相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

一、添加平行线构造“A ”“X ”型

例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值.

解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则

∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1.

解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，

∴BE ：EF=5：1.

解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，

解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，

∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1.

变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点,

连结BE 并延

长交AC 于F,

求AF ：CF 的值.

解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，

，

1==AE DE FE

PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC

BC DQ

BF ，

EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2

1

==；TC BT EF BE =，

DC BT 2

5=

例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，

DE延长线与BC延长线相交于F ，求证：

（证明：过点C作CG//FD交AB于G）

例3：如图，△ABC中，AB

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。.

方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）. 方法二：过D作DN//EC交BC于N.

例4：在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，

DE交AB于F。求证：EF×BC=AC×DF

证明：过D作DG∥BC交AB于G，则△DFG和△EFB相似，

∴∵BE＝AD,∴

由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴即

∴EF×BC＝AC×DF.

例5：已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC于E,

交BA的延长线于F,

求证：

CE

BD

CF

BF

=

EC

AE

BF

AF

=

DG DF

BE EF

=

DG DF

AD EF

=

DG AD

BC AC

=

DG BC

AD AC

=

分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 .

（或利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分

别构成两个三角形.）

例6：已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：BC2=2AC·C D

分析：本题的重点在于如何解决“2”倍的问题；让它归属一条线段，

找到这一线段2倍是哪一线段.

例7: 如图，△ABC中，AD是BC边上中线，E是AC上一点，连接ED

且交AB的延长线于F点.求证：AE：EC=AF：BF.

分析：利用前两题的思想方法，借助中点构造中位线，利用平行

与2倍关系的结论，证明所得结论.找到后以比例式所在三角

形与哪个三角形相似.

例8：在∆ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB,延长BP交AC于E，交CF于F,求证：BP²=PE·PF

分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相似证明.另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明.

二、作垂线构造相似直角三角形

例9：如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，

垂足分别为E、F，

求证：

证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N

∴ AM：AE=AB：AC （1）

（1）+（2）得

例10：∆ABC中，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点

（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：

证明：过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形

∴ PF EC ∵∠A＝∠B=45°∴RtΔAEP=RtΔPFB

∴∵ EC=PF ∴（1）

在ΔECP和ΔCNM中CP⊥MN于Q

∴∠QCN+∠QNC=90°又∵∠QCN+∠QCM=90°∴∠MCQ=∠CNQ

∴RtΔPEC∽RtΔMCN ∴即（2）

由（1）（2）得

三、作延长线构造相似三角形

例11. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于

点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。

分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转

化为相似三角形的面积比而加以解决。

解：延长BA、CD交于点P ∵CH⊥AB，CD平分∠BCD

∴CB=CP，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA：AB=1：2 ∴PA：PB=1：3

∵AD∥BC ∴△PAD∽△PBC

2

AC

AF

AD

AE

AB=

⋅

+

⋅

CN

CM

PB

PA:

:=

AM

AC

AE

AB⋅

=

⋅

)

(AN

AM

AC

AN

AC

AM

AC

AF

AD

AE

AB+

=

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅BCM

ADN∆

≅

∆

=

//

EC

PE

PF

PE

PB

PA

=

=

CN

EC

CM

EP

=

CN

CM

EC

EP

=

CN

CM

PB

PA

=

9

1：

：

∴

△

△

=

PBC

PAD

S

S

PBC

PCH

S

S

△

△

∵

2

1

=7

2：

∴

四边形

△

=

=

AHCD

PAD

S

S21

=

AHCD

S

四边形

∵