动力学(第1章)

恢复力：− kx 惯性力：− m&x&
f (t)
粘性阻尼力：− cx&
振动外力： f (t) • 达朗贝尔原理（动静法）建立运动方程：
m&x&(t) + cx&(t) + kx(t) = f (t) 运动方程的标准形式：
x m
&x&(t
)
+
2ζω
n
x&(t
)
+
ω
2 n
x(t
)
=
f (t) m
无阻尼固有圆频率：ωn =
EI ,无重
例题 1-2 重力的影响 无重梁中部放置重物 Q，挠度δst
k2
将重物在梁未变形位置轻轻释放，
求系统振动规律。
取平衡位置为坐标原点。刚度：k = Q
运动方程：m&x&(t)
=
Q
−
k[δ
st
+
x(t)]
=
δ st −kx(t)
⇒ m&x&+ kx = 0
解：x(t) = Asin(ωnt + ϕ ) ωn =
sin(ω d t
+ϕ)
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阻尼体系固有圆频率：ωd = ωn 1− ζ 2 一般有 ζ < 0.1 ，故ωd ≈ ωn
阻尼体系固有周期：Td
= 2π ωd
= ωn
2π 1−ζ 2
振幅与相位角：A =
x02
+
⎜⎜⎝⎛
x&0 + x0ζωn ωd
⎟⎟⎠⎞2
• •
能量守衡：We +Wd + Wf = 0 → ω = ωn →
A = F0 sin α / cω sin α = 1 →
Amax
=
F0 cωn
=
xst 2ζ
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相位角（度）
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180 150 120 90 60 30
0 0
相位—频率曲线
ζ =0
0.1 0.2 0.3
ω
=ω ωn
全解： x = x1 + x2 = [ e−ζωnt C1 cosωdt + C2 sin ωdt]+ Asin(ωt −α )
初始条件： x(t)t=0 = x0 , x&(t)t=0 = x&0
→全解： x
=
+
e −ζω nt
⎡ ⎢ x0
cos
ωd
⎣
Aeζωnt
⎡ ⎢sin
α
cos
ωd
We = ∫ − kxdx = ∫ − kxx&dt = ∫ − kAsin(ωt −α )ωAcos(ωt −α )dt = 0
（2）阻尼力的功：
Wd = ∫ − cx&dx = ∫ − cx&2dt = ∫ − c[ωAcos(ωt −α )]2 dt = −πωcA2
（3）激振力的功：
∫ ∫ ∫ Wf = F0 sin(ωt)dx = F0 sin(ωt)x&dt = F0 sin(ωt)ωAcos(ωt −α )dt = πF0 Asinα
k= g
m
δ st
A=
x02
+
⎜⎜⎝⎛
x&0 ωn
⎟⎟⎠⎞2
=
x0
= −δst,ϕ
= arctgωnx0 x&0
= arctg(−∞)
=
3π 2
1.3 阻尼自由振动 运动方程： &x&(t) + 2ζω nx&(t) + ωn2 x(t) = 0
阻尼比： ζ = c = c 2ωnm cr
x = − 2ςωn ± 2ωn ς 2 −1 2
(i = 0,1,2,⋅⋅⋅)
f (t) P0
∫ bi
=
2 T
T 0
f (t) sin(iωt)dt
(i = 1,2,⋅⋅⋅)
根据函数的反对称性可得
π /ω
2π /ω
t
∫ ∫ a0
=
2 T
T 0
f
(t)dt
=
0; ai
=
2 T
T 0
f (t) cos(iωt)dt = 0；
∫ bi
=
2 T
T 0
f (t) sin(iωt)dt = 0(i = 2,4,6,⋅⋅⋅)
→同简谐激振
m&x&+ cx&+ kx = kB sinωt + cBω cosωt
设稳态响应： x = Asin(ωt −α )
位移传递率(被动隔振—不使振动传进来)：A =
k 2 + c2ω 2
=
B (k − mω 2 )2 + c2ω 2
相位：
tgα
=
k(k
mcω 3 − ω 2 ) + c2ω 2
→齐次运动方程：&x&(t) + 2ζω nx&(t) + ωn2 x(t) = 0 的解→
[ ] x1 = e−ζωnt C1 cosωdt + C2 sin ωdt
特解（稳态解）：x2 = Asin(ωt −α ) = A(sinωt cosα − cosωt sinα )
→ A=
