金融风险管理 3.2 市场风险专题2——久期、凸性及久期缺口模型(1)

利率的变化比较大时，取一阶近似是不对的）
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考察 dP dy D P 1 y
或者
P y D P 1 y
发现： 久期反映了债券价格对市场利率或贴现率变化的敏感程 度（但是不可说是对贴现率的弹性）
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考察
dP dy dP d (1 y ) D P 1 y P 1 y
久期是项目或资产的平均回收期
（基于现金流现值的加权）
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3、久期的经济学解释 Pdy 将 dP D
1 y
变形得
dP dy D P 1 y
P y D P 1 y
或者取其离散形式
（之所以采用
≈
，是因为 dP 的推导采取的是Taylor一阶近似，当
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5、久期的推导Ⅱ：付息方式为半年一次
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T C0.5 C1.5 CT 0.5 Ct C1 C2 CT P y y y y y y y 2t 1 (1 ) 2 (1 ) 3 (1 ) 4 (1 ) 2T 1 (1 ) 2T t 1 ( 1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2
T
P ( y ) '
t 1 2
T
tCt y (1 ) 2t 1 2
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Ct P y 2t 1 t (1 ) 2 2
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T
tCt y 2t t 0.5 (1 ) 2 D T Ct y 2t t 0.5 (1 ) 2
T
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C 100 40 100 180 120 90
D 200 50 30 150 70
2
3 4 5 6
200
100
时间跨度不同 各期流量不同 金融风险管理 赵建群
思路： 设置一个指标，综合衡量时间跨度和流量大小？ 同时体现出对风险因子的敏感性程度？ ——久期
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2、久期的推导Ⅰ：利息支付采取一年一次方式 假定某息票债券的基本信息如下：
tCt CT T t T ( 1 y ) ( 1 y ) 1 D tT CT Ct T t ( 1 y ) ( 1 y ) t 1
T
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③息票债券久期的上限是相应的永久债券的久期
tCt t ( 1 y ) 1 D tT Ct t t 1 (1 y )
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问题：
市场利率的变化对债券价格 P 有怎样的影响？
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根据Taylor展开式，可得
P '' ( y 0 ) P (n) ( y0 ) 2 P( y) P( y 0 ) P ( y 0 )( y y 0 ) ( y y0 ) ( y y 0 ) n Rn ( y ) 2! n!
市场风险专题2
——久期、凸性及久期缺口模型
一、久期的概念与推导
1、直观理解 四项投资的现金流（入）如下 t
1 2 3 4 5 6 200 A 100 100 100 100 B 100 100 100 100 C 100 100 100 100
D
200 50 30 150
100
100
200
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4、修正久期
D dP dP dy (1 y ) P 1 y P dy
1 dP 令 D P dy
*
D D* (1 y)
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同时，由
1 dP D P dy
*
dP D * dy P
——反映收益率曲线 化的百分比
P ' ( y) P ' ( y 0 )
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P
C3 C1 C2 C4 CT 1 y (1 y) 2 (1 y)3 (1 y) 4 (1 y)T
C3 C1 C2 C4 CT P( y ) 2 3 4 T 2 3 4 5 (1 y ) (1 y ) (1 y ) (1 y ) (1 y ) T 1
T
P
t 1
T
Ct (1 y) t
P dy (1 y )
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其中
tC t t ( 1 y ) 1 D tT Ct t ( 1 y ) t 1
T
称为久期
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考察
tC t t t 1 (1 y ) D T Ct t ( 1 y ) t 1
可以认为 久期反映了债券价格对贴现因子(1+y)的负弹性
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例1：
假定某债券的久期为5年，
当市场利率为8%时，该债券的市场价格为120元， 如果市场利率升为9%，该债券的市场价格将发生怎样 的变化？
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考察久期公式
P y D P 1 y
面值 F
息票率 i 到期日 T
第
t
期末的现金流 Ct
贴现率（即市场基准利率） y
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于是有
Ct F i
CT F (1 i)
Ct P t ( 1 y ) t 1
T
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或者 公允价值核算的直观表达：
P
C3 C1 C2 C4 CT 1 y (1 y) 2 (1 y)3 (1 y) 4 (1 y)T
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④
D 0 i
?
