超固结土热黏弹塑性本构关系
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st d vm
[5]
d
tp vm
C R C e dt 1 e0 t0
e
（ 3）
tp 式中：d vm 为时间效应引起的体积应变增量；dt 为
时间增量；C e 为次固结系数；t0 为计算参考时间， 一般取单位时间。式（3）中没有时间全量，这是因 为姚仰平等[6]根据“等效时间”的概念，将土在历 史上所经历的时间转化为了土超固结度的变化。因 此，使用式（3）计算时无需知道土在历史上所经历 的时间。 结合式（2） 、 （3）可以得到等向应力-应变-时 间关系式：
Abstract: The thermo-visco-elasto-plastic constitutive model describe the stress-strain relationship of soil under the combined effect of temperature and time. In the construction of some new-type geotechnical engineering, such as nuclear waste disposal as well as geothermal extraction and storage, it is necessary to consider the influences of both temperature and time. Therefore, it is theoretically and practically meaningful to establish a thermo-visco-elastoplastic constitutive model. Firstly, an isotropic stress-strain-timetemperature relation is established by considering the temperature effect on clay volume and strength parameter into the isotropic stress-strain-time relation. Afterwards, hardening rules are deduced from the isotropic stress-strain-time-temperature relation. Through combining the hardening rules with the yield functions of the unified hardening constitutive model, a thermo-viscoelastoplastic constitutive model for overconsolidated clay is proposed. Finally, the proposed model is used to predict laboratory tests. The predicted results show that the proposed model can describe the combined effect of temperature and time on the clay volume, the isotropic compression curve and the preconsolidation pressure. Keywords: clay; time; temperature; overconsolidation; constitutive relation
Te vm
参考屈服面过超固结土的参考应力点 ( p ， q ) ，代表 着超固结土所对应的正常固结状态。当前应 力点 和参考应力点具有相同的应力比 ，即
q p q p 。当前屈服面和参考屈服面均为椭圆，
：
Te d vm T dT
（ 5）
采用式 （ 6） 计算变温引起的塑性体积应变增量
100
（ 1）
s 式中： d vm 为等向附加应力引起的体积应变增量；
p 为平均应力； dp 为平均应力增量；e0 为孔隙比 e 的初始值； 为 e-lnp 平面内正常压缩线的斜率； 为 e-lnp 平面内回弹线的斜率；M 为土的临界状态 应力比；Mf 为超固结土潜在破坏应力比，反映了超 固结土三轴剪切峰值应力比高于正常固结土峰值应 力比的试验规律，Mf 的表达式可根据 Hvorslev 线 （超固结土三轴不排水抗剪强度包线）求得
Thermo-visco-elastoplastic constitutive relation for overconsolidated clay
KONG Ling-ming, YAO Yang-ping
(School of Transportation Science and Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)
[6]
[6]
M 4 dp C e R C dt 4 1 e0 1 e0 M f p 1 e0 t0 （ 4）
e
st 式中：d vm 为应力和时间效应耦合作用引起的体积
2
2.1
等向应力-应变-时间-温度关系
常温下的等向应力-应变-时间关系 Bjerrum[7] 将土的固结过程分为瞬时压缩和延
2
岩
土
力
学
2015 年
等[3]以及 Yashima 等[4]的建模过程不够严格。所以， Laloui 等 基于前期固结压力随应变率和温度变化 这一试验规律，建立了一个热黏弹塑性本构模型。 但是，Laloui 等[5]建立的模型只有简单的框架，缺 乏具体公式，不能直接用于室内试验的预测分析。 姚仰平等 将超固结土统一硬化模型（UH 模 型） 的等向再加载公式与蠕变公式结合， 提出了一个 超固结土的等向应力-应变-时间关系式。本文拟将 温度变化对黏土体积和强度参数的影响引入姚仰平 等 提出的等向应力-应变-时间关系中，建立一个 等向应力-应变-时间-温度关系， 基于该应力-应变时间-温度关系， 推导屈服面的硬化定律， 并将所得 的硬化定律与 UH 模型的屈服方程和流动法则结 合，建立一个超固结土的热黏弹塑性本构模型。最 后，使用新模型对室内试验进行了模拟，从而验证 模型的有效性。
