-简谐运动的合成

9 – 2 简谐运动的合成和分解 第九章 振动学
x1 A1 cos1t A1 cos 2π 1t
x2 A2 cos2t A2 cos 2π 2t
x x1 x2
讨论 A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
方法一
x x1 x2 A1 cos 2π 1t A2 cos 2π 2t
x (A2 A1) cos(t π)
x
x
A A1 A2
A1
2
o
o
2
Tt
A
A2
9 – 2 简谐运动的合成和分解 第九章 振动学
1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1，)
A A1 A2
相互加强
2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1，)
A A1 A2 相互削弱
3）一般情况
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
9 – 2 简谐运动的合成和分解 第九章 振动学
设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。其
表达式为：
x1(t) a cost
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
M
aN
C
R N
A
a3
O
xN (t) a cos[t (N 1) ]
2
T 1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
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方法二：旋转矢量合成法
(2 1)t (2 1)
2t 2
2 A2
1t 1 o
x2
1
A1
x1
A
2 1
x
x
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos
1 2 0
(2 1)t (2 1)
(2 1)t
x Acos(t )
x 0
x2 2 1
A1 x1
x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2
两个同方向同频 率简谐运动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐运动
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讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
xx
o
A1
o
A2
A
T
t
A A1 A2
2 1 2kπ
x ( A1 A2 ) cos(t )
9 – 2 简谐运动的合成和分解 第九章 振动学
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
x1 A1 cost
x2 A2 cos(t π )
2
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四 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin2 (2
A2 y
1 )
讨论 1）2 1 0 或 2π
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A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos
(2 1)t
振幅 A A1 2(1 cos)
2 A1 cos(2
1
2
t)
拍频 2 1
(2 1)t
A 2
A2
o
x2
1
A1
x1
x
x
1t 2t 2 1
（拍在声学和无线电技术中的应用）
振动圆频率
1 2
A a sin(N / 2) sin / 2
即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。
讨论2：
当 2k ' / N 且k ' kN
sin(k ' ) A a sin(k ' / N ) 0
即N： 2k k 0,1,2, 这时各分振动矢量依次
相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。
以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍 射规律时有重要的应用。
a1 P
在COM中： A 2R sin(N / 2) 两式相除得：
在OCP中： a 2Rsin( / 2)
A a sin(N / 2) sin / 2
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A a sin(N / 2) sin / 2
COM ( N ) / 2
COP ( ) / 2
y A2 x A1
ox
A1
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x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
9 – 2 简谐运动的合成和分解 第九章 振动学
回顾和问题：
1，简谐振动旋转矢量表示法 2，简谐振动的能量
3，两个同方向同频率简谐运动的合成 如何证明仍为简谐运动？
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三 两个同方向不同频率简谐运动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
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9. 2 简谐运动的合成和分解
x Acos(t )
数学角度：特解 物理角度：一种运动方式
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一 两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2 )
A2
A
x x1 x2
x
(2
A1
cos2π
2
1
2
t)
cos2π
2
1
2
t
振幅部分
合振动频率
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x
(2
A1
cos2π
2
1
2
t
)
cos2π
2
1
2
t
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2
振幅
A
2 A1
cos 2π
2
1
2
t
Amax 2 A1 Amin 0
2π 2 1 T π
A1 A2 A A1 A2
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二 多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2 )
xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x Acos(t ) o
A A3
3
A2
2
1 A1
COP COM N 1
2
所以，合振动的表达式：
M
aN
C
R N
A
a3
O
a1 P
x(t) Acos(t )
a sin(N / 2) cos(t N 1 )
sin( / 2)
2
9 – 2 简谐运动的合成和分解 第九章 振动学
讨论1： 当 2k k 0,1,2,
A lim a sin(N / 2) Na 0 sin( / 2)