韦达定理法

韦达定理法

利用一元二次方程的韦达定理(即根与系数的关系)解题的方

法叫做韦达定理法，它是处理解析几何问题的一个主要技巧．

(一)关于弦中点问题

例1 已知点M(2，2)是椭圆x2＋4y2-2x-12y＋6=0内部一点，过M作直线l 交此椭圆于两点A、B，使M为弦AB的中点，求直线l的方程．

【解法1】先考察过M点斜率不存在的直线x=2．由于点M不

再考察过M点斜率存在的直线．设直线l的方程为y-2=k(x-2)，即y=kx-2k ＋2，把它代入椭圆方程中，整理，得

(1+4k2)x2-2(8k2-2k+1)x+2(8k2-4k-1)=0．

设A、B的横坐标分别为x1、x2，则由韦达定理，得

又由中点坐标公式，得

即 x+2y-6=0．

把它代入椭圆的方程中，整理，得

(cos2α+4sin2α)t2+2(cosα+2sinα)t-2=0．

∵M是弦AB的中点，∴由韦达定理，得

即 x＋2y-6=0．

【解说】已知圆锥曲线内一点，求以该点为中点的弦所在的直线方程，用韦达定理法去解，一般有上述两种方法．

B1、B2，且A为B1B2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果m 不存在，说明理由．

【解】设所求的直线方程为y=k(x-1)+1，代入双曲线方程中，整理，可得

(2-k2)x2+2(k2-k)x-(k2-2k+3)=0．

设B1(x1，y1)、B2(x2，y2)，则A为B1B2中点的充要条件为

解②，得k=2．代入①中，不适合．

故满足题中条件的直线m不存在．

【解说】由本例可知，应用韦达定理法解直线与圆锥曲线相交的问题时，要注意直线与圆锥曲线相交的条件，即判别式不小于零是应用韦达定理的先决条件．

(二)弦长问题

例3 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，被直线y=2x＋1截得

【解】设抛物线的方程为y2=2px，把y=2x＋1代入抛物线方程中，整理，得

4x2+2(2-p)x＋1=0．

∵Δ=[2(2-p)]2-4×4×1＞0，

∴p＜0或p＞4．

设直线与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则

解之，得p1=-2，p2=6．

故所求的抛物线方程为y2=-4x或y2=12x．

【解说】直线与二次曲线相交，截得弦长，一般可用公式|AB|=

、x2分别是点A、B的横坐标．

(三)线段关系式

例4 已知抛物线C：y2=4x和定点R(0，-2)，是否存在过定点R的直线l，交抛物线C于P、Q两点，使|PQ|2=|RP|·|RQ|，若存在，求其方程，若不存在，说明理由．

【解】如图2－10，设所求的直线为y=kx-2，把它代入y2=4x中，整理，得

k2x2-4(k+1)x+4=0．

当Δ=[-4(k＋1)]2-16k2＞0，

分别过P、Q作x轴的垂线，垂足为A、B，则由|PQ|2=|RP|·|RQ|，得

|AB|2=|OA|·|OB|，

∴|x Q-x P|2=x P·x Q，

即(x P+x Q)2 -5x P x Q=0．

故符合题意的直线l存在，其方程为

例5 已知点M(x1，y1)在第一象限内，过M的两个圆与两坐标都相切，且它们的半径分别为r1、r2(r1≠r2)，求证：

【证明】设过点M的两个圆为⊙O1、⊙O2．

∵它们都与x轴、y轴都相切，

∴它们的方程分别为

∵点M在这两个圆上，

由以上两式可知，r1、r2是关于r的方程

于是由韦达定理，得