第22章 一元二次方程及其解法

第22章 一元二次方程及其解法

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1、定义：形如：ax 2

+bx+c=0(a≠0)的方程叫一元二次方程。

① 是整式方程，②未知数的最高次数是二次，③只含有一个未知数，④二次项系数不为零。

2、化为一元二次方程的一般形式：按降幂排列，二次项系数通常为正，右端为零。

3、一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。代入使方程成立。

解一元二次方程，实际上是把一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程。

4、一元二次方程的解法：①配方法：移项→二次项系数化为一→两边同时加上一次项系数的一半→配方→开方→写出方程的解。

②公式法：x=(-b±√b 2-4ac)/2a.

一元二次方程的根的判别式：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当△=0时，方程有两个相等的实数根，③当△＜0时，方程没有实数根。 注意：应用的前提条件是：a≠0.

③直接开平方法

④因式分解法：右端为零，左端分解为两个因式的乘积。（提取公因式；完全平方公

式；平方差公式）

22.1 一元二次方程

一、回顾：

1.判断题（下列方程中，是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）

1．5x 2+1=0 （ ）

2．3x 2+

x 1+1=0 （ ） 3．4x 2=ax (其中a 为常数) （ ）

4．2x 2

+3x =0 （ ） 5．5

132+x =2x （ ） 6．22)(x x + =2x （ ）

7．｜x 2+2x ｜=4 （ ）

2.关于x 的方程（k －2）x ∣k ∣－3=0是一元二次方程，则k 的值为( )

A.±2

B.2

C.－2

D.－1

3.绿苑小区住宅设计，准备在每两栋楼房之间开辟面积为900 m 2的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？如果设其长为x 米，那么所列的方程是( )

A.x(10+x)=900

B.x(10－x)=900

C.x 2－10x+900=0

D.x 2－10x －900=0

4.一元二次方程x 2－4=0的根为( )

A.x=2

B.x=－2

C.x 1=2,x 2=－2

D.x=4

5．关于x 2

=－2的说法，正确的是（ ）

A ．由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程

B ．x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程

C ．x 2=－2是一个一元二次方程

D ．x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解

6.方程（x+4）2=2x －3化为一般式是____________,二次项系数是____________,一次项系数是____________,常数项是____________.

二、强化训练：

1.下列关于x 的方程中，一元二次方程的个数有( ) 2x 2－3

2x=0 x x 1 =2x －1 x 2－3y=0 x 2－x 2(x 2+1)－3=0 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

2.已知关于x 的方程（k+3）x 2－3kx+2k －1=0,它一定是( )

A.一元二次方程

B.一元一次方程

C.一元二次方程或一元一次方程

D.无法确定

3.方程（x －1）（x+3）=12化为ax 2+bx+c=0形式后，a,b,c 的值为( )

A.1，－2，－15

B.1，－2，－15

C.1，2，－15

D.－1，2，－15

4.如果a 的值使x 2+4x+a=(x+2)2－1成立，那么，a 的值为( )

A.5

B.4

C.3

D.2

5.关于x 的方程（m 2－4）x 2－（m －2）x －1=0，当m__________时,是一元二次方程；当m=_________时是一元一次方程.

6.关于x 的方程ax 2－2m －3=x （2－x ）是一元二次方程，则a 的取值范围是____________.

7.列方程解应用题：两连续偶数的积是120，求这两个数.

设其中一个较大的偶数为x ，可列方程为____________,化为一般式为____________

三、巩固与加强

1.方程3x 2－4=－2x 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )

A.3，－4，－2

B.3，2，－4

C.3，－2，－4

D.2，－2，0 2.若方程（m －1）x 2+m x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )

A.m≠1

B.m≥0

C.m≥0且m≠1

D.m 为任意实数

3.若x=1－m

1是方程mx －2m+2=0的根,则x －m 的值为( ) A.0 B.1 C.－1 D.2

4.关于x 的一元二次方程(a －1)x 2+x+a 2－1=0的一个根是0,则a 的值为( )

A.1

B.－1

C.1或－1

D.

21 5.px 2－3x+p 2－p=0是关于x 的一元二次方程，则( )

A.p=1

B.p ＞0

C.p≠0

D.p 为任意实数

6.关于x 的方程mx 2－3x=x 2－mx+2是一元二次方程的条件是____________.

7.以下各方程:①2x 2－x －3=0 ②4y －y 2=0 ③x 3－x 2=1 ④t 2=0 ⑤x 2－y －1=0 ⑥21x －3=0,其中不是一元二次方程的是___________(只需填序号即可).

8.若x=1是一元二次方程ax 2=bx+2的一个根，则a －b 的值为____________.

9.使分式2

42+-x x 的值等于零的x 是____________. 10.依据下列条件，分别编写两个关于x 的一元二次方程:

(1)方程有一个根是－1，一次项系数是－5；

(2)有一个根是2，二次项系数为1.

22.2 降次——解一元二次方程 达标训练

一、基础训练：

1．将下列方程各根分别填在后面的横线上：

（1）x 2=169, x 1= ，x 2= ;

（2）45－5x 2=0, x 1= ，x 2= .