第五章功率谱估计第5节

１、最大似然法
复高斯白噪声中复正弦信号的参数估计问题
对于复高斯白噪声中的复正弦信号 其频率的最大似然解为：
周期图的最大值所对应的频率。
（1）推导
假设数据由复高斯白噪声中的p个复正弦信号组成
p
即：x(n) Ai exp( jwin i ) w(n) i 1
其中 n 0,1,L , N -1, w(n)是均值
L（Aˆc1，w1)＝(x - Aˆc1e1 )H (x - Aˆc1e1 ) =xH (x - Aˆc1e1 )-Ac*1e1H (x - Aˆc1e1 )
易证：
L（Aˆc1，w1) xH x - Aˆc1xH e1
xH x - 1 N
e1H x 2
要使其最小化，则： 最大化
来自百度文库
1
N
e1H x 2
如果各正弦波的频率用周期图能进行分辩
复白噪声中多个复正弦信号的频率最大似然估计 =对应于周期图中最大值所在的频率
根据周期图谱峰的位置来估计 正弦波频率是一种最简便的办法
它可避免最大似然估计遇到的困难
在各正弦波频率很相近的情况
周期图无法分辨它们
一般假设这些正弦波之间是非谐波的关系。
若傅里叶分析能够分辨其频率的多个正弦波 用周期图是进行频率估计是最佳方法
若傅里叶分析无法分辨其频率的多个正弦波
不适用周期图法，而采用最大似然技术和 基于自相关矩阵特征分解法谱估计。
1、最大似然技术 把正弦过程看成是频率未知的确定信号
2、特征分解法 采用平稳随机过程模型来分析正弦信号， 待估计频率＝自相关矩阵中的未知参数。
L（Ac1，w1)＝(x - Ac1e1 )H (x - Ac1e1 ) (2)
L是Ac1和w1的函数。
（1）求Ac1的最大似然估计Aˆc1。 即求使p(x - s)最大化的Ac1， 或求使L＝(x - s)H (x - s)最小化的Ac1。
设w1为常数（已知），则可求出使L最小化的Aˆc1:
Aˆc1
e1H -w1x e1H -w1e1
e1H x e1H e1
1 N
N -1
x(n) exp(- jw1n) （ 3）
n0
（2）再求w1的最大似然估计wˆ1。 即使L＝(x - s)H (x - s)最小化的w1。 将Aˆc1代入L（Ac1，w1)＝(x - Ac1e1 )H (x - Ac1e1 )式， 求使其最小化解w1,得：
复白噪声中的多个复正弦信号频率估计
与单个复正弦波情况相似
求正弦波参数的最大似然估计
使以下函数最小化
L
x
-
p
H
Ac1ei x -
p
Ac1ei
（4）
i1
i1
Aci Ai exp( ji )
其中：ei 1, exp jwi ,L , exp( j(N -1)wi )T
E e1, e2,L , ep T
T
Ac Ac1, Ac2,L , Acp
T
= w1, w2,L , wp
则式(4)可写成以下形式：
L（Ac，) x - ET Ac H x - ET Ac （5）
假设E是已知矩阵，求上式的最小化。
解得：Aˆc E*ET -1 E*x （6）
再求得频率的最大似然估计，
最后求得正弦波其余参数的最大似然估计。
s(n) A1 exp jw1n 1
式中A1、w1和1分别是正弦波的振幅、频率和相位，
假定它们是待估计的未知常数。
设平稳随机过程： x(n) s(n) w(n)
一次实现的N 个采样值为：
x(n) A1 exp jw1n 1 w(n)
n 0,1,L , N -1
s(n)矢量表示为：
为零和方差为
2的复高斯白噪声。
w
正弦信号的参数[1A1 ,4A22 ,L4
3Ap
;141,2L
43
p
, w114,L2
,4w3 p ]
振幅
相位
频率
依次为振幅、相位和频率
目的:估计这些参量
（a）复白噪声中存在单个复正弦信号
先讨论复白噪声中存在单个复正弦信号的情况。 设复白噪声w(n)中有一个复正弦信号：
s s(0), s(1),L , s(N -1)T
A1 exp j1 [1, exp jw1 ,L , exp j N -1 w1 ]T
x(n)用矢量表示为：
x x(0), x(1),L , x(N -1)T
w(n)用矢量表示为：
w(n)=w(0), w(1),L , w(N -1)T
第五节 白噪声中正弦波频率的估计及谱
估计的其它方法
一、白噪声中正弦波频率的估计
确定性信号x(n)为任意形式的信号时，可 作傅里叶级数分解，变成许多正弦分量的 线性组合。
估计淹没在噪声中的正弦波的频率是信号 处理最有实际应用价值的技术之一。
因为带有白噪声的正弦波是一种常见的随 机过程，常用于评价谱分析的性能。
假设w(n)为白噪声，其自相关矩阵为：
w
2 w
I
这里 w2是w(n)的方差，I是N阶单位矩阵。
令Ac1表示正弦波的复数振幅
Ac1 A1 exp( j1)
令信号矢量
e1 [1, exp jw1 ,L , exp j N -1 w1 ]T
于是：s Ac1e1 （1）
数据矢量x的概率密度函数为
1
p(x - s)
N det
2 w
I
exp
1
2 w
(x
-
s)H
(x
-
s)
式中，H 表示共轭转置。
求A1、w1和1的最大似然估计（MLE）
＝求解p(x - s)对A1、w1和1三参数的最大化问题
＝求解L＝(x - s)H (x - s)最小化问题
将s Ac1e1代入L＝(x - s)H (x - s)式得：
1 N
N -1
2
x(n) exp(- jw1n)
n0
可以看出，此即x(n)的周期图。
最大化
最大化
由此得证： 对于复高斯白噪声中的单个复正弦信号
其频率的最大似然解
周期图的最大值所对应的频率。
（3）求A1和1的最大似然估计。
将Aˆc1、wˆ1的最大似然估计代回：
Aˆc1
A1 exp(
j1 )=
1 N
N -1 n0
x(n) exp(-
jwˆ1n)
求Aˆc1的模为A1，相位为1。
即得：
Aˆ1＝
1 N
N -1
x(n) exp(- jwˆ1n)
n0
Im
N
-1
x(n)
exp(-
jwˆ1n)
ˆ1= arctan
n0
Re
N
-1
x(n)
exp(-
jwˆ1n)
n0
（b）复白噪声中存在多个复正弦信号