高中数学怎么学好函数的单调性与最值

在端点处取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( A．y＝ln(x＋2) 1 C．y＝ 2 A
x
)
B．y＝－ x＋1 D．y＝x＋ 1 x
[解析] 选项 A 的函数 y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一
a（x2－x1） ＝ ，由于－1＜x1＜x2＜1， （x1－1） （x2－1） 所以 x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当 a＞0 时，f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， 函数 f(x)在(－1，1)上递减； 当 a＜0 时，f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 函数 f(x)在(－1，1)上递增． (2)f(x)＝ ＝ －x2＋2x＋1，x≥0， －x2－2x＋1，x<0，
2 5.教材习题改编 已知函数 f(x)＝ ，x∈[2，6]，则 f(x)的最大值为________，最小值 x－1
为__________． [解析 ] 可判断函数 f(x) ＝ 2 ＝ . 5 [答案] 2 2 5 2 在[2， 6]上为减函数， 所以 f(x)max＝ f(2)＝2，f(x)min＝f(6) x－1
1 1 x－ 2 5 ，1 － 由函数图象可知， 函数的减区间为(－∞， －1]，2 ， 2 ＋ .画出函数图象如图所示： 4 函数的增区间为 －1， 1 2 ，[1，＋∞)．
求函数的最值(值域)[学生用书 P21] [典例引领] (1)函数 y＝x＋ x－1的最小值为________． a 1 1 (2)函数 f(x)＝－ ＋b(a＞0)在[ ，2]上的值域为[ ，2]，则 a＝________，b＝________． x 2 2 【解析】 (1)法一：令 t＝ x－1，且 t≥0，则 x＝t2＋1，
确定函数的单调性(区间)[学生用书 P20] [典例引领] (1)试讨论函数 f(x)＝ ax (a≠0)在(－1，1)上的单调性． x－1
(2)求函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋1 的单调区间． 【解】 (1)设－1＜x1＜x2＜1，
x－1＋1 1 1＋ x－ 1 ， f(x)＝a x－1 ＝a f(x1)－f(x2)＝a 1＋ 1 1 1＋ x1－1 －a x2－1
1 x＋ 2 5 2 － ，x≥1， 4 所以 f(x)＝ 1 x－ 2 3 2 ＋ ，x<1， 4
作出函数图象如图，
3 ，＋∞ 由图象知 f(x)＝|x－1|＋x2 的值域为 4 . 3 ，＋∞ [答案] 4
函数单调性的应用(高频考点)[学生用书 P21] 函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新 的增长点，常以选择、填空题的形式出现． 高考对函数单调性的考查主要有以下三个命题角度： (1)比较两个函数值或两个自变量的大小； (2)解函数不等式； (3)求参数的值或取值范围． [典例引领] (1)(2016·高考天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单 调递增．若实数 a 满足 f(2|a 1|)＞f(－ 2)，则 a 的取值范围是(
1 2 解得 ≤x< . 2 3 角度三 求参数的值或取值范围 －x2＋4x，x≤4， log2x，x>4. 若函数 y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数
3．设函数 f(x)＝
a 的取值范围是( A．(－∞，1] B．[1，4] C．[4，＋∞)
)
D．(－∞，1]∪[4，＋∞) D [解析] 作出函数 f(x)的图象如图所示，由图象可知 f(x)在(a，a＋1)上单调递增，
定是增函数． 2.教材习题改编 函数 y＝(2m－1)x＋b 在 R 上是减函数，则( 1 A．m> 2 C．m>－ B 1 2 B．m< 1 2 1 2 )
D．m<－
1 [解析] 使 y＝(2m－1)x＋b 在 R 上是减函数，则 2m－1<0，即 m< . 2
3.教材习题改编 如图是函数 y＝f(x)，x∈[－4，3]上的图象，则下列哪个说法是正确的 ( )
A．f(x)在[－4，－1]上是减函数，在[－1，3]上是增函数 B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为 3，最小值为－2 C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值 3 D．当直线 y＝t 与 y＝f(x)的图象有三个交点时－1＜t＜2 C [解析] 根据题图提供的信息可知选 C.
