极坐标系速度推导

§2.7极坐标系·速度与加速度

问题的提出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

如：从这向北走2000米！（出发点方向距离）

一、极坐标系（ plane polar coordinates ）

1 ．极坐标系的建立：

在参考系上取点 O ，引有刻度的射线 OX 称为极轴（有方向的），建成极坐标系。

矢径：由参考点 O 引向质点位置 A 的线段长度

由 r 表示矢径。如图示： r=

幅角：质点的位置矢量与极轴所夹的角θ （也称：极角）

规定：自极轴逆时针转至位置矢量的幅角为正，反之为负。

（ r ，θ）确定平面上质点的位置，称为极坐标。

质点的运动学方程：、

质点的轨迹：

2 ．极坐标系中矢量的正交分解

如图示：质点在 A 点，沿位置矢量方向称为径向

径向单位矢量：沿质点所在处位置矢量的方向。

横向单位矢量：与径向方向垂直且指向增加的方向。

任何矢量均可在和方向上作正交分解。

注意：径向和横向随地点而异。

二、径向速度与横向速度

讨论质点平面运动速度在极坐标系中的正交分解式，如图示：

（ 1 ）用微元法推导速度

设： t t+ 时间内，图中质点自 A（r，t）经历一微小的位移，到

达

由速度的定义：

（ 1 ）

位移对应于质点矢量的改变——径向位移；

位移对应于质点相对于极点幅角的改变——横向位移。

时，指向趋于方向。

，时，指向趋于方向。

(2)

故 : 速度的径向分量：，速度的径横向分量：

即：径向速度等于矢径对时间的变化率

横向速度等于矢径与角速度的乘积。

（ 2 ）矢量运算法推导速度

（ 5 ）

对于径向速度是矢径的变化而引起的速度的大小。

下面讨论：

如图所示是单位径向方向，模的大小为 1 。

（）

另外的推导也可如下进行：

右端展开是 : 即：

所以 : 。

三、加速度矢量

用“矢量法”推导“加速度”

已知：；