中考数学探究型问题

A
B
C
D
21
操作与探究
２.拼图问题
基础 题型
例7（08 顺义一模）如图1，△ABC是直角三角形， 如果用四张与△ABC全等的三角形纸片恰好拼成
一个等腰梯形，如图2，那么在Rt△ABC中，
AC BC 的值是
．
方法二: 观察角度, 两个较小的锐 2013-10-8 角的和等于较大的锐角
方法一: 观察边长,两条较短的直角 边的和等于斜边的长 22
叠、拼图等动手操作问题，往往与面积、
对称性质相联系；⑵与画图、测量、猜想、
证明等有关的探究型问题。
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实验操作型问题
折纸与剪纸
主要考查： （1）全等、相似、平移、对称、旋转、翻折等几何
操作变换的若干方法和技巧；
(2）综合运用相关知识解决应用问题．
分割与拼合
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展开与叠合
操作与探究
２.拼图问题
基础 题型
例8：（08常州）如图,这是一张等腰梯形纸片,它的
上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张.
打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能
拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图, 并写出它们的周长.
2
2 2
4
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２.拼图问题
个图形共有
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6
3n
9
个★．
12
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20
10
2．图形规律
归纳与猜想
例5（2008海南省）用同样大小的黑色棋子按图所示 的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图 形需棋子 枚（用含n的代数式表示）.
…
第1个图 第2个图 第3个图
方法一:除第一个图形有4枚棋子外,每多一个图形, 多3枚棋子.
12
2．图形规律
归纳与猜想
例5（2008海南省）用同样大小的黑色棋子按图所示 的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图 形需棋子 枚（用含n的代数式表示）.
…
第1个图 第2个图 第3个图
方法三:
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方法总结： 认真观察 研究图案（形） 2n+(n+1)=3n+1 提取数式信息 仿照数式规 13 律得到结论
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小东同学的做法是： 设新正方形的 ① 边长为x(x>0). ②依题意，割补前后图形的 面积相等，有x2=5, 解得x= 10 . ③由此 10 5 可知新正方形的边长等于两个小正方形组成 的矩形对角线的长. ④于是，画出如图4所示 理清操作步骤 的分割线，⑤ 如图5所示的新正方形.
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小东同学的做法是： 设新正方形的 ① 边长为x(x>0). ②依题意，割补前后图形的 面积相等，有x2=5, 解得x= 10 . ③由此 10 5 可知新正方形的边长等于两个小正方形组成 的矩形对角线的长. ④于是，画出如图4所示 理清操作步骤 的分割线，⑤ 如图5所示的新正方形.
发现变化， 类比迁移
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4.网格问题
操作与探究
基础 题型
例10（08年石景山一模）如图，在由12个边长都为1 且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是
其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角
形（即顶点均在格点上的三 角形），请你写出所有可能 的直角三角形斜边的 长___________________.
GF⊥BC于F点，把三角形纸片ABC分别沿DG,DE,GF按图1所示方 式折叠，点A,B,C分别落在点A’，B’，C’处．若点A’，
B’，C’在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时
我们称△A’B’C’（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
折 叠
轴 实质 对 称
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题型二： 折叠与变换
解题策略1：重过程——“折”．
A．正三角形 C．正五边形
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B．正方形 D．正六边形 温馨提示:看清步骤，仔细操作.
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温馨提示:带齐工具。
试一试：
复练（08山东）：将一正方形纸片按下列顺序折叠，
然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角 C 形．将纸片展开，得到的图形是（ ）
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发现变化， 类比迁移
析解：本例是将矩形分割后拼成正方形，而试题又提供了拼接方法， 解决这类问题除要有平时的分割和拼接经验外，还要密切关注 试题中的阅读材料．
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题型二： 折叠与变换
☞透过现象看本质:
综合 题型
例12（08北京） 已知等边三角形纸片的边长为8，D为AB边
上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G．DE⊥BC于点E，过点G作
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1．数式规律
归纳与猜想
例3：（05年陕西）观察下列各式：
1×3=12＋2×1； 2×4=22＋2×2； 3×5=32＋2×3；…… 请你将猜想到的规律用正整数n n 1 方法总结：
横向熟悉代数式、算式的结构； 表示出来：___________.
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纵向观察、对比，研究各式之间的 关系，寻求变化规律； 按要求写出算式或结果。
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动手操作型的折纸与剪纸，图形的分割与拼合、几何体
的展开与叠合，几乎触及了每份试卷，从单一的选择、填空， 到综合性较强的探索猜想、总结规律，判断论证存在与否， 以及分类讨论等综合题，几乎无处不在．
1.基础题型
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操作与探究
1.折纸问题
基础 题型
例6（2008泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB， 再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分 线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形， 那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定 是（ ）
4＋3（n－1）=3 n+1
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2．图形规律
归纳与猜想
例5（2008海南省）用同样大小的黑色棋子按图所示 的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图 形需棋子 3n+1 枚（用含n的代数式表示）.
