大学物理第三章

Li ri mi vi ri mi
2
刚体对轴的角动量为

ri
z
L Li ri mi
2
O
ri mi
2
mi
vi
L J
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
二、角动量定理
1. 质点的角动量定理
dp 当质点做平面圆周运动时，由牛顿第二定律: F dt
M z rF sin
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3-2 转动定理
第三章 刚体力学基础
（4）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消。
M ij
O
M ji
d
ri
Fji iF
ij
rj
j
Mij M ji
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3-2 转动定理
' 对mi 用牛顿第二定律： f i f i mi ai
z
L
O
运动，某时刻相对原点 O 的位矢 为 r ，质点相对于原点的角动量：
y
L r p r mv
rmv sin
x
r
m



大小：L
方向：符合右手法则 SI单位： kg m2 s-1
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
第三章 刚体力学基础
若刚体上任一质元都在做绕同一固定直线的平面圆周 运动，这种运动就称为刚体绕固定轴的转动 ，其中相对 于参考系固定不动的直线称转轴。 定轴转动的特点： 1,转轴相对参考系固定 2, 刚体内所有点都具有相同的角位移、 角速度、角加速度.这些角量也称
刚体的角量。
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3-1 刚体的基本运动形式
表示方向。
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3-2 转动定理
三、转动惯量 1 物理意义：转动惯性的量度 2 转动惯量的计算方法
第三章 刚体力学基础
SI单位 kg m
2
质量离散分布刚体的转动惯量
J mi ri m r m r
2 2 11 2 2 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J mi ri r dm
' 2
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3-2 转动定理
第三章 刚体力学基础
例3-2 求质量为m、半径为R的均匀薄圆环和薄圆盘对垂 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中心轴的转动惯量。 解：(1) 在环上任取质元dm, 由于各质元至转轴的 距离都等于R, 故圆环的转动惯量为
J R 2 d m mR 2
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3-2 转动定理
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3-2 转动定理
轴方向的两个分量：
第三章 刚体力学基础
（3）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转
F F// F
其中F//对转轴的力矩为零
所以F对转轴Z的力矩为
z
k
O
F//
F
r
F
M z r F
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ω
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
四、角动量问题举例
例 3-5 设一质量为m的滑块在水平面(Oxy)内以初速度 0 0i 从原点O出发沿x轴滑动.假设滑块与水平面的摩擦力 f f i
恒定不变，试求任意时刻滑块对原点O的角动量. 解
刚性条件：刚体上任意两点间的距离恒保持不变.
2 平动：刚体上任意一条直线在运动中始终保持 彼此平行. 3 定轴转动：刚体上各点都绕同一固定直线(轴) 做平面圆周运动.
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本章要点
二、转动定理
第三章 刚体力学基础
1 力矩
M r F
2 转动定理
刚体绕定轴转动时所获得的角加速度的大小与其所受到的合外 力矩成正比；与转动惯量成反比；角加速度的方向与合外力矩 的方向一致.
刚体内相互作用力的力矩之和为零
' M i 0
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3-2 转动定理
2 M m r i ii
第三章 刚体力学基础
令
J mi ri2
刚体对转轴O的转动惯量
M
定轴转动刚体的转动定理:
i
J
刚体绕固定轴转动时，所获得的角加速度的大小与其所 受到的合外力矩成正比，与转动惯量成反比；角加速度 的方向与合外力矩的方向一致.
t=0 时， 0 0i 质点受力 f f i
ft 滑块任意时刻 t 的速度 0 i m ft 2 i 滑块任意时刻t的位置矢量 r xi 0t 2m
任意时刻t 滑块对原点O的角动量为 L r m 0
切向分量式为：
第三章 刚体力学基础
二、转动定理
fi sin i fi ' sin i ' mi ait
两边同乘ri
ait ri
fi ri sin i fi ri sin mi ri
' ' i 2
外力矩
内力矩
M i M mi ri
' i 2
' 2 M M m r 对所有质点求和： i i i i
0
R
R
0
m 1 3 2 2r dr mR 2 R 2
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3-2 转动定理
四、转动定理应用举例
第三章 刚体力学基础
N
例3-3 一质量为M、半径为R的定滑轮 (可看作均匀圆盘)上绕有轻绳.绳的一端固定 在轮边上，另一端系一质量为m的物体.忽略 轮轴处的摩擦力，求物体由静止下落高度h时 的速度 v 和滑轮的角速度ω。
3-1 刚体的基本运动形式
一、刚体
第三章 刚体力学基础
刚体是一种特殊的质点系，系统内任意两质点间的距离恒 保持不变。是一种理想模型。
二、刚体的平动
刚体上任意两点间的连线 在运动过程中始终平行于 它们初始位置间的连线时， 刚体的运动称为平动。
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3-1 刚体的基本运动形式
三、刚体绕固定轴的转动
m g 联立以上三式，可得物体加速度 a M m 2
4mgh 物体速度 2ah 2m M
1 4mgh 滑轮角速度 R R 2m M
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
一、角动量
1. 质点的角动量
质量为 m 的质点以速度 v 在空间
（2）薄圆盘可看作是由许多细圆环 组成的.任取一半径为r、宽度为dr、 质量为dm的细圆环
第三章 刚体力学基础
m dm 2 r d r 2 R m 2 2 m 3 d J r dm r 2 r d r 2 r dr 2 2 R R
R R
O
r dr
J dJ
z
r
F
*
M r F
d : 力臂
d
P