分析： 如果债券价值被认为是可以变化的；假定各期的息票利 率同等变动，则显然，该变化对久期无影响（相当于各 期的权未变
tCt tFi t T (1 y ) t t 1 (1 y ) D T T Ct Fi t 1 t t ( 1 y ) ( 1 y ) t 1 t 1
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t
1
A 100 100 100 100
B 100 100 100 100 100
C 100 40 100 180 120 90
D 200 50 30 150 70
2
3 4 5 6
200
100
时间跨度相同 各期流量不同 金融风险管理 赵建群

t
1
A 100 100 100 100
B 100 100 100 100 100
D
dP dy P 1 y 2
D*
1 dP P dy
y D D (1 ) 2
*
dP D * dy P
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6、久期的推导Ⅲ：利息一年支付a次
1 at Ct T a y at 1 (1 ) t a a D T Ct y at 1 ) t (1 a a
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C0.5 C1.5 1 1 C1 1 1 C2 P( y ) ' 1 2 3 4 2 (1 y ) 2 2 (1 y )3 2 (1 y ) 4 2 (1 y )5 2 2 2 2 C 1 1 CT (2T 1) T 0.5 2T 2 (1 y ) 2T 2 (1 y ) 2T 1 2 2 1 2t Ct T 2 y 2t 1 1 t (1 ) 2 2
70
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问题：
如何比较四项投资的风险？
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t
1
A 100 100 100 100
B 100 100 100 100 100
C 100 40 100 180 120 90
D 200 50 30 150 70
2
3 4 5 6
200
100
总量相同 分量不同
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'
P ( n1) ( ) Rn ( y) ( y y0 ) n1 (n 1)!
[ y0 , y]
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在贴现率发生较小变化的情况下，可得
P( y) P( y0 ) P' ( y0 )( y y0 )
dP P' ( y) dy
当 P ' ( y) 在 y0 的邻域内连续可微时，如果 y y y0 足够小，则可以近似认为
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二、久期的性质
①息票债券的久期一般小于债券的到期期限
tC t t t 1 (1 y ) D T Ct t t 1 (1 y )
T
1a1 2a2 TaT T a1 a2 aT
?
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②零息债券的久期是其到期期限
T
是一个以
Ct (1 y ) t T Ct t t 1 (1 y )
为权
对时间 t 的加权和
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其中
Ct (1 y ) t T Ct t ( 1 y ) t 1
表示 当期现金流的折现值/总现金流折现值
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基于上面的数量关系，可以认为
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T tCt tCt dy dP P ( y ) dy dy y y y 2 t 1 2 t 1 1 t (1 t (1 ) ) ( 1 ) 2 2 2 2 2 T P dy tCt P y y 2t 1 ( 1 ) t ( 1 ) 2 2 2 T T tCt Ct P dy y y y 2t 2t 1 1 ( 1 ) ( 1 ) t t ( 1 ) 2 2 2 2 2 Pdy D y 1 2 '
平移一单位引起债券价格变
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例2 假定某债券的修正久期为5年， 当市场利率为8%时，该债券的市场价格为120元，
如果市场利率升为9%，该债券的市场价格将发生怎样 的变化？
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考察
dP D * dy P
有： 市场利率绝对上升量为1%，因此债券的市场价格将 降低1%×5=5% 因此债券的市场价格将降为120×(1-5%)=114元
'
tCt 1 y) t 1 t 1 ((
T
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dP P ( y ) dy
' t 1 T
T
tCt dy t 1 (1 y )
tCt dy t (1 y ) t 1 (1 y ) T tCt P dy (1 y ) t P (1 y ) t 1 T tCt (1 y ) t t 1 Pdy D 1 y Ct t t 1 (1 y )
当市场利率变化由8%升为9%时， 贴现因子（1+y）的变化比率为
(9%-8%)/(1+8%) =0.92593%
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所以，该债券的市场价格将 下降 0.92593%×5=4.62963% 即下降为 120×(1-0.462963%)=114.44444元
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T
tFi t ( 1 y ) t 1 T Fi t t 1 (1 y )
T
令
则有
1 a 1 1 y
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1 2 T (1 y ) (1 y ) 2 (1 y )T lim D lim T T 1 1 1 (1 y ) (1 y ) 2 (1 y )T a 2a 2 3a 3 TaT lim T a a 2 aT a (T 1)a T 1 TaT 2 (1 a ) 2 lim T a a T 1 (1 a ) a (Ta T 1)a T 1 lim T a a 2 ( a 1) a T 1 1 1 y 1 a y