…
第1个图 第2个图 第3个图
方法二:每个图形,可看成是序列数与3的倍数 又多1枚棋子 2013-10-8
复练1：
[05] 观察右面的图形（每个正方形的边长均为 1）和相应的等式，探究其中的规律： 1 1 ① 1 1 2 2 2 2 ② 2 2 3 3 3 3 ③ 3 3 4 4 4 4 ④ 4 4 5 5 „„ „„ （1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；
基础 题型
2
22
34
2 4
2
20
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22
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3.展开与折叠
操作与探究
基础 题型
例9（07年北京）右图所示是一个三棱柱纸盒，在下 面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图， 那么这个展开图是（ ）
Ａ．
．
Ｂ．
Ｃ．
．
．
Ｄ．
本题考查立体图形 的 展开与折叠，同时考查空间想象能力和动手实践能力。动手制作 模型，通过实验来验证不失为 一种好方法。
1 2
评析：这类题型主要以学生熟悉的、感兴趣的图形为背景，提供观察和操作的机会，让学生通过动手操作，亲自发现结果的准确性，在思想 和行动上逐步消除理论和实践之间的阻隔．网格试题具有操作性，趣味性，体现了“在玩中学，在学中思，在思中得”的课标理念．
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2.综合题型
动手操作型试题是指给出操作规则，在操作过程
⑤
___________________；
„„ „„ （2）通过猜想，写出与第 n 个图形相对应的等式．
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返表一
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探究规律题的一般步骤为： (1)观察（发现特点）
(2)猜想（可能的规律）
(3)实验（用具体数值代入猜想）
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实验操作型问题是让学生在实际操作 的基础上设计问题，主要有：⑴裁剪、折
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1
探究型问题是近年中考比较常见的题目，解 答这类问题的关键是牢固掌握基本知识，加强
“一题多解”、“一题多变”等的训练；需要有
较
强的发散思维能力、创新能力。具体做题时，
要仔细分析题目的有关信息、合情推理、联想， 并要运用类比、归纳、分类讨论等数学思想全
面考虑问题，有时还借助图形、实物或实际操
（2）猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式．
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复练2：
[06] 观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律： （1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式： ① ② ③ ④ 4×0＋1＝4×1－3； 4×1＋1＝4×2－3； 4×2＋1＝4×3－3； ___________________；
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5
1．数式规律
例1：(2008
2，
归纳与猜想
湖北十堰)观察下面两行数：
16， 32， 64， … ①
4， 8，
5， 7， 11， 19， 35， 67， …
②
根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得 它们的和是（写出最后的结果） 2051 ．
分析：第一行的第10个数是 210 1024 ,第二行 的每个数总比第一行同一位置上的数大3，所以第 二行的第10个数是1024+3=1027.
中发现新结论，自主探索知识的发展过程；它为解题
者创设了动手实践，操作设计的空间，考察了学生的
数学实践能力和创新设计才能．
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题型一： 画图与拼图
操作与探究
综合 题型
例11（2006 北京）请阅读下列材料:
问题: 现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1, 请把它们分割后拼 接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小 正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小东同学的做法是: 设新正方形的边长为x（x >0）. 依题意，割补前后 图形面积相等，有x2=5,解得 x 5由此可知新正方形的边长等于两个小正 方形组成的矩形对角线的长. 于是，画出如图2所示的分割线, 拼出如图3所 示的新正方形．
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1．数式规律
例2：(2008北京)一组按规律排列的式子：
归纳与猜想
b b b b , 2, 3, 4 a a a a
其中第7个式子是
2
5
8
11
…（ab≠0），
，
第n个式子是
（n为正整数）．
本题难点是，变化的部分太多，有三处发生变 化：分子、分母、分式的符号。学生很容易发现各 部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示 7 出分式的符号的变化规律是难点.
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图④ 图⑤
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小东同学的做法是： 设新正方形的 边长为x(x>0). 依题意，割补前后图形的 面积相等，有x2=5,解得x= 5 . 由此可知 新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩 形对角线的长. 于是，画出如图2所示的分 割线，如图3所示的新正方形.
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再现操作情境
8
2．图形规律
例4:(2008黑龙江哈尔滨)观察下列图形：
归纳与猜想
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20
个图形共有
方法一:
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3n
个★．
三角形每条边上的 星数相同,再减去 三个顶点的数
9
3(n+1)-3=3n
2．图形规律
例4:(2008黑龙江哈尔滨)观察下列图形：
归纳与猜想
3
请你参考小东同学的做法，解 决如下问题:
图 1 图 1 图 2 图 2 图 3 图 3
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4, 请把它们分割后拼接成一 个新的正方形．要求： 在图4中画出分割线, 并在图5的正方形网格图（图中 每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 说明：直接画出图形，不要求写分析过程.
1 2
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4.网格问题
操作与探究
基础 题型
例10（08年石景山一模）如图，在由12个边长都为1
且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是
其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角
形（即顶点均在格点上的三
角形），请你写出所有可能 的直角三角形斜边的 长___________________.
作来打开思路。
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规律型问题
实 验操作题 存在型问题
探 究 型 问 题
动态型问题
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1.条件的不确定性 2.结构的多样性 3.思维的多向性 4.解答的层次性 5.过程的探究性 6.知识的综合性
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规律探索试题是中考中的一棵常青树，一直 受到命题者的青睐，主要原因是这类试题没有固 定的形式和方法，要求学生通过观察、分析、比 较、概括、推理、判断等探索活动来解决问题．
综合 题型
（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图
中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点
A,B,C,D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，
请直接写出此时重叠三角形A’B’C’的面积_____；