M Fr sin Fd
国际单位制 N· m
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3-2 转动定理
2. 物理意义
第三章 刚体力学基础
力矩是决定刚体转动的物理量,表明力的大小、方向和 作用点对物体转动的影响。
3. 注意 (1) 对固定轴的力矩只有两个方向，规定了正方向后， 可用正负号表示力矩的方向; (2) 若有n个力作用在刚体上，且都在与转轴相垂直的平 面内，则合力矩为所有力对刚体力矩的代数和;
解：分别取滑轮和物体为隔离体， 受力分析如图所示。 对滑轮，由转动定理得
R
T
Mg a mg
T
h
1 2 M RT J MR 2
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3-2 转动定理
对物体，由牛顿第二定律，得
第三章 刚体力学基础
mg T ma
物体加速度与滑轮的角加速度间的关系为
a R
2 2
dm: 质量元
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3-2 转动定理
第三章 刚体力学基础
质量连续分布刚体的转动惯量
J mi ri r dm
2 2
dm:质量元
对质量线分布的刚体： dm
dl :质量线密度
dS :质量面密度
对质量面分布的刚体：dm
对质量体分布的刚体：dm
d dp 用矢径叉乘上式两边 r F r (r p) dt dt
合外力矩
dL M dt
质点的角动量定理：做圆周运动的质点角动量对时间的 变化率等于其所受到的合外力矩。
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
2. 定轴转动刚体的角动量定理

t
t0
合外力的冲量矩
角动量的增量
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
三、角动量守恒定律
若 M 0 ，则
讨论
L J 常量
1 对于质点和刚体，角动量守恒 意味着角速度 ω不变。 2 对一般物体，J ω=常量，J与ω 成反比。如芭蕾舞演员、花样滑冰 运动员做原地快速旋转动作时； 天体系统盘状结构的形成。 3 角动量方向不变，对于质点来说，它只能 在同一平面中运动。如有心力场中质点的运动。
四、刚体的一般运动： 质心的平动
如车轮的滚动
第三章 刚体力学基础
+
绕质心轴的转动
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3-2 转动定理
一、力矩 1. 定义
第三章 刚体力学基础
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F 作用在
由点O 到力的作用点 P 的矢径 .
M
M
O
刚体上点 P , 且在转动平面内, r 为
F 对转轴 Z 的力矩
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
例3-6 一长为l,质量为M的均匀直杆，一端O悬挂于一水平光滑 轴上，并处于铅直静止状态。一质量为m的子弹以水平速度v0 射入杆的下端而随杆运动。求它们开始共同运动时的角速度。 解 碰撞过程质点和刚体的系统动量、 能量皆不守恒。但是系统的对O轴合外 力矩为零，角动量守恒。 O
质点以角速度 作半径为 r 的圆周运动，
质点相对圆心的角动量大小
L rmv rmr m r J
2
L
p
o r
m
角动量方向与角速度矢量的方向相同。
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3-4 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体力学基础
2 刚体的角动量 刚体上某质元对轴的角动量为
ml0 ml J
1 2 J Ml 3 l
M
l
3m20 解以上三式，得 (3m M )l
v0
m
v
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本章要点
第三章 刚体力学基础
第三章 刚体力学基础
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本章要点
一、刚体的基本运动形式
第三章 刚体力学基础
1 刚体: 在任何情况下大小、形状都保持不变的物体.
dV :质量体密度
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3-2 转动定理
注意
第三章 刚体力学基础
转动惯量的大小取决于刚体的总质量、
质量对转轴的分布及转轴的位置 .
例3-1 求下列几种情况下，细杆连接的5个小球组成体系的转 动惯量：(1)忽略细杆质量，系统分别绕水平轴和竖直轴旋转； (2)考虑细杆的质量M，系统分别绕水平轴和竖直轴旋转. 解 （1） 忽略细杆质量 ① 系统绕水平轴旋转
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3-2 转动定理
说明
第三章 刚体力学基础
M
i
i
J
地位相当，m反映质
1.
M
J 与
F＝ma
点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性。 2. 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。 3. 力矩是矢量，方向沿转轴(右手法则)，在规定了转轴
的方向后，对定轴转动只有两个方向，可以用正负号
由转动定理
(J )) d d d( J J J M J dtt dt d dt
dL 即 M dt

定轴转动刚体角动量对时间的变化率等于其所受到的合外力矩。
若合外力矩持续作用，则将上式两边同时对 dt 积分
L M d t d L L L0 J J 0 L0
b
J1 mb mb 2mb
2 2
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3-2 转动定理
② 系统绕竖直轴旋转
第三章 刚体力学基础
J 2 ma ma 2ma
2 2
2
(2) 考虑细杆的质量为M ① 系统绕水平轴旋转
1 2 J 2mb M (2b) 12
' 1 2
② 系统绕竖直轴旋转
1 J 2 2ma M(2a) (2a )2 2 12
M
i
J
3 转动惯量
定义
J mi ri
2
对质量连续
分布的物体
J r 2dm