在高放核废物地质处置、 地热资源开采与贮存、 城市地下供热管道和高压输电线路铺设等新型岩土 工程中，需要同时考虑时间和温度两个因素对工程 周围土体的影响。因此，有必要开展时间和温度对 黏土力学行为耦合影响的试验和理论研究。 关于时间和温度两者对黏土力学行为的耦合影 响目前研究较少，在试验研究方面，Marques 等
1ห้องสมุดไป่ตู้
引
言
缩试验，探索了前期固结压力随温度、应变率的变 化规律。Leroueil[2]通过总结一维固结试验的数据， 研究了温度对次固结系数的影响。 在本构建模方面， 据笔者所知，目前仅有 3 个热黏弹塑性本构模型， 即 Modaressi 等[3]、Yashima 等[4]以及 Laloui 等[5]提 出的模型。Modaressi 等[3]和 Yashima 等[4]通过直接 修改黏弹塑性本构模型的塑性标量因子，使其与温 度相关，从而达到使模型同时考虑时间和温度效应 的目的。Modaressi 等[3]以及 Yashima 等[4]的建模方 法缺乏足够的试验依据，Laloui 等[5]认为 Modaressi
第 36 卷增刊 1 2015 年 6 月
DOI： 10.16285/j.rsm.2015.S1.001
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.36 Supp.1 Jun. 2015
超固结土热黏弹塑性本构关系
孔令明，姚仰平
（北京航空航天大学 交通科学与工程学院，北京 100191）
1 M f 1 (M M h ) M R
OCR 6
OCR 2
OCR 1
80
T /℃
60
（ 2）
T
40 1
T
式中：R 为超固结参数，等向应力条件下 R 是超固 结比 （OCR） 的倒数， 即 R 1/ OCR ； Mh 为 Hvorslev 线的斜率。对于超固结土，超固结参数 R 1 ，代入 式（2）可得 M f M 。 姚仰平等[6]基于对数蠕变公式和“等效时间” 的概念，推导了如下的延时变形计算公式：
20 10 －0.5 0.0 0.5 1.0 体应变 /% 1.5 2.0 2.5
图 1 等向变温过程中的土体积变化 Fig.1 Volumetric changes of clay in isotropic heating-cooling test
增刊 1
孔令明等：超固结土热黏弹塑性本构关系
3
姚仰平等 [12] 采用下式计算变温引起的弹性体 积应变增量 d
摘
要：热黏弹塑性本构模型是描述土在温度（热）和时间（黏）耦合作用下的应力-应变关系的本构模型。在一些新型岩
土工程诸如高放核废料地质处置、地热资源开发与贮存的建设中，需要同时考虑温度和时间对土的影响，所以建立一个热黏 弹塑性本构模型具有理论和实际意义。将温度变化对黏土体积和强度参数的影响引入笔者之前提出的超固结土等向应力-应 变-时间关系，建立了一个等向应力条件下的应力-应变-时间-温度关系。随后，基于该关系推导了屈服面硬化定律，并将其 与超固结土统一硬化模型的屈服方程和流动法则结合，建立了超固结土的热黏弹塑性本构模型。最后，使用新模型预测室内 试验，证明新模型能够反映时间和温度对土体积、一维压缩曲线和前期固结压力的耦合影响。 关 键 词：黏土；时间；温度；超固结；本构关系 中图分类号：TU 443 文献标识码：A 文章编号：1000－7598－(2015) 增 1－0001－08
M dp s d vm 4 1 e0 1 e0 M f p
4
。由于 M 和温度有关，
所以 M 在后文用 MT 表示， MT 为温度 T 时土的临界 状态应力比，见式（7） 。 对初始超固结程度不同的土进行等向排水变 温试验，得到土体积随温度 T 的变化曲线如图 1 所 示[11]。根据图 1 的试验结果，现在普遍认为土在变 温时发生的变形包含弹性（可恢复）和塑性（不可 恢复）两部分。升温时，弹性和塑性变形同时存在。 降温时，只存在弹性变形。并且，升温塑性变形随 着土超固结度的增大而减小。
d
Tp vm Tp d vm (T T ) 4 MT dT M4 fT
方程为 当前屈服面：
（ 6） 参考屈服面：
p
q2 pm 0 2 pM T
（11）
式中： T 、 T 分别为正常固结土升温和降温过程 中体积变化曲线的斜率，如图 1 所示。姚仰平等[12] 根据“土密度（孔隙比）相同，抗剪强度相同”的 概念以及式（6） ，推得了 MT 的表达式为
[1]
进行了不同温度和不同应变率下的一维等应变率压
收稿日期：2015-03-31 基金项目：国家重点基础研究发展计划（973 计划） （No.2014CB047006） ；国家自然科学基金（ No.11272031） ；北京市自然科学基金（No.8132042） 。 第一作者简介：孔令明，男，1988 年生，博士研究生，主要从事黏土的弹黏塑性本构建模方面的研究。E-mail: lm.kong@foxmail.com 通讯作者：姚仰平，男，1960 年生，博士，教授，主要从事土的基本特性及其本构关系的研究。 E-mail: ypyao@buaa.edu.cn
应变增量。 2.2 变温对土体积和参数的影响 本文模型中用到的土性参数有 、 、 C e 、 Mh、 M， 其中 、 、C e 、 Mh 不受温度的影响[2 M 随温度的升高而增大
[10]
，8－9]
，
时压缩，瞬时压缩变形完全由附加有效应力引起， 延时压缩变形完全由时间引起，延时压缩变形即是 蠕变变形。姚仰平等[6]使用 UH 模型的超固结土等 向再加载公式计算土的瞬时压缩变形：
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d
tp vm
C R C e dt 1 e0 t0
