新人教A版版高考数学一轮复习第十二章算法初步数学归纳法教案理解析版

基础知识整合

１．数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（１）证明当n取错误!第一个值n0时命题成立，这一步是为归纳奠基．

（２）假设n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当错误!n＝k＋１时命题也成立，这一步是归纳递推．完成这两个步骤，就可以断定命题对一切n∈N*，n≥n0，命题成立．

２．数学归纳法的框图表示

数学归纳法是一种重要的数学思想方法，只适用于与正整数有关的命题，证明过程的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，当n＝k＋１时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．

１．用数学归纳法证明“１＋a＋a２＋…＋an＋１＝错误!（a≠１，n∈N*）”，在验证n＝１时，左端计算所得的结果是（）

Ａ．１Ｂ．１＋a

Ｃ．１＋a＋a２Ｄ．１＋a＋a２＋a３

答案C

解析当n＝１时，左边＝１＋a＋a２．故选Ｃ．

２．已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k（k≥２且为偶数）时命题为真，则还需证明（）

Ａ．n＝k＋１时命题成立

Ｂ．n＝k＋２时命题成立

Ｃ．n＝２k＋２时命题成立

Ｄ．n＝２（k＋２）时命题成立

答案B

解析因n是正偶数，故只需证命题对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k＋２，故选Ｂ．３．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为错误!n（n—３）条时，第一步检验n等于（）Ａ．１Ｂ．２C．３Ｄ．0

答案C

解析凸n边形的边最少有三条，故第一个值n0取３．

４．数列{an}中，已知a１＝１，当n≥２时，an—an—１＝２n—１，依次计算a２，a３，a４后，猜想an的表达式是（）

Ａ．３n—２Ｂ．n２C．３n—１Ｄ．４n—３

答案B

解析计算出a１＝１，a２＝４，a３＝9，a４＝１6．可猜想an＝n２．

５．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝２k—１（k∈N*）命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．

答案２k＋１

解析n为正奇数，假设n＝２k—１成立后，需证明的应为n＝２k＋１时成立．

6．用数学归纳法证明：（n＋１）＋（n＋２）＋…＋（n＋n）＝错误!（n∈N*）的第二步中，当n＝k＋１时等式左边与n＝k时的等式左边的差等于________．

答案３k＋２

解析n＝k＋１比n＝k时左边变化的项为（２k＋１）＋（２k＋２）—（k＋１）＝３k＋２．

核心考向突破

考向一数学归纳法证明恒等式

例１用数学归纳法证明：

错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!（n∈N*）．

证明（１）当n＝１时，左边＝错误!＝错误!，

右边＝错误!＝错误!，左边＝右边，

所以等式成立．

（２）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即有

错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，

则当n＝k＋１时，

错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!

＝错误!＋错误!＝错误!

＝错误!＝错误!＝错误!，

所以当n＝k＋１时，等式也成立．

由（１）（２）可知，对一切n∈N*等式都成立．

触类旁通

利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题

（１）在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋１时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋１时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋１时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中间的计算过程千万不能省略．

错误!

即时训练１．求证：１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N*）．证明（１）当n＝１时，左边＝１—错误!＝错误!，右边＝错误!＝错误!.左边＝右边．

（２）假设n＝k时等式成立，即１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!，则当n＝k＋１时，

１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＋错误!

＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!

＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!.

即当n＝k＋１时，等式也成立．

综合（１）（２）可知对一切n∈N*，等式成立．

考向二数学归纳法证明不等式

例２求证：错误!＋错误!＋…＋错误!>错误!（n≥２，n∈N*）．

证明（１）当n＝２时，左边＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!>错误!，不等式成立．

（２）假设n＝k（k≥２，k∈N*）时命题成立，即

错误!＋错误!＋…＋错误!>错误!.

当n＝k＋１时，

错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!

＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!

>错误!＋错误!

>错误!＋错误!＝错误!.

∴当n＝k＋１时不等式也成立．

∴原不等式对一切n≥２，n∈N*均成立．

触类旁通

用数学归纳法证明不等式的两种形式

用数学归纳法证明与n（n∈N*）有关的不等式，一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，第二种形式往往要先对n取前几个值分别验证比较，然后猜出从某个n值开始都成立的结论．

即时训练２．用数学归纳法证明：

错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!（n∈N*）．

证明（１）当n＝１时，显然不等式成立．

当n＝２时，左边＝错误!＋错误!＝错误!，

右边＝错误!.

由错误!＋１<２错误!，得错误!<错误!，

即n＝２时，不等式也成立．

（２）假设n＝k（k≥２）时，不等式成立，即

错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!.

当n＝k＋１时，两边同加错误!，得

错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!＋错误!，

只需证错误!＋错误!<错误!即可．

而错误!—错误!>错误!

⇔错误!>错误!

⇔错误!>错误!＋错误!

⇔错误!（错误!—１）>错误!，

∴对k≥２成立，即当n＝k＋１时，不等式成立．

由（１）（２）知，不等式对n∈N*都成立．

考向三归纳—猜想—证明