2007年第4届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第四届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

（2007年7月27日， 8：00－12：00， 浙江g 镇海）

一、 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程31x ax a =++都

有满足1000x <的偶数根。 二、 如图，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为直

径的半圆上的任意两点，过点B 作O e 的切线交直线CD 交于P ，直线PO 与直线CA 、AD 分别交于点E 、F 。证明：OE =OF 。 三、 设*min i i a k k N k ⎧⎫

=+∈⎨⎬⎩⎭

，试求

[][]2212n n S a a a ⎡⎤=+++⎣⎦L 的值，其中

[]2,

n x ≥表示不超过x 的最大整数。

四、 求最小的正整数n ，使得对于满足条件1

2007n i i a ==∑的任一具有n 项的正整

数数列12,,,n a a a L ，其中必有连续的若干项之和等于30。

第 二 天

（2007年7月28日， 8：00－12：00， 浙江g 镇海）

五、 设函数()f x 满足：()()121f x f x x +-=+(x R ∈)，且当[]0,1x ∈时有

()1f x ≤，证明：当x R ∈时，有()22f x x ≤+。 六、 如图，直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的

中点，MB AB ⊥，MD 交AC 于N ；MC 的延长线交AB 于E 。证明：DBN BCE ∠=∠。 七、 试求满足下列条件的三元数组(a , b , c )： (i) a

于整数2k ≥，有

3

2

k k k a b c a b b c c a ++≥+++

A

F

答案

一、 令02x n =，n 为整数，且|2|1000n <，即||499n ≤，所以至多取24991999

⨯+=个数，即{499,498,0,1,,499}n ∈--L L ，

。将02x n =代入原方程得 38121n a n -=

+。记381

()21

n f n n -=+,对任意的12,{499,498,0,1,,499}n n ∈--L L ，,当12n n ≠ (12,n n Z ∈)时,若12()()f n f n =,设1212,22

x x

n n ==，其中12,x x 是关

于x 的方程310x ax a ---=的两个根，设另一根为3x ，由根与系数的关系

312122331123()1x x x x x x x x x a

x x x a =-+⎧

⎪

++=-⎨⎪=+⎩ 即12481

N a

N a =-⎧⎨

=+⎩(其中221121221212(),()N n n n n N n n n n =-++=-+)

即12481N N +=，矛盾！

所以，对于不同的12,{499,498,0,1,,499}n n ∈--L L ，，都有12()()f n f n ≠，

于是满足条件的实数a 恰有999个。 【另解】

对任意||998x ≤，x 为偶数，31

1x a x -=+的取值都各不相同。

反证，若存在12x x ≠，使得33121211

11

x x x x --=++，其中12,x x 为偶数，则 22221212121212()(1)0x x x x x x x x x x -+++++=

由于12x x ≠，则120x x -≠，又因为222212121212x x x x x x x x ++++为偶数，所以22221212121212()(1)0x x x x x x x x x x -+++++≠，矛盾。因此满足条件的a 共有999个。

二、 如图，作OM CD ⊥于M ，作MN //AD ，

设,MN BA N CN DA K ==I I ，连BC 、BM ，则NBC ADC NMC ∠=∠=∠，因此N 、B 、M 、C 共圆；又由O 、B 、P 、M 共圆，得

180OPM OBM MCN ∠=∠=︒-∠ 所以CN //OP ，于是

(1)CN AN NK

OE AO OF

==L 因M 为CD 的中点，MN //DK ，则N 为CK 的中点；故由(1)得，OE OF =。

F

【另证】 如图，过O 作OM CD ⊥于M ，连结BC 、BM 、BD 、BE ，因为OM CD ⊥，PB AB ⊥，所以O 、B 、P 、M 四点共圆，于是

BMP BOP AOE ∠=∠=∠，EAO BDM ∠=∠，

所以OAE MDB ∆∆:，AE AO AB

BD DM CD

==

，从而BAE CDB ∆∆:，EBA BCD BAD ∠=∠=∠，所

以AD //BE ，1OE OB

OF OA

==，即OE =OF 。

三、 设*11111min i i i a k k N k k k +++⎧⎫

=+∈=+

⎨⎬⎩⎭

(*1k N ∈)，则11111

1

i i i i a k k a k k ++≤+<+=，即数列{}n a 严格单增。

由于2

2m k m k

+≥，(当k =m 时取得等号)，故()2*2m a m m N =∈；

又当k =m 、m +1时，()

121m m k m k

++=+，而在k m ≤或1k m ≥+时，

()()10k m k m ---≥，即()()22110k m k m m -+++≥，亦即

()121m m k m k

++≥+，所以221m m a m +=+；再由数列{}n a 的单调性，当

()2

21m m i m +≤<+时，()2121i m a m +≤<+，所以

[]()

22

22

2, 21, 1i m m i m m a m m m i m ⎧≤<+⎪

=⎨++≤<+⎪⎩ 因此，

[]()()22

22

2211431m m

i

i m a m m m m m

m +==⋅++⋅+=++∑，于是

()()()()

()21

21

3243121211431262

831366

n n m S m m n

n n n n n n n n n n -==+++---=⨯+⨯+-+-+-=

∑

四、 首先，我们可以构造一个具有1017项的整数数列121017,,,a a a L ，使其中不

存在和为30的连续项；为此，取1229301, 31a a a a =====L ，以及{}30 , 1,2,,30, m i i a a i m N +=∈∈L ，即 {}k a 为：

1,1,,1,31,1,1,,1,31,1,1,,1,31,1,1,,1,31,1,1,,1L L L L L L