e
（ 3）
tp 式中：d vm 为时间效应引起的体积应变增量；dt 为
时间增量；C e 为次固结系数；t0 为计算参考时间， 一般取单位时间。式（3）中没有时间全量，这是因 为姚仰平等[6]根据“等效时间”的概念，将土在历 史上所经历的时间转化为了土超固结度的变化。因 此，使用式（3）计算时无需知道土在历史上所经历 的时间。 结合式（2） 、 （3）可以得到等向应力-应变-时 间关系式：
Abstract: The thermo-visco-elasto-plastic constitutive model describe the stress-strain relationship of soil under the combined effect of temperature and time. In the construction of some new-type geotechnical engineering, such as nuclear waste disposal as well as geothermal extraction and storage, it is necessary to consider the influences of both temperature and time. Therefore, it is theoretically and practically meaningful to establish a thermo-visco-elastoplastic constitutive model. Firstly, an isotropic stress-strain-timetemperature relation is established by considering the temperature effect on clay volume and strength parameter into the isotropic stress-strain-time relation. Afterwards, hardening rules are deduced from the isotropic stress-strain-time-temperature relation. Through combining the hardening rules with the yield functions of the unified hardening constitutive model, a thermo-viscoelastoplastic constitutive model for overconsolidated clay is proposed. Finally, the proposed model is used to predict laboratory tests. The predicted results show that the proposed model can describe the combined effect of temperature and time on the clay volume, the isotropic compression curve and the preconsolidation pressure. Keywords: clay; time; temperature; overconsolidation; constitutive relation
Te vm
参考屈服面过超固结土的参考应力点 ( p ， q ) ，代表 着超固结土所对应的正常固结状态。当前应 力点 和参考应力点具有相同的应力比 ，即
q p q p 。当前屈服面和参考屈服面均为椭圆，
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（ 5）
采用式 （ 6） 计算变温引起的塑性体积应变增量
100
（ 1）
s 式中： d vm 为等向附加应力引起的体积应变增量；
p 为平均应力； dp 为平均应力增量；e0 为孔隙比 e 的初始值； 为 e-lnp 平面内正常压缩线的斜率； 为 e-lnp 平面内回弹线的斜率；M 为土的临界状态 应力比；Mf 为超固结土潜在破坏应力比，反映了超 固结土三轴剪切峰值应力比高于正常固结土峰值应 力比的试验规律，Mf 的表达式可根据 Hvorslev 线 （超固结土三轴不排水抗剪强度包线）求得
Thermo-visco-elastoplastic constitutive relation for overconsolidated clay
KONG Ling-ming, YAO Yang-ping
(School of Transportation Science and Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China)
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等向应力-应变-时间-温度关系
常温下的等向应力-应变-时间关系 Bjerrum[7] 将土的固结过程分为瞬时压缩和延
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等[3]以及 Yashima 等[4]的建模过程不够严格。所以， Laloui 等 基于前期固结压力随应变率和温度变化 这一试验规律，建立了一个热黏弹塑性本构模型。 但是，Laloui 等[5]建立的模型只有简单的框架，缺 乏具体公式，不能直接用于室内试验的预测分析。 姚仰平等 将超固结土统一硬化模型（UH 模 型） 的等向再加载公式与蠕变公式结合， 提出了一个 超固结土的等向应力-应变-时间关系式。本文拟将 温度变化对黏土体积和强度参数的影响引入姚仰平 等 提出的等向应力-应变-时间关系中，建立一个 等向应力-应变-时间-温度关系， 基于该应力-应变时间-温度关系， 推导屈服面的硬化定律， 并将所得 的硬化定律与 UH 模型的屈服方程和流动法则结 合，建立一个超固结土的热黏弹塑性本构模型。最 后，使用新模型对室内试验进行了模拟，从而验证 模型的有效性。
