.09677576×107m-1 R
②随着温度（T）的增加，E的 极大值向高频移动；曲线的峰值 对应于辐射最强的频率，相应的 波长max 随温度升高而发生位移。
maxT 2.9 103 mK
——维恩位移定律
黑体在不同温度下辐射的能量分布曲线
2017/11/13
6
Rayleigh-Jeans（瑞利-金斯）用经典电动力学 和统计力学进行分析，把分子物理学中能量按自 由度均分的原则用到电磁辐射上，推导出黑体辐 射平衡时，频率在-d范围内强度公式：
1927年，戴维逊(Dawison)—革末(Germer)的镍单晶体电 子衍射实验，汤姆逊(G.P.Thomson)的多晶体电子衍射实验 发现，电子入射到金属晶体上产生与光入射到晶体上同样的 衍射条纹，证实了德布罗意假说。
2017/11/13
26
例2 （1）求以1.0×106m· s-1的速度运动的电子的波长。
光照射到金属上，当金属中的一个电子受到一 个光子撞击时，产生光电效应，光子消失，并把 它的能量转移给电子。电子吸收的能量一部分用 于克服金属对它的束缚力，其余表现出光电子的 动能。
2017/11/13 14
当hγ<W（脱出功）时，光子没有足够的能量使 电子逸出金属，不发生光电效应。当hγ=W时，这 时的频率是产生光电效应的临阈频率（γ0）。当 hv>W时,从金属中发射的电子具有一定的动能,它 随频率的增加而增加,与光强无关。但增加光的强 度可增加光束中单位体积内的光子数，因而增加 发射电子的速率。 只有把光看成是由光子组成的才能理解光电效 应，而只有把光看成波才能解释衍射和干涉现象, 光表现出波粒二象性。
E ( , T ) 对 2
1900年，普朗克(M. Planck)量子化假设： ①黑体内分子、原子做简谐振动，称谐振子， 黑体是由不同频率的谐振子组成。谐振子的能 量是不连续的，只能取某一最小的能量单位0 的整数倍，0被称为能量子，它正比于振子频 率： E = n0 0=hγ0
n1=4
普丰德系（Prfund）
2017/11/13
n1=5
n2 =6，7...
远红外区
18
1913年玻尔理论（旧量子论）
①原子存在具有确定能量的状态—定态（能量最低 的叫基态，其它叫激发态），定态不辐射。 ②定态（E2）→定态（E1）跃迁,辐射能量。
1 E2 E1 h ——玻尔频率规则
h 6.6262 1034 10 7 10 m 31 6 m v 9.1 10 1.0 10
这个波长相当于分子大小的数量级，说明分子和原子中电 子运动的波动性显著的。
（2）求1.0×10-3kg的宏观粒子以1.0×10-2m· s-1的速度运 动时的波长。
h 6.6262 1034 29 6 . 6262 10 m 3 2 m v 1 10 1.0 10
这个波长太小，观察不到波动效应。
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例3
计算动能为300eV的电子的德布罗意波长. 解: 已知 h=6.62610-27ergsec m=9.1110-28g 1eV=1.60210-12erg 由 2
p T 2m
p 2mT
h
因此
h p
2mT
6.626 1027
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结构化学是在原子、分子的水平上，深入到电 子层次，研究物质的微观结构及其宏观性能关 系的科学。 宏观物体的运动可用经典力学解释，微观粒 子的运动遵循量子力学。对高速运动物体的研 究导致了相对论的诞生；对微观体系的运动的 研究导致了量子力学的诞生，相对论与量子力 学是二十世纪物理学的两大支柱。 1927年，海特勒和伦敦运用量子力学成功解 释了氢分子的成因，标志着量子化学的诞生， 使化学由经验科学向理论科学过渡。
既能计算能量分布曲线的极大值，导出维恩位 移定律，推出斯芯潘公式；又能在高温低频时还 原成瑞利-金斯的结果，说明高频时能量密度趋于 零。
2017/11/13 9
2．光电效应与光子学说(光的粒子性) 光电效应：光照在金属表面上，金属发射 出电子的现象。金属中的电子从光获得足 够的能量而逸出金属，称为光电子，由光 电子组成的电流叫光电流。 ①在有两个电极的真空玻璃管两极分别加 上正负电压。当光照在正极上，没有电流 产生；而当光照在负极上则产生电流，光 电流强度与光的强度成正比。
③电子轨道角动量
h h M me vr n n ( = ) n=1,2,3,…… 2 2
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当氢原子核外电子在半径为r的圆形轨道上以速度为v运动 时，受到的离心力与核对电子的库仑引力相等。 me 为电子质量 mev 2 e2 0 为真空电容率 r 40 r 2