f
=f
(ωn2 − ω 2 )2 + 4ζ 2ωn2ω 2 ωn2
/
ω
2 n
=
1
−
1 0.92
= 5.26
∞
β3
=
1
1− (3ω / ωn )2
=
−0.159
x(t) = bi βi sin(iωt)
i =1
响应为:
x = 8P0β1 sin(ωt) + 8P0β3 sin(3ωt)
π 2k
9π 2k
仅取第一项，误差为 0.4％
i = 1,3,5⋅⋅⋅
1.6 单位脉冲激振和单位阶跃激振
弹簧与阻尼器传递的合力：(相位差 )
x = Asin(ωt −α) x&= ωAcos(ωt −α ) = ωAsin(ωt −α + π )
2
FT = F 2 + R2 = kA 1+ (cω / k)2 力传递率（隔振要求同被动隔振）：
f ( t ) = F 0 sin ω t
FT = F0
1+ 4ζ 2ω 2 (1− ω 2 )2 + (2ζω )2
+ϕ)
振幅与相位角： A=
x02
+
⎜⎜⎝⎛
x&0 ωn
⎟⎟⎠⎞2
,ϕ
=
arctg
ωn x0 x&0
x
A
x&0
x0
t ϕ /ωn
t t +T
例题 1-1 求图示体系的固有频率
悬臂梁刚度：k1
=
3EI l3
与 K2 并联后等效刚度：k = k1 + k2 固有频率:ωn = k / m （串联弹簧）
l m
k m
k
c
阻尼比：ζ = c = c 2ωnm cr
临界阻尼系数： cr = 2ωnm 1.2 无阻尼自由振动
运动方程： m&x&+ kx = 0 ⇒ &x&+ ωn2x = 0 运动方程解： x = C1 sin ωnt + C2 cosωnt
无阻尼固有圆频率：ωn =
k m
x = ±iωn
固有周期：T = 2π = 2π m
t
⎣
t
+
x&0
+ ζωn x0 xd
sin ωd
+ ζω sinα − ω cosα xd
⎤ t⎥ ⎦ sin
ωd
t
⎫ ⎪ ⎥⎦⎤⎪⎪⎭⎪⎬过渡过程
+ Asin(ωt −α ) ⇒ 稳态响应
1.4.2 稳态响应的振幅和相位
动力放大系数：β = A =
1
ω=ω
xst (1− ω 2 )2 + (2ζω )2
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(t)
=
2P0
ωt π
∫ ∫ bi
=
2 T
T 0
f (t) sin(iωt)dt = 4ω π
π 2ω 0
f
(t) sin(iωt)dt
=
8P0 i2π 2
i −1
(−1) 2 (i
= 1,3,5,⋅⋅⋅)
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∑ 取
i=1~3
β1 算得：
=
1
−
1 ω2
ωn
相位：α = arctg 共振频率：dβ =
dω
2ζω
1−ω 2 0→
ω共振
=
ωn
1− 2ζ 2
→ ω共振 ≈ ωn
β max
=
1 2ζ
→ ω = ωn → α = 900
振幅—频率曲线
4
ζ =0
放大系数
3
0.1
0.2
2
0.3
0.5
1
0.7
1.0
0
2.0
0
1
2
3
频率比
1.4.3 稳态响应中力的功 （1）弹性力的功：
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结构动力学
z 第一章 z 第二章 z 第三章 z 第四章 z 第五章 z 第六章 z 第七章 z 第八章 z 第九章
单自由度体系 分析动力学基础 两个自由度体系 多自由度体系 连续弹性体的振动 结构动力学中常用的数值方法 动态子结构方法 非线性振动 模态分析与参数辩识
∫ bi
=
2 T
T 0
f (t) sin(iωt)dt
(i = 1,2,⋅⋅⋅)
将周期激振力分解为一系列频率为的简谐激振力，将各简谐激振力的稳态响应
叠加即可。
例题 1-4 求图示三角波激振力作用下单自由度体系的稳态响应。设频率
比ω = 0.9、不计阻尼
∫ ai
=
2 T
T 0
f (t) cos(iωt)dt
ω
k
n
，固有频率： f = 1 = ωn = 1 k T 2π 2π m
初始条件：x (t ) t =0 = x0 , x&(t ) t =0 = x&0
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无阻尼振动解：
x(t)
=
x0
cos ωnt
+
x&0 ωn
sin ωnt
=
A sin(ωnt