4.教材习题改编 函数 f(x)＝x2－2x，x∈ [－2，4]的单调递增区间为________，f(x)max＝ __________． [解析] 函数 f(x)的对称轴为 x＝1，单调增区间为[1，4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8. [答案] [1，4] 8
所以函数 y＝ 法二：y＝
x＋2 1 ＝1＋ . x＋ 1 x＋1
因为 y＝x＋1 在(－1，＋∞)上是增函数， 所以 y＝ 1 在(－1，＋∞)上是减函数， x＋1
x＋2 1 所以 y＝1＋ 在(－1，＋∞)上是减函数．即函数 y＝ 在(－1，＋∞)上是减函数． x＋1 x＋1
2．作出函数 y＝|x2－1|＋x 的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间． [解] 当 x≥1 或 x≤－1 时，y＝x2＋x－1＝ x＋ 1 2 5 2 － ；当－1<x<1 时，y＝－x2＋x＋1＝ 4
[题点通关] 角度一 比较两个函数值或两个自变量的大小
1．(2017·昆明模拟)已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，当 x2>x1>1 时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0 恒成立，设 a＝f 为( ) A．c>a>b C．a>c>b D B．c>b>a D．b>a>c － 1 2 ，b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，c 的大小关系
1．辨明两个易误点 (1)区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备 单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集． (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写 1 出，一般不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接．例如函数 f(x)＝ 在区间(－ 1， 0) x 上是减函数，在(0，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不是减函数． 2．函数最值的有关结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定
图象描述 自左向右看图象是上升的 (2)单调区间的定义 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 条件 结论 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x∈I，都有 f(x)≤M； (2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M M 为最大值 (1)对于任意 x∈I，都有 f(x)≥M； (2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M M 为最小值 自左向右看图象是下降的
需满足 a≥4 或 a＋1≤2，即 a≤1 或 a≥4，故选 D．
[学生用书 P22]) ——数形结合思想求函数最值 f1（x）＋f2（x） |f1（x）－f2（x）| 1 已知函数 f1(x)＝|x－1|， f2(x)＝ x＋1， g (x )＝ ＋ ， 3 2 2 g（x1）－g（x2） 若 a，b∈[－1，5]，且当 x1，x2∈[a，b]时， >0 恒成立，则 b－a 的最大值 x1－x2 为( ) A．2 C．4 【解析】 当 f1(x)≥f2(x)时， B．3 D． 5
－
)
1 A．(－∞， ) 2 1 3 B．(－∞， )∪( ，＋∞) 2 2 1 3 C．( ， ) 2 2 3 D．( ，＋∞) 2 x2＋a (2)已知函数 f(x)＝ (a>0)在(2，＋∞)上递增，则实数 a 的取值范围为________． x 【解析】 (1)由 f(x)是偶函数得 f(－ 2)＝f( 2)，再由偶函数在对称区间上单调性相反， 1 1 3 － 得 f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以由 2|a 1|＜ 2，得|a－1|＜ ，即 ＜a＜ . 2 2 2 (2)任取 2<x1<x2， 由已知条件 ， 得 f(x1) － f(x2) ＝ 恒成立， 即当 2<x1<x2 时，x1x2>a 恒成立． 又 x1x2>4，则 0<a≤4. 即实数 a 的取值范围是(0，4]． 【答案】 (1)C (2)(0，4] x2 x2 x2－x1 x1x2－a 1＋a 2＋a － ＝ (x1－ x2)＋ a× ＝ (x1－ x2)× <0 x1 x2 x1x2 x1x2
[解析] 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，且在(1，＋∞)上是减 1 5 － 5 2 ＝f 2 ，且 2< <3，所以 b>a>c. 2 解函数不等式
函数．因为 a＝f 角度二
1 2． (2017·泰安模拟)已知函数 f(x)是定义在[0， ＋∞)上的增函数， 则满足 f(2x－1)<f 3 的 x 的取值范围是( 1 2 ， A. 3 3 1 2 ， C. 2 3 D [解析] 由题意得 ) 1 2 ， B． 3 3 1 2 ， D． 2 3 2x－1≥0， 1 2x－1< ， 3
第2讲
函数的单调性与最值
[学生用书 P19]
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上 的任意两个自变量的值 x1，x2 定义 当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)ຫໍສະໝຸດ Baidu那 么就说函数 f(x)在区间 D 上是增 函数 当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就 说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
－（x－1）2＋2，x≥0， －（x＋1）2＋2，x<0.
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－ 1，0]和[1，＋∞)．
若将本例(2)中函数变为 f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
[解] 函数 y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数 y＝|－x2＋2x＋1|的单调 递增区间为(1－ 2，1)和(1＋ 2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－ 2)和(1，1＋ 2)．
[通关练习] x＋2 1．判断函数 y＝ 在(－1，＋∞)上的单调性． x＋1 [解] 法一：任取 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1<x2， x1＋2 x2＋2 x2－x1 则 y1－y2＝ － ＝ . x1＋1 x2＋1 （x1＋1） （x2＋1） 因为 x1>－1，x2>－1，所以 x1＋1>0，x2＋1>0， 又 x1<x2，所以 x2－x1>0， 所以 x2－x1 >0，即 y1－y2>0.所以 y1>y2， （x1＋1） （x2＋1） x＋2 在(－1，＋∞)上是减函数． x＋1
5 解得 a＝1，b＝ . 2 【答案】 (1)1 (2)1 5 2
[通关练习] 1 ，x≥1， 1．函数 f(x)＝ x 的最大值为________． －x2＋2，x<1 1 [解析] 当 x≥1 时，函数 f(x)＝ 为减函数， x 所以 f(x)在 x＝1 处取得最大值，为 f(1)＝1； 当 x<1 时，易知函数 f(x)＝－x2＋2 在 x＝0 处取得最大值， 为 f(0)＝2.故函数 f(x)的最大值为 2. [答案] 2 2．函数 f(x)＝|x－1|＋x2 的值域为________． [解析] 因为 f(x)＝|x－1|＋x2 ＝ x2＋x－1，x≥1 x2－x＋1，x<1 ，
所以原函数变为 y＝t2＋1＋t，t≥0. 配方得 y＝ 1 t＋ 2 3 2 ＋ ， 4
1 3 又因为 t≥0，所以 y≥ ＋ ＝1， 4 4 故函数 y＝x＋ x－1的最小值为 1. 法二：因为函数 y＝x 和 y＝ x－1在定义域内均为增函数，故函数 y＝x＋ x－1在[1， ＋∞)内为增函数，所以 ymin＝1. a 1 (2)因为 f(x)＝－ ＋b(a＞0)在[ ，2]上是增函数， x 2 1 1 所以 f( )＝ ，f(2)＝2. 2 2 －2a＋b＝ 即 a － ＋b＝2 2 1 2 ，