mee4 RH 2 2.179 1018 J 13.6eV 8 h
4
2017/11/13
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氢原子的半径和能量都是量子化的。若电子在两能级间跃 迁吸收或发射的电磁波满足：
1 1 hv En2 En1 RH ( 2 2 ) n1 n2 RH 1 1 (1 1) ( 2 2) R H 2 2 hc n1 n2 n1 n2
2017/11/13 4
绝对的黑体是不存 在的，带有一个微 孔的空心金属球， 非常接近于黑体。 进入金属球小孔的辐射，经过多次 吸收、反射，使射入的辐射全部被吸 收。当空腔在吸收能量的同时也不断 从小孔辐射能量，物别是受热时会更 明显。通过小孔逸出的电磁波是一个 连续谱，比同温度下任何其它物体表 面的辐射都强，即为黑体辐射。
莱曼系（Lyman） n1=1 巴尔麦线系（Balmer） n1=2 帕邢系（Paschen） 布拉开系（Brackett）
n2 =2，3... 远紫外区 n2 =3，4... Hα，Hβ，Hγ， Hδ为可见区，其 余为近紫外区 n1=3 n2 =4，5... 近红外区 n2 =5，6... 远红外区
根据光波的经典图象，光波的能量与它 的强度（振幅的平方）成正比，而与频率 无关。因此只要有足够的强度，任何频率 的光都能产生光电效应，而电子的动能将 随着光强的增加而增加，与光的频率无关， 这些经典物理学家的推测与实验事实不符。 1905年爱因斯坦（A. Einstein）依据 普朗克的能量子的思想，提出了光子说， 圆满地解释了光电效应。
2017/11/13
ห้องสมุดไป่ตู้10
Ek
0
ν0
ν
②对于每一种金属电极， 仅当入射光的频率大于 某一频率时，才有电流 产生，称临阈频率，与 金属性质有关。 ③光电效应产生的电子 的初动能随光的频率增 大而增加而与光的强度 无关。 ④入射光照射到金属表 面立即有电子逸出，二 者几乎无时间差。
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2017/11/13
实物粒子：静止质量不为零的微观粒子。如电子、质子、 中子、原子、分子等。 1924年德布罗意（de Broglie）提出实物粒子也具有波 粒二象性：
h h p mv
h
λ为物质波的波长，P为粒子的动 量，h为普郎克常数, ε为粒子能 量，γ为物质波频率。
2017/11/13
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2.物质波的实验证实—电子衍射
m
m0
1 (v / c )
2
对于光子ν=c，所以静止质量m0为0，光子无静止质量。
2017/11/13 13
④光子有动量P
mc 2 h h P mc c c
⑤光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒。
1 2 h W Ek h 0 m 2
——光电方程或爱因斯坦关系式
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E( v,T)10-9J.m-2
max
2000K
3 2 1
1000K
①随着温度（T）的增加， 总辐射能量E（即曲线下的面积） 急剧增加。 E T 4 ( 5.67 108W m2 K 4 )
——斯芯蕃公式
1500k
0
1
v/1014s-1
2
3
1.097373 107 m 1 R H
玻尔理论不仅成功地解释了当时 已知的氢原子光谱n1=2,3,4,…的 巴尔麦线系、帕刑线系、布喇开 线系，而且还预测到n1=1的赖曼线 系的存在。1915年赖曼线系在远 紫外区被发现。1922获诺贝尔物 理学奖。
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二、实物粒子的波粒二象性 1.德布罗意假说(粒子的波动性)
γ0为谐振子的频率，h为普朗克（planck）常数
h = 6.624×10-27erg.sec = 6.624×10-34 J.s
2017/11/13 8
②谐振子的能量变化不连续，能量变化是0的整 数倍。 E=n20-n10=（n2-n1）0 普朗克用瑞利-金斯相同的方法推导出：
8 h 3 d E ( , T )d h / kT 3 c e 1
0 h 2 2 2 r n 52.9 n ( pm) 2 mee
n=1，2，3，...