在高放核废物地质处置、 地热资源开采与贮存、 城市地下供热管道和高压输电线路铺设等新型岩土 工程中，需要同时考虑时间和温度两个因素对工程 周围土体的影响。因此，有必要开展时间和温度对 黏土力学行为耦合影响的试验和理论研究。 关于时间和温度两者对黏土力学行为的耦合影 响目前研究较少，在试验研究方面，Marques 等
1ห้องสมุดไป่ตู้
引
言
缩试验，探索了前期固结压力随温度、应变率的变 化规律。Leroueil[2]通过总结一维固结试验的数据， 研究了温度对次固结系数的影响。 在本构建模方面， 据笔者所知，目前仅有 3 个热黏弹塑性本构模型， 即 Modaressi 等[3]、Yashima 等[4]以及 Laloui 等[5]提 出的模型。Modaressi 等[3]和 Yashima 等[4]通过直接 修改黏弹塑性本构模型的塑性标量因子，使其与温 度相关，从而达到使模型同时考虑时间和温度效应 的目的。Modaressi 等[3]以及 Yashima 等[4]的建模方 法缺乏足够的试验依据，Laloui 等[5]认为 Modaressi
第 36 卷增刊 1 2015 年 6 月
DOI： 10.16285/j.rsm.2015.S1.001
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.36 Supp.1 Jun. 2015
超固结土热黏弹塑性本构关系
孔令明，姚仰平
（北京航空航天大学 交通科学与工程学院，北京 100191）
1 M f 1 (M M h ) M R
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式中：R 为超固结参数，等向应力条件下 R 是超固 结比 （OCR） 的倒数， 即 R 1/ OCR ； Mh 为 Hvorslev 线的斜率。对于超固结土，超固结参数 R 1 ，代入 式（2）可得 M f M 。 姚仰平等[6]基于对数蠕变公式和“等效时间” 的概念，推导了如下的延时变形计算公式：
20 10 －0.5 0.0 0.5 1.0 体应变 /% 1.5 2.0 2.5
图 1 等向变温过程中的土体积变化 Fig.1 Volumetric changes of clay in isotropic heating-cooling test
增刊 1
孔令明等：超固结土热黏弹塑性本构关系
3
姚仰平等 [12] 采用下式计算变温引起的弹性体 积应变增量 d
摘
要：热黏弹塑性本构模型是描述土在温度（热）和时间（黏）耦合作用下的应力-应变关系的本构模型。在一些新型岩
土工程诸如高放核废料地质处置、地热资源开发与贮存的建设中，需要同时考虑温度和时间对土的影响，所以建立一个热黏 弹塑性本构模型具有理论和实际意义。将温度变化对黏土体积和强度参数的影响引入笔者之前提出的超固结土等向应力-应 变-时间关系，建立了一个等向应力条件下的应力-应变-时间-温度关系。随后，基于该关系推导了屈服面硬化定律，并将其 与超固结土统一硬化模型的屈服方程和流动法则结合，建立了超固结土的热黏弹塑性本构模型。最后，使用新模型预测室内 试验，证明新模型能够反映时间和温度对土体积、一维压缩曲线和前期固结压力的耦合影响。 关 键 词：黏土；时间；温度；超固结；本构关系 中图分类号：TU 443 文献标识码：A 文章编号：1000－7598－(2015) 增 1－0001－08
M dp s d vm 4 1 e0 1 e0 M f p
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。由于 M 和温度有关，
所以 M 在后文用 MT 表示， MT 为温度 T 时土的临界 状态应力比，见式（7） 。 对初始超固结程度不同的土进行等向排水变 温试验，得到土体积随温度 T 的变化曲线如图 1 所 示[11]。根据图 1 的试验结果，现在普遍认为土在变 温时发生的变形包含弹性（可恢复）和塑性（不可 恢复）两部分。升温时，弹性和塑性变形同时存在。 降温时，只存在弹性变形。并且，升温塑性变形随 着土超固结度的增大而减小。
d
Tp vm Tp d vm (T T ) 4 MT dT M4 fT
方程为 当前屈服面：
（ 6） 参考屈服面：
p
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（11）
式中： T 、 T 分别为正常固结土升温和降温过程 中体积变化曲线的斜率，如图 1 所示。姚仰平等[12] 根据“土密度（孔隙比）相同，抗剪强度相同”的 概念以及式（6） ，推得了 MT 的表达式为
[1]
进行了不同温度和不同应变率下的一维等应变率压
收稿日期：2015-03-31 基金项目：国家重点基础研究发展计划（973 计划） （No.2014CB047006） ；国家自然科学基金（ No.11272031） ；北京市自然科学基金（No.8132042） 。 第一作者简介：孔令明，男，1988 年生，博士研究生，主要从事黏土的弹黏塑性本构建模方面的研究。E-mail: lm.kong@foxmail.com 通讯作者：姚仰平，男，1960 年生，博士，教授，主要从事土的基本特性及其本构关系的研究。 E-mail: ypyao@buaa.edu.cn
应变增量。 2.2 变温对土体积和参数的影响 本文模型中用到的土性参数有 、 、 C e 、 Mh、 M， 其中 、 、C e 、 Mh 不受温度的影响[2 M 随温度的升高而增大
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时压缩，瞬时压缩变形完全由附加有效应力引起， 延时压缩变形完全由时间引起，延时压缩变形即是 蠕变变形。姚仰平等[6]使用 UH 模型的超固结土等 向再加载公式计算土的瞬时压缩变形：