, tgϕ
=
ωd x0 x&0 + x0ζωn
对数衰减率：
λ
= ln
xi xi+1
= ln
Ae −ζω nt Ae−ζωn (t +Td )
= ζωnTd
=
2πζ ≈ 2πζ 1−ζ 2
阻尼比的实验量测：ζ = λ = 1 ln Ai 2π 2π Ai+1
x
A x0
A1
A2
t
Td
例题 1-3 实验测得衰减曲线。经 m 个周期后，振幅正好减至一半， 求系统的阻尼比。
由于
ln
xi xi+m
=
mζωnTd
≈ m2πζ
，故 ζ = 1 ln xi = 1 ln 2 = 0.11
2πm xi+m 2πm
m
1.4 简谐激振
1.4.1 运动方程及解
运动方程：
&x&(t) + 2ζω nx&(t) + ωn2 x(t) =
F0 m
sin ωt
=
f
sin ωt
非齐次方程的全解：→齐次解+特解：x = x1 + x2 齐次解（过渡解）：
1
2
频率比
0.5 0.7 1.0
2.0
3
ζ =0
1.4.4 用复数表示的稳态响应
激振力：F0 sin ωt → F0eiωt
运动方程： m&x&+ cx&+ kx = F0eiωt
；稳态响应：x = Aei(ωt−α )
激振力、惯性力、弹性力、阻尼力矢量平衡关系：
F0eiωt + (mω 2 − k ) Aei(ωt−α ) − iωcAei(ωt−α ) = 0
eiωt = cosωt + i sin ωt
Im
ω
F0
复平面上的矢量图：
ω 2mx
α
ωt
Re
− iωcx
− kx
1.4.5 支座位移激振及隔振
恢复力： − k(x − xg ) 惯性力： − m&x&
粘性阻尼力： − c(x&− x&g ) 相对位移：xr = x − xg 相对位移运动方程： m&x&r + cx&r + kxr = −m&x&g xg = B sin ωt → m&x&r + cx&r + kxr = mBω 2 sin ωt 绝对位移运动方程：m&x&+ cx&+ kx = kxg + cx&g ⇒
1.6.1 单位脉冲激振
∫ 脉冲函数：t = t1 时的脉冲荷载 ，冲量 I p =
t1 +Δt t1
pdt = pΔt
令：I p = 1, Δt → 0, p → ∞ →单位脉冲
p(t) →δ 函数（Dirac 函数或 delta 函数），
记为：δ (t − t1) δ 函数的性质：
δ
= 1−ω
2ζω 3 2 + (2ζω )2
1+ 4ζ 2ω 2 (1− ω 2 )2 + (2ζω )2
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隔振要求： 频率比： ω
=
ω
>
2⇒
ωn
阻尼比小：ζ ↓⇒ A ↓
B
A <1 B
但过小通过共振区不利
主动隔振：将振源隔开，使振动传播不出去（隔振器）
振源
x m
k
c
F = kA
R = cωA
1.5 周期激振
周期激振力： f (t) = f (t + T )
傅里叶（Fourier）展开：
∑ f
(t)
=
a0 2
+
∞ i =1
[ai
cos(iωt)
+ bi
sin(iωt)]
∫ ai
=
2 T
T 0
f (t) cos(iωt)dt
(i = 0,1,2,⋅⋅⋅)
初始条件： x(t)t=0 = x0 , x&(t)t=0 = x&0 ζ ≥ 1 为过阻尼及临界阻尼情况；无振动解
c < cr ζ < 1 为欠阻尼情况、有振动解 自由振动齐次解：
x(t)
=
e −ζω nt
⎡ ⎢ x0 ⎣
cos ω d t
+
x&0 + x0ζωn ωd
⎤ sin ωdt⎥
⎦
=
Ae −ζω nt
参考书目
z 结构动力学基础，俞载道，同济大学出版社 z 结构动力学，邹经湘，哈尔滨工业大学出版社 z 振动力学，刘延柱，高等教育出版社 z 分析力学，王振发，科学出版社 z 机械振动，S.M.凯利[美]，科学出版社 z 振动模态参数识别及其应用，林循泓，东南大学出版社
第一章 单自由度体系
1.1 单自由度体系的运动方程
1 (1− ω 2 )2 + (2ζω )2
= F0 k
1 (1− ω 2 )2 + (2ζω )2
= xst
1 (1− ω 2 )2 + (2ζω )2
ω=ω
ωn
tgα
=
2ζωnω ωn2 − ω 2
= 2ζω 1−ω 2
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静位移：xst ，频率比：