当n=1,r=52.9pm为氢原子基态的半径，称为玻尔半径(a0)
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22
氢原子的总能量：
mev 2 e2 E T V 2 40 r
me e 1 E 2 2 RH 2 8 h n n
2017/11/13 3
§1-1量子力学产生的背景
一、经典物理学的困难与旧量子论的诞生 1.黑体辐射与普朗克（ planck）的量子论 任何物体都能受激吸收能量，又能自发辐射能量。 物体在低温时能吸收什么波长的电磁波，在高温时 就会发射同样波长的电磁波。吸收光的本领越强的 物体就越黑，高温时发光的本领就越强，因而越白。 黑体：一种能100%吸收照射到它上面的各种波长 的光，同时也能发射各种波长光的物体。
2017/11/13
1
教学要求: 1.掌握微观粒子的运动特征、量子力学基本假设。 2.掌握一维势箱中粒子的Schrodinger方程及其解。 3.掌握微观粒子的波粒二象性、德布罗意关系式和 测不准关系。 4.掌握波函数的合格条件和正交归一性；波函数的 物理意义。 5.掌握常见物理量的算符形式、算符的本征函数、 本征值、本征方程的概念； 6.掌握平均值公式及其简单应用。 7.掌握定态薛定谔方程的直角坐标形式及物理意义。 8.掌握一维势箱粒子的概念、势函数、薛定谔方程 及其解的应用，了解一维势箱结果对三维势箱的 简单扩展。
2017/11/13
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0 h 。 ①光的能量是量子化的，最小能量单位是光子， ②光为一束以光速运动的光子流，光的强度I正比于光子 的密度ρ，ρ为单位体元内光子的数目。
I h
③光子具有质量m，根据质能联系定律：
h h m 2 c c
光子的质量与光的频率或波长有关，但光子没有静止质 量，根据相对论原理：
2 9.11 1028 300 1.602 1012 7.08 109 (cm)
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实物微粒波代表什么物理意义呢？
1926年，玻恩（Born）提出实物微粒波的统计解释。空间 任何一点上波的强度（振幅绝对值的平方）和粒子出现的几 率成正比，称为几率波。 机械波是介质质点的振动，电磁波是电场和磁场的振动在 空间的传播，而实物微粒波的强度反映粒子几率出现的大小， 称几率波。较强的电子流可在短时间内得到电子衍射照片， 但用很弱的电子流，让电子先后一个一个地到达底片，只要 时间足够长，也能得到同样的衍射图形。电子衍射不是电子 之间相互作用的结果，而是电子本身运动的所固有的规律性。 电子的波性是和微 粒行为的统计性联 系在一起的。
8 2 kT E ( , T )d d 3 c
作图应为一抛物线，在长波处很接近 实验曲线，在短波长处与实验结果（能量趋于零） 显著不符（紫外灾难）。Wein（维恩）用经典热 力学进行解释，假设辐射按波长的分布类似于 Maxwell的分子速率分布，所得公式在短波处与实 验比较接近，但长波处与实验曲线相差很大。
2017/11/13 15
3．氢原子光谱与玻尔的氢原子模型 当原子被电火花、电弧或其它方法激发 时，能够发出一系列具有一定频率（或波 长）的光谱线，这些光谱线构成原子光谱。
2017/11/13
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1 1 1 RH 2 2 n2 n1 H为里德堡常数， R H = 1.09677576×107m-1 R
②随着温度（T）的增加，E的 极大值向高频移动；曲线的峰值 对应于辐射最强的频率，相应的 波长max 随温度升高而发生位移。
maxT 2.9 103 mK
——维恩位移定律
黑体在不同温度下辐射的能量分布曲线
2017/11/13
6
Rayleigh-Jeans（瑞利-金斯）用经典电动力学 和统计力学进行分析，把分子物理学中能量按自 由度均分的原则用到电磁辐射上，推导出黑体辐 射平衡时，频率在-d范围内强度公式：
1927年，戴维逊(Dawison)—革末(Germer)的镍单晶体电 子衍射实验，汤姆逊(G.P.Thomson)的多晶体电子衍射实验 发现，电子入射到金属晶体上产生与光入射到晶体上同样的 衍射条纹，证实了德布罗意假说。
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例2 （1）求以1.0×106m· s-1的速度运动的电子的波长。
光照射到金属上，当金属中的一个电子受到一 个光子撞击时，产生光电效应，光子消失，并把 它的能量转移给电子。电子吸收的能量一部分用 于克服金属对它的束缚力，其余表现出光电子的 动能。
2017/11/13 14
当hγ<W（脱出功）时，光子没有足够的能量使 电子逸出金属，不发生光电效应。当hγ=W时，这 时的频率是产生光电效应的临阈频率（γ0）。当 hv>W时,从金属中发射的电子具有一定的动能,它 随频率的增加而增加,与光强无关。但增加光的强 度可增加光束中单位体积内的光子数，因而增加 发射电子的速率。 只有把光看成是由光子组成的才能理解光电效 应，而只有把光看成波才能解释衍射和干涉现象, 光表现出